問題成系列 做二要想一

李長春（特級教師）

不少中考解答題都由2～3個小題目組成，命題者常將一些有難度的題目分成幾個小題目，以“臺階”式的設(shè)計將問題不斷深入，第1問通常比較簡單，容易入手，值得注意的是第1問往往也為第2、3兩問的解答提供了一種思考的方向，我們解題時如果能根據(jù)命題老師所給的“路標(biāo)”，拾級而上，踩點解答，往往能化難為易，達(dá)到事半功倍的效果.

例1 （2017·杭州）（本題滿分8分）如圖1，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC.

圖1

（1）求證：△ADE∽△ABC；

【試題分析】在（1）中，結(jié)合條件在兩個三角形中可找“兩角分別相等”，事實上，它們已經(jīng)有了一組公共角，再找出∠EAF和∠GAC的余角相等即可；在（2）中可以轉(zhuǎn)化為哪兩條邊的比成為解題的關(guān)鍵，此時，結(jié)合（1）中的結(jié)論△ADE∽△ABC可得到∠ADF=∠B，再證得△ADF∽△ABG，將轉(zhuǎn)化為即可.

【踩點解答】（1）證明：

∵AF⊥DE，AG⊥BC，

∴∠AFE=90°，∠AGC=90°，

∴∠AEF=90°-∠EAF，∠C=90°-∠GAC，

又∵∠EAF=∠GAC，

∴∠AEF=∠C，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC（.踩點1：證兩個角對應(yīng)相等，4分）

（2）∵△ADE∽△ABC，

∴∠ADE=∠B，

又∵∠AFD=∠AGB=90°，

∴△AFD∽△AGB，（踩點2：證兩個三角形相似，6分）

∵AD=3，AB=5，

【點評】解題時注意題目前后的連貫性，當(dāng)?shù)冢?）問遇到困難時，一定要回頭看第（1）問求證的結(jié)論，由這個結(jié)論還能得到什么？也許思路就在結(jié)論的延續(xù)中.

例2 （2017·武漢）（本題滿分10分）已知四邊形ABCD的一組對邊AD，BC的延長線相交于點E.

圖2

（1）如圖 2，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED·EA=EC·EB；

圖3

（3）如圖4，另一組對邊AB，DC的延長線相交于點F，若cos∠ABC=cos∠CD=5，CF=ED=n，直接寫出AD的長（用含n的式子表示）.

圖4

圖5

圖6

【踩點解答】（1）證明：

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ABE=∠CDE，

又∵∠E=∠E，

∴△EAB∽△ECD，（踩點1：證兩個角對應(yīng)相等，2分）

∴ED·EA=EC·EB.（踩點2：證得相似后得到結(jié)論，3分）

（2）如圖5，過點C作CG⊥AD于點G，過點A作AH⊥BC交CB的延長線于點H.

∴DG=3，CG=4.

∵△CDE的面積為6，

∴ED=3，∴EG=6.

∵AB=12，∠ABC=120°，

∴BH=6，AH=63.

由（1）中方法得：△ECG∽△EAH，（踩點3：證得相似，求出相應(yīng)線段，5分）

∴EB=EH-BH=93-6，

S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=75-18 3.

（踩點4：運用轉(zhuǎn)化思想，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積之差，并算得結(jié)果，8分）

【點評】問題成系列，做二要想一，本題中的第（1）問暗藏模型，解第（2）問可以直接去找這樣的模型并應(yīng)用，第（3）問則對模型進(jìn)行了適當(dāng)?shù)难葑?，但解題的思路還在（1）中，只要我們踩住這個點，問題就可迎刃而解.但需要注意的是，本題的前兩問均以“若”開頭，都是在假設(shè)的前提條件下進(jìn)行設(shè)問的，所以做第（2）問時不能用第（1）問的結(jié)論，第（3）問也不能直接運用前兩問的結(jié)論.正所謂：問題成系列，做二要想一；上題若如果，不能用結(jié)果.