三角形邊框和三角形薄板的重心

于正榮 徐文杰

(1. 鹽城市伍佑中學(xué),江蘇 鹽城 224041； 2. 鹽城市教育科學(xué)研究院,江蘇 鹽城 224001)

高一物理教材(人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材必修1)“重力 基本相互作用”一節(jié)的“問(wèn)題和練習(xí)”中有這樣一道習(xí)題.

幾何學(xué)中把三角形三條中線的交點(diǎn)叫做重心．物理學(xué)中也有重心的概念．均勻的三角形薄板的重心是不是與幾何學(xué)上的重心位于同一點(diǎn)上?請(qǐng)你通過(guò)以下實(shí)驗(yàn)做出判斷:首先作圖把均勻等厚三角形紙板的3條中線的交點(diǎn)C找出來(lái),然后用細(xì)線懸吊三角形紙板的任意位置,看懸線的延長(zhǎng)線是否通過(guò)C點(diǎn)．

這個(gè)問(wèn)題本身并不困難,學(xué)生只要?jiǎng)邮肿鲆幌?就能得到這兩個(gè)重心大致重合．但仍有一些學(xué)生提出疑問(wèn):實(shí)驗(yàn)結(jié)果雖然支持物理重心與幾何重心重合,但實(shí)驗(yàn)畢竟存在誤差,能否從理論上給與嚴(yán)格的證明?筆者注意到,教材配套的教師教學(xué)用書僅對(duì)該問(wèn)題給出了肯定的答案,原因并沒(méi)有說(shuō)明．另外,學(xué)生進(jìn)一步提出以下兩個(gè)問(wèn)題: 3個(gè)質(zhì)量相同的小球構(gòu)成三角形,3球系統(tǒng)的物理重心與三角形的幾何重心是否重合?3根粗細(xì)相同的均質(zhì)細(xì)桿構(gòu)成三角形邊框,三角形邊框的物理重心與三角形的幾何重心又是否重合?針對(duì)學(xué)生提出的疑問(wèn),筆者與學(xué)生進(jìn)行了深入的探究,得到了很有意思的結(jié)果,作為本題實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的補(bǔ)充．

命題1： 3個(gè)等質(zhì)量的小球處于三角形的頂點(diǎn),3球系統(tǒng)的物理重心與三角形的幾何重心重合．

證明:如圖1所示,3個(gè)等質(zhì)量小球分別位于△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)．容易理解A、B兩處小球的物理重心位于AB邊的中點(diǎn)D．設(shè)D點(diǎn)(即A、B兩球的等效點(diǎn))和C球的物理重心又位于點(diǎn)G,顯然G點(diǎn)也就是三球系統(tǒng)的物理重心．由于D點(diǎn)相當(dāng)于集中了A、B兩個(gè)球的質(zhì)量,所以GC的距離是GD的2倍．結(jié)合三角形幾何重心的性質(zhì)——重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1,可見這里的物理重心G實(shí)際上也就是△ABC的幾何重心．問(wèn)題得證．

圖1

命題2： 3根粗細(xì)相同的均質(zhì)細(xì)桿構(gòu)成三角形,3桿系統(tǒng)的物理重心位于由3根細(xì)桿的3個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成的三角形的內(nèi)心．

證明:3根均質(zhì)細(xì)桿構(gòu)成空心邊框△ABC,如圖2所示．設(shè)桿單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ,則3根桿的質(zhì)量分別為λ·AB、λ·BC和λ·CA．由于細(xì)桿的物理重心分別位于各自的中點(diǎn)D、E、F處．因此邊框△ABC的物理重心,與位于點(diǎn)D、E、F且質(zhì)量分別等于mD=λ·AB、mE=λ·BC、mF=λ·CA的3球△DEF的物理重心重合．

圖2

由于圖2中3球△DEF的小球質(zhì)量不等,對(duì)比圖1中3球△ABC,可以預(yù)見,3球△DEF的物理重心與其幾何重心可能不同．下面確定該物理重心的具體位置．

既然D、E兩球的重心位于H點(diǎn),因此3球△DEF的物理重心一定在∠DEF的角平分線EH上．同樣道理,3球△DEF的物理重心也應(yīng)在△DEF的其他兩個(gè)角的平分線上,因此3球△DEF的物理重心亦即3桿△ABC的物理重心,位于△DEF的三個(gè)角平分線的交點(diǎn)——內(nèi)心．問(wèn)題得證．

在圖2中,由幾何知識(shí)不難看出,△ABC的中線AE與△DEF的中線EJ重合,這兩個(gè)三角形的另外兩條中線也對(duì)應(yīng)重合,因此△ABC與△DEF的幾何重心(即圖2中的G點(diǎn))重合．而對(duì)△DEF而言,它的幾何重心G(在中線EJ上)與其內(nèi)心I(在角平分線EH上)通常并不重合,所以三桿△ABC的物理重心與其幾何重心一般也不重合．

命題3： 均質(zhì)三角形薄板的物理重心與其幾何重心重合．

證明1: 把三角形薄板分割成無(wú)數(shù)個(gè)三角形空心邊框．如圖3所示,令G點(diǎn)為薄板△ABC的幾何重心,連接AG、BG、CG．在AG、BG、CG邊上各取兩個(gè)很近的點(diǎn)A1、A2,B1、B2,C1、C2,使得A1B1∥A2B2∥AB、B1C1∥B2C2∥BC、C1A1∥C2A2∥CA．根據(jù)三角形幾何重心的性質(zhì)可知S△A1B1G=S△B1C1G=S△C1A1G以及S△A2B2G=S△B2C2G=S△C2A2G,對(duì)應(yīng)的面積相減,可得空心三角形A1B1C1-A2B2C2的3個(gè)邊框A1B1B2A2、B1C1C2B2、C1A1A2C2的面積相

圖3

等,因此這3條邊框的質(zhì)量相等．由于邊框?qū)挾确浅Ｐ?可認(rèn)為3條邊框的質(zhì)量分別等效集中于它們的中點(diǎn)D、E、F,如圖4所示．再考察質(zhì)量相等且分別處于頂點(diǎn)的三球△DEF的物理重心,這與前文命題1的情形完全相同,加之△DEF與△ABC的幾何重心重合．所以三角形空心邊框A1B1C1-A2B2C2的物理重心與△ABC的幾何重心重合．

圖4

以此類推,在圖3中可以連續(xù)作出其他三角形空心邊框,它們的物理重心也與△ABC的幾何重心重合,所以整個(gè)三角形薄板的物理重心與其幾何重心重合．問(wèn)題得證．

需要說(shuō)明的是,圖3中分割而成的一系列空心三角形邊框與圖2中由3根細(xì)桿構(gòu)成的三角形邊框并不相同,盡管它們的邊框?qū)挾榷伎烧J(rèn)為無(wú)限窮小．這是因?yàn)閳D2中的3根桿的寬度始終相同,每根桿的質(zhì)量?jī)H由其長(zhǎng)度決定．圖3中分割而成的三角形邊框的3個(gè)寬度雖然都很小(稱之為小量或微元),但并不排斥小量或微元之間仍存在一定的數(shù)量關(guān)系,這時(shí)邊框的質(zhì)量與邊框長(zhǎng)度和寬度都有關(guān)系．

證明2:將三角形分割成無(wú)數(shù)個(gè)平行的小梯形．如圖5所示,過(guò)薄板△ABC的兩條邊AB、AC作無(wú)數(shù)個(gè)平行于底邊BC的平行線,這樣就把整個(gè)△ABC薄板分割成無(wú)數(shù)個(gè)平行于底邊BC的小梯形,如圖5所示．

圖5

由于梯形BCC1B1非常細(xì)長(zhǎng),以致B和B1、C和C1近乎重合,因此其物理重心就在BC邊的中點(diǎn)D;同理,梯形B1C1C2B2的物理重心也在B1C1的中點(diǎn)……．顯然,所有這些中點(diǎn)又都處于BC邊上的中線AD上,因此整個(gè)△ABC薄板的物理重心就在中線AD上．以此類推,換個(gè)方向分割薄板,可推得整個(gè)△ABC薄板的物理重心也一定在AB邊和AC邊的中線上,所以三角形薄板的物理重心必定處于這些中線的交點(diǎn)——幾何重心上．問(wèn)題得證．

參考文獻(xiàn)：

1 羅春焱.對(duì)一道幾何證題中輔助線畫法的物理解釋[J].物理教師，2015，36(7)： 94-95.