問渠那得清如許，為有源頭活水來
——從教材習(xí)題到“圓”的中考考題

陳書奎

一、圓的定義

例1（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第41頁思考與探索）如圖1，AB是⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，點D在⊙O上，且CD=OA，CD的延長線交⊙O于點E，若∠C=20°，求∠BOE的度數(shù).

圖1

圖2

【解析】如圖1，連接OD，由CD=OA可知CD=OD，那么∠COD=∠C=20°，得∠EDO=∠COD+∠C=40°，又因為OD=OE，得∠E=∠EDO=40°，最后可知∠BOE=∠C+∠E=60°.

【點評】此題考查了三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住同圓的半徑相等這一基本性質(zhì)，連接半徑構(gòu)造等腰三角形解決問題.上述兩條性質(zhì)是題目中常見的隱含條件，同學(xué)們要善于挖掘應(yīng)用.

【拓展】（2012·日照）如圖2，過A、C、D三點的圓的圓心為E，過B、F、E三點的圓的圓心為D.如果∠A=63°，那么∠ABC=_______.

【解析】如圖2，連接CE、DE，根據(jù)同圓的半徑相等不難發(fā)現(xiàn)圖中有三個等腰三角形：△AEC、△CED、△DEB，由∠A=63°算出∠AEC=54°，可知AEC=18°.

例2（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第40頁練習(xí)第3題）已知矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.點A、B、C、D是否在以點O為圓心的同一個圓上？為什么？

【解析】由矩形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD，所以點A、B、C、D在以點O為圓心的同一個圓上.

【點評】解決這類問題同學(xué)們要抓住圓定義的本質(zhì)，也就是圓是到定點距離等于定長的點的集合.此題是這一本質(zhì)的靜態(tài)呈現(xiàn)，而近幾年的中考中更多的是從動態(tài)角度進行判斷和應(yīng)用.

【拓展1】（2014·成都）如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是邊AD的中點，N是AB上的一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，求A′C的最小值.

圖3

圖4

【解析】由MA=MA′，故點N在從A到B的移動過程中，A′的運動軌跡是以M為圓心，MA′為半徑的圓弧，將問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上點的最短距離.如圖4，當(dāng)A′在MC上時，A′C的長度最小.過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，由CD=2，MD=1，∠EDC=60°，可得∠ECD=30°，DE=1，EC=3，EM=2，MC=7，所以A′C=7-1.

【拓展2】（2016·淮安）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是_______.

圖5

圖6

【解析】由PF=CF，故點P的運動軌跡是以F為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓弧.此問題就轉(zhuǎn)化為求與圓相離的直線上一點與圓上一點距離的最小值，不難想到過點F作FH⊥AB于點H，如圖6，當(dāng)點P在FH上時，這個距離最小.下面我們可以利用∠A的正弦和AF長度求出FH=3.2，于是PH=FH-PF=1.2，即點P到邊AB的最小距離是1.2.

二、圓的對稱性

例3（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第48頁練習(xí)第3題）如圖7，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，點P在AB上運動，求OP的取值范圍.

【解析】過點O作OH⊥AB于H，連接OB，OP的最小值等于OH長，OP的最大值是半徑OB，長為5，根據(jù)垂徑定理可得=4，再依據(jù)勾股定理算出OH=3，故3≤OP≤5.

圖7

【拓展1】如圖8，一座弧形橋的跨度AB長為40米，橋離水面最大距離CD為10米，一條水面以上寬度為30米，高度為6米的船能否順利通過這座橋？

圖8

圖9

【解析】如圖9，設(shè)弧形橋所在圓的圓心為O，半徑為r，EF=30，在Rt△AOD中，r2=202+（r-10）2，解得r=25，所以O(shè)D=15，在Rt△OEG中，20，GD=OG-OD=5（米）＜6（米），故船不能順利通過這座橋.

【拓展2】（2013·內(nèi)江）如圖10，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓過點（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值_______.

圖10

圖11

【解析】由直線的解析式可以看出當(dāng)x=3時，y=4，說明直線經(jīng)過定點（3，4），設(shè)這個定點為點H，如圖11，當(dāng)BC⊥OH時，BC最短，連接OC，易知=12，故弦BC長的最小值為24.

三、靈活轉(zhuǎn)化圓中角

例4（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第56頁練習(xí)第3題）如圖12，點A、B、C、D在⊙O上，∠ACB=∠BDC=60°，BC=3，求△ABC的周長.

圖12

【解析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可知∠A=∠D=60°，易得△ABC為等邊三角形，周長為9.

【點評】同弧所對的圓周角相等是圓中重要的條件，利用這一性質(zhì)可以為全等和相似做鋪墊.

【拓展1】（2015·德州）如圖13，⊙O的半徑為1，A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°.

圖13

（1）判斷△ABC的形狀：_________；

（2）試探究線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解析】由上一例題可判斷△ABC為等邊三角形.第（2）小題結(jié)論是PA+PB=PC，證明線段和差等量關(guān)系一般可用“截長補短”法.如：在PC上取點E，使PE=PA，易得△APE為等邊三角形，所以∠PAE=∠BAC=60°，則∠PAB=∠EAC，再由AB=AC，∠PBA=∠ECA，可得△APB≌△AEC，所以PB=EC，故PA+PB=PC.

【拓展2】（2015·宿遷）已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E.

圖14

圖15

（1）如圖14，求證：EA·EC=EB·ED；

（3）如圖16，若AC⊥BD，點O到AD的距離為2，求BC的長.

圖16

圖17

【解析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，故△AED∽△BEC，得AE∶BE=DE∶CE，所以EA·EC=EB·ED.

（3）如圖17，作直徑DF，連接AF，作OH⊥AD于H，易得∠ACD=∠HOD，∠CED=∠OHD，得出∠ADF=∠BDC，進一步可知，從而BC=AF=2OH=4.

同學(xué)們，在中考中很多考題就是課本例題、習(xí)題的變式或延伸，只要我們善于挖掘教材里題目的價值，做到舉一反三，相信你在中考考場上能如魚得水！