透視中考試題中“點的坐標”

曹玲玲

“點的坐標”內(nèi)容雖然不多，但涉及的問題卻不少，它是函數(shù)和幾何圖形類問題研究的基礎(chǔ)，也是整個“數(shù)學大廈”的基石，所以我們在學習這部分內(nèi)容時，只有準確把握四個象限內(nèi)和坐標軸上點的坐標特征，領(lǐng)會圖形變換與坐標的關(guān)系，理解坐標的意義，才能做到有的放矢，從容應(yīng)對.下面僅以2017年中考試題為例予以分析，希望對大家的學習有所幫助.

考點1 探尋點的特征

例1 （2017·貴港）在平面直角坐標系中，點P（m-3，4-2m）不可能在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】本題沒有正面考查點在第幾象限，而是反過來問不可能在第幾象限，命題者有意考查同學們逆向思維的能力和分類討論的意識，在解題思路上我們可以考慮先確定點P的橫坐標的符號，再分析點P的縱坐標的符號，從而確定該點所在的象限.

【解答】①當m-3＞0，即m＞3時，4-2m＜-2，所以點P（m-3，4-2m）在第四象限；②當m-3＜0，即m＜3時，4-2m＞-2，所以點P（m-3，4-2m）可以在第二或第三象限.綜上所述，點P不可能在第一象限，故選A.

【點評】本題重點滲透了分類討論的思想，在處理該問題時我們應(yīng)思考，m-3和4-2m能同時為正嗎？可能同時為負或一正一負嗎？具體可分類列出下面四個不等式組：

然后我們觀察哪組不等式組無解即可.另外，作為選擇題還可以用特殊值法，分別取一些m的值代入進行驗證.

考點2 確定點的坐標

例2 （2017·常州）如圖1，已知矩形ABCD的頂點A、D分別坐落在x軸、y軸上，OD=2OA=6，AD∶AB=3∶1，則點C的坐標是（ ）.

圖1

A.（2，7）B.（3，7）C.（3，8）D.（4，8）

【分析】本題以矩形為載體，考查矩形性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是將AD∶AB轉(zhuǎn)化為AD∶DC，再運用相似將其轉(zhuǎn)化為△OAD與△FDC的相似比（如圖1），進而通過比求出CF和DF的長，最終得到點C的坐標.

【解答】過點C分別作CE⊥x軸、CF⊥y軸，垂足分別為E、F，由題意可得：

△CFD∽△DOA，

∵OD=2OA=6，∴CF=2，DF=1，

∴CE=OF=OD+DF=7，

故點C的坐標為（2，7）.

【點評】同學們在解決此類問題時先要結(jié)合條件搞清楚圖形的特征，抓住基本模型——“一線三等角”（∠DOA=∠ADC=∠CFD=90°），找出相似三角形，運用相似比解決問題.

考點3 變換點的位置

例3 （2017·無錫）操作：“如圖2，P是平面直角坐標系中一點（x軸上的點除外），過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q.”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換，則點P（a，b）經(jīng)過T變換后得到點Q的坐標為______，點M經(jīng)過T變換后得到點N（6，-3），則點M的坐標為____.

圖2

【分析】本題實質(zhì)上是通過旋轉(zhuǎn)變換考查等邊三角形的性質(zhì)，形成變換前的點與變換后的點之間的對應(yīng)關(guān)系，在找到這個對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上運用方程解決問題.

【解答】如圖2，連接CQ，過點Q作QD⊥PC于點D，由旋轉(zhuǎn)可知△PCQ為等邊三角形.

∵P（a，b），∴OC=a，PC=b，

事實上，不論P（a，b）在第幾象限，變換后的點Q的坐標始終為Q（）［注：可分P在x軸上方、P在x軸下方兩種情況討論］，故設(shè)M（x，y），則N（

【點評】解決旋轉(zhuǎn)變換類問題的關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)的角度和旋轉(zhuǎn)前后的不變性，結(jié)合圖形的特征解決問題.

由于“點的坐標”這部分知識容易與其他知識相融合，近幾年來，中考試題對其考查的力度不斷加大，尤其是結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識，希望大家在思想上能給予足夠的重視.

考點4 探索點的規(guī)律

例4 （2017·黔東南）把多塊大小不同的30°直角三角板按如圖3所示擺放在平面直角坐標系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點A的坐標為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2垂直且交y軸于點B3；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點B2017的坐標為______.

圖3

【分析】觀察圖形，尋找圖形的變化規(guī)律，在依次求出點B，B1，B2，B3坐標的基礎(chǔ)上，結(jié)合B到B4，依次由x軸負半軸、y軸負半軸、x軸正半軸、y軸正半軸，再回到x軸負半軸，經(jīng)過排隊觀察總結(jié)出其變化的規(guī)律后，根據(jù)規(guī)律去猜想點B2017的坐標.

∴OB2017=（2018=31009，

又∵2017÷4=504……1，

∴點B2017在y軸負半軸上，

∴點B2017的坐標為（0，-31009）.

【點評】解決此類問題的關(guān)鍵在于學會觀察圖形變化的規(guī)律，這里有兩個變化的規(guī)律，一是OBn的長度隨著n的變化而變化，二是點Bn的位置在旋轉(zhuǎn)中發(fā)生變化，結(jié)合這兩個變化的規(guī)律，先表示出線段OB2017的長，再確定點B2017的位置，從而解決相關(guān)問題.