漫談因式分解的方法與技藝

◎吳文忠

把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng).學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)解題技能、發(fā)展思維能力都有著十分獨(dú)特的作用.學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又能為學(xué)習(xí)分式打基礎(chǔ)；學(xué)好它，既培養(yǎng)了觀察、思維、運(yùn)算能力，又提高了綜合分析和解決問題的能力.常見的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等.

一、提公因式法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

例1 分解因式：-2m3+8m2-2m.

【分析】當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)都取次數(shù)最低的.如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù).提出“-”號時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號.

解：原式=-2m·m2-2m·（-4m）-

【點(diǎn)評】提完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；注意2a+1=不是提公因式，因?yàn)槔ㄌ杻?nèi)不得出現(xiàn)分?jǐn)?shù).提公因式法可以用一句話來概括：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號，變形看奇偶.

二、公式法

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2.

例2 （2017·無錫）分解因式：3a2-6a+3.

【分析】能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍.

解：原式=3（a2-2a+1）=3（a-1）2.

【點(diǎn)評】提完公因式后，再運(yùn)用完全平方公式繼續(xù)分解因式.公式法也可以用一句話來概括：首平方，尾平方，積的二倍放中央；同號加、異號減，符號添在異號前.

三、分組分解法

通過分組分解的方式來分解的因式一般有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法.初中教材中只是作為閱讀內(nèi)容供同學(xué)們課外了解、研究，沒有作為必學(xué)內(nèi)容展開.

例3 分解因式：ac+bc+3a+3b.

【分析】可以把a(bǔ)c和bc分為一組提取公因式c，3a和3b分為一組提取公因式3，最后再提取公因式（a+b）.

解：原式=c（a+b）+3（a+b）=（a+b）（c+3）.

【點(diǎn)評】當(dāng)然也可以把a(bǔ)c和3a分為一組提取公因式a，bc和3b分為一組提取b，最后再提取公因式（c+3）.一定要合理分組.

四、十字相乘法

十字相乘法在初中教材中沒有涉及，但在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用得非常多.它有兩種情況：①x2+（p+q）x+pq型的因式分解，這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積，一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和.因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.②kx2+mx+n型的因式分解，如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）.圖示如下：

例4 分解因式：2x2-5x-3.

【分析】對于不能用提公因式和公式法來分解的二次三項(xiàng)式可考慮用十字相乘法.

1×1=1，-3×2=-6，且-6+1=-5，

所以2x2-5x-3=（x-3）（2x+1）.

【點(diǎn)評】運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，先不斷嘗試拆分首尾數(shù)，可以用一句話來概括：首尾分解，交叉相乘，求和湊中間.

因式分解沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法，在分解因式時(shí)要根據(jù)題目的具體情況而定.多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；②如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；④分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式的因式都不能再分解為止.因式分解也可以用一句話來概括：先看有無公因式，再看能否套公式；十字相乘試一試，分組分解要合適”.而在競賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)式法、換元法、長除法、短除法、除法等，同學(xué)們可根據(jù)自身學(xué)習(xí)的需要進(jìn)行有選擇的研究.