追“本”溯“圓”

嵇如龍

“圓”的考點比較多，又比較分散，綜合程度比較高，讓不少同學(xué)產(chǎn)生“畏懼”心理.但仔細梳理近幾年來的中考題，我們不難發(fā)現(xiàn)中考關(guān)于“圓”的考查重點突出，甚至出現(xiàn)“常態(tài)化”的考題，而更為巧合的是，這些考題幾乎都給人一種似曾相識的感覺.

【例題回放】

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，CD與AB相交于點 E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度數(shù).

圖1

例2 已知：BC是⊙O?的直?徑，A是⊙O上一點，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點F.

（1）∠ACB與∠BAD相等嗎？為什么？

（2）判斷△FAB的形狀，并說明理由.

圖2

【分析點撥】這是蘇科版《數(shù)學(xué)》中兩道關(guān)于圓周角的典型例題.通過對這兩道例題的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)掌握一種方法和一種數(shù)學(xué)思想.一種方法是圓中一種常用輔助線：已知直徑，構(gòu)造所對圓周角；已知圓周角是直角，連接兩點造直徑.一種數(shù)學(xué)思想是“轉(zhuǎn)化”的思想，即利用“同弧所對的圓周角相等”進行轉(zhuǎn)化，這是中考必考知識點，在近幾年的中考中就有不少類似的題目.

【中考運用】

1.（2016·東莞二模）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上.當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖3），判斷PO與BC的位置關(guān)系，并證明你的判斷.

圖3

【分析點撥】如圖3，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，加上∠A=∠1，則∠A=∠2，再根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠3，所以∠2=∠3，于是可根據(jù)平行線的判定方法判斷PO∥BC.

2.（2016·瀘州）如圖4，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC.求證：BE是⊙O的切線.

圖4

【分析點撥】欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90°，即證∠DBC+∠EBC=90°，下面只要根據(jù)課本例題中所介紹的添加輔助線方法和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想就不難得出結(jié)論了.

【解法歸納】通過上述幾道中考題不難發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是角的轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)“圓”的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)“圓”的一個重要數(shù)學(xué)思想，根據(jù)同弧所對的圓周角相等來進行轉(zhuǎn)化也是這幾題的共同特征.可以說，同學(xué)們感覺學(xué)習(xí)“圓”有難度就是因為不會找等角，不會進行等角的轉(zhuǎn)化，這需要在平時的課堂上多留意老師和其他同學(xué)的分析過程，大膽嘗試，不斷總結(jié)反思.

“圓”的另外一個重要考點就是有關(guān)切線的性質(zhì)與判定，翻開每份中考試卷幾乎都會碰到，常見的考題幾乎形成了固定的格式，其實只要掌握下面這道課本例題的解題思路和方法，就能做到舉一反三.

【例題回放】

例3 如圖5，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，DE與AC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

圖5

【分析點撥】通過對本題的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能夠掌握關(guān)于切線證明的常見思路，判定切線時“連半徑，證垂直”，已知切線時可以“連半徑，得垂直”.即：證切線找垂直，知切線得垂直.

【中考運用】

1.（2016·西寧）如圖6，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD.求證：CD是⊙O的切線.

【分析點撥】連OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠BDO=90°，而 已 知 ∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠BDO，于是∠CDA+∠ADO=90°.

圖6

2.（2016·陜西）如圖7，已知：AB是⊙O的弦，過點B作BC⊥AB交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G.求證：（1）FC=FG；（2）AB2=BC·BG.

圖7

【分析點撥】

（1）由平行線的性質(zhì)得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結(jié)論.

（2）連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，關(guān)鍵是要根據(jù)“母子三角形”得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論.

圖8