函數(shù)型部分線性自回歸模型在金融中的應(yīng)用

王咪咪,丁 輝

(滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000)

在金融交易市場(chǎng)中,常常會(huì)有在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)連續(xù)被記錄的數(shù)據(jù)。譬如，在股指期貨交易市場(chǎng)上，任意小的交易時(shí)間區(qū)間內(nèi)都會(huì)產(chǎn)生交易，衍生出很多高頻數(shù)據(jù)。高頻數(shù)據(jù)可以看成一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)連續(xù)被記錄的數(shù)據(jù)。因此,可視為函數(shù)型數(shù)據(jù)，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析是分析和處理高頻數(shù)據(jù)的必備利器。國(guó)內(nèi)外已有一些學(xué)者在函數(shù)型數(shù)據(jù)視角下研究金融經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中的內(nèi)在規(guī)律，也得到了一些寶貴研究成果。郭均鵬通過(guò)函數(shù)型主成分分析方法研究了Shibo市場(chǎng)中的各期限利率的波動(dòng)問(wèn)題[4]；劉春義等通過(guò)使用函數(shù)型聚類分析方法研究了我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的周期問(wèn)題[7]；龍文等借助于函數(shù)型主成分分析探討了不同國(guó)家之間的金融危機(jī)時(shí)期經(jīng)濟(jì)發(fā)展的差異性[8]；趙煜[10]在函數(shù)型數(shù)據(jù)分析視角下對(duì)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分析前景進(jìn)行展望。然而，上述所有研究均無(wú)法刻畫(huà)因變量的過(guò)去對(duì)其產(chǎn)生的影響。實(shí)際上，因變量的過(guò)去時(shí)刻常常會(huì)對(duì)其產(chǎn)生影響。因此，通過(guò)自回歸的介入，在函數(shù)型線性的模型上加入自回歸部分來(lái)刻畫(huà)因變量的過(guò)去時(shí)刻的影響，即函數(shù)型部分線性自回歸模型。該模型既能刻畫(huà)函數(shù)型協(xié)變量與因變量之間的關(guān)系，又能表現(xiàn)因變量的過(guò)去時(shí)刻對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的影響。

1 函數(shù)型部分線性自回歸模型

給出函數(shù)型部分線性自回歸模型：

(1)

其中，X(t)是區(qū)間I上平方可積的函數(shù)型變量，Y是因變量，p是滯后階數(shù)，誤差項(xiàng)ε滿足Eε=0,Varε=σ2。自回歸模型為此模型的一個(gè)特例(β(t)≡0 )，函數(shù)型線性模型同樣也為此模型的一個(gè)特例(φ1=…=φp=0)。

關(guān)于該模型的估計(jì)，我們采用剖面最小二乘估計(jì)[1]：

(2)

(3)

(4)

(5)

可以求出模型的參數(shù)φ1,…,φp和非參數(shù)函數(shù)g(·)的估計(jì)。

令Y=(Yp+1,…,Yn)T，Φ=(1,φ1,…,φp)T，W=ζ(ζTζ)-1ζT，Z0=(1,…,1)T(n-p)×1,Z1=(Yp,…,Yn-1)T,Z2=(Yp-1,…,Yn-2)T,…,Zp=(Y1,…,Yn-p)T，Z=(Z0,Z1,…,Zp)T，Y*=(I-W)Y,Z*=Z(I-W) ，I為n-p階單位陣。于是(2.5)可化為(Y*-Z*TΦ)T(Y*-Z*TΦ)，則：

(6)

把(6)帶回(4)得：

(7)

到目前為止，已經(jīng)求得了模型參數(shù)的估計(jì)。然而，在求解模型的參數(shù)估計(jì)過(guò)程中必然會(huì)涉及到滯后階數(shù)p的選取，統(tǒng)計(jì)模擬時(shí)采取交叉驗(yàn)證準(zhǔn)則來(lái)選擇p。

2 統(tǒng)計(jì)模擬

按照下面的模型來(lái)生成數(shù)據(jù)：

表1 估計(jì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差(括號(hào))或RASEs和標(biāo)準(zhǔn)差(括號(hào))結(jié)果表

從表1可見(jiàn)，α,φ1,…,φ3估計(jì)偏差與估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差β(t)估計(jì)均方誤RASE均隨著樣本量的增加而減少，因此，可以看出估計(jì)方法的優(yōu)良性。

3 實(shí)證分析

選擇2015年6月1日至2016年3月1日總共183個(gè)股市交易日的上證指數(shù)數(shù)據(jù)。模型的因變量為開(kāi)盤(pán)價(jià)Y，函數(shù)型協(xié)變量為每個(gè)交易日每5分鐘的上證指數(shù)X(t)，每個(gè)交易日每5分鐘的數(shù)據(jù)共48個(gè)。首先進(jìn)行預(yù)處理，對(duì)開(kāi)盤(pán)價(jià)Y和每5分鐘的上證指數(shù)X(t) 取對(duì)數(shù)，目標(biāo)為尋找合適的模型對(duì)開(kāi)盤(pán)價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。顯然，開(kāi)盤(pán)價(jià)既受過(guò)去時(shí)期開(kāi)盤(pán)價(jià)的影響，又與Xi(t)有關(guān)，考慮函數(shù)型部分線性自回歸模型：

(8)

表2 不同模型及其相對(duì)應(yīng)的平均預(yù)測(cè)誤差(單位×10-5)

從表2可知，函數(shù)型部分線性自回歸模型平均預(yù)測(cè)誤差最小，比線性模型的預(yù)測(cè)效果提升了65.8%，比自回歸模型的預(yù)測(cè)效果提升了97.6%。可見(jiàn)，函數(shù)型部分線性自回歸模型擬合效果最好。

4 結(jié)語(yǔ)

函數(shù)型部分線性自回歸模型既刻畫(huà)了函數(shù)型協(xié)變量與因變量之間的關(guān)系，又考慮了自回歸效應(yīng)，體現(xiàn)了因變量過(guò)去時(shí)刻的影響，因而具有廣泛的適用性，可為今后研究函數(shù)型數(shù)據(jù)提供一種新的工具。

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