巧用“切線法”求解函數(shù)不等式

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

在不等式的相關(guān)問題中,“切線法”是一個基本方法.其思想本質(zhì)是利用直線(即切線)將原來的復(fù)雜變量變?yōu)橐淮蔚氖阶?

一、“切線法”的基本運用

使用“切線法”的基本原則:對于涉及到的函數(shù)的圖像要具有“凹凸性”.在函數(shù)的定義域內(nèi),函數(shù)的“凹凸性”要保持一致.

例1證明對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)間的關(guān)系:

分析該不等式的證明方法很多,這里應(yīng)用“切線法”來證明:

證明如圖1,構(gòu)造函數(shù),在區(qū)間[b,a]上積分等于曲邊梯形BbaA的面積S,過A,B的中點點C處做的切線分別交Bb,Aa于點B1,A1.梯形B1baA1的面積根據(jù)中位線的性質(zhì),所以.由于“向下凸”,所以該切線完全在曲線的下方,所以S1＜S該不等式成立.

圖1

例2(2012年全國新課標(biāo)卷21題)已知函數(shù)f(x)滿足.若求(a+1)b的最大值.

分析利用函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)易得關(guān)于該問題的資料均利用分類討論的方法求解,本文嘗試一下 “切線法”:將不等式的兩邊視為兩個獨立的函數(shù),令g(x)=ex,h(x)=(a+1)x+b.其中g(shù)(x)單調(diào)遞增且“向下凸”,若要滿足g(x)≥h(x).則有h(x)為g(x)的切線.

解設(shè)g(x)上的任意一點M(x0,ex0),過點M做g(x)的切線為:y=ex0x+(1?x0)ex0.對比函數(shù)h(x)可得:a +1=ex0,b=(1?x0)ex0.(a+1)b=e2x0(1?x0),令F((x)=e2x)(1?x),F′(x)=e[2x(1?)2x).顯然可知F(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以F(x)在處取到最大值.所以(a+1)b的最大值為,對應(yīng)的

二、創(chuàng)造“切線”

某些函數(shù)并不存在一次式,我們可以通過等價變形獲得“切線”.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求實數(shù)a的取值范圍.

分析f(x)≥0?ex?1=ax2+x.顯然當(dāng)x=0時,該式恒成立.當(dāng)x＞0時,原式.設(shè)新函數(shù).構(gòu)造原理:設(shè)函數(shù)h(x)=ax+1.易知函數(shù)h(x)恒過定點(0,1).通過一階導(dǎo)可知F(x)單調(diào)遞增,通過二階求導(dǎo)可知F(x)的圖像是“向下凸”的.為滿足F(x)≥h(x),h(x)的斜率的極限狀態(tài)為F(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù).

解求導(dǎo)可得:.因為(羅必塔法則).令G(x)=ex(x? 1)+1,求導(dǎo)可得:G′(x)=xex.可知G(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且有G(x)≥ G(0)=0.所以,即F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時,結(jié)論成立.

例3變式設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex?1)?ax2,若當(dāng)x≥0時f(x)≥0,求實數(shù)a的取值范圍.

簡要解答當(dāng)x=0時,f(x)=0.當(dāng)x＞0時,f(x)≥0? ex?1≥ax.通過對不等式左邊函數(shù)的分析,仿照例3可得a的取值范圍(?∞,1].

例4設(shè)函數(shù)f(x)=x3?2x2?4x?7.設(shè)x0是函數(shù)y=f(x)的零點,實數(shù)α,β滿足試探究實數(shù)α,β,x0的大小關(guān)系.

分析三個數(shù)中,β的值最難確定.但在β的表達(dá)式中出現(xiàn)了f(α)與f′(α).容易聯(lián)想到y(tǒng)=f(x)在x=α處的切線:y=f′(α)(x? α)+f(α).顯然β為該切線的橫截距.本題的考察的內(nèi)容依然是“切線法”.

解易得:函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.且有.所以函數(shù)f(x)有唯一的零點x,利0用零點存在定理易知x0∈(3,4).根據(jù)題意f(α)＞0,可知α ＞ x0＞ 2,所以f′(α)＞ 0.

設(shè)函數(shù)在x=α處的切線為:y=f′(α)(x?α)+f(α).如果利用函數(shù)f(x)在(2,+∞)上的“凹凸性”可直接得結(jié)論α＞β＞x0＞ 2.因為f′′(x)=6x?4,當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′′(x)＞ 8,函數(shù) f(x)在(2,+∞)上是 “向下凸”的.

回避“凹凸性”,利用該切線方程求解:分別將實數(shù) α,β,x0代入切線方程:yx=α=f(α),yx=β=0,yx=x0=f′(α)(x0? α)+f(α) ＜ f(x0) ＜ 0. 最后一個表達(dá)式是因為該切線在函數(shù)f(x)的“下方”.設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)?f′(α)(x?α)?f(α),求導(dǎo)可得:F′(x)=f′(x)?f′(α).當(dāng) x ∈ (2,α)時,F′(x)＜ 0,當(dāng) x ∈ (α,+∞)時,F′(x)＞ 0.所以F(x)在x=α處取到最小值,所以F(x)≥F(α)=0.所以上面的三個表達(dá)式成立.又因為該切線單調(diào)遞增,所以α＞β＞x0.

后面的解答過程本質(zhì)上還是利用了函數(shù)的“凹凸性”.該問題的實質(zhì)提供了一個求三次方程近似解的方案.取α=4,過x=α做函數(shù)f(x)的切線,將該切線的橫截距賦給α再代入上一步,反復(fù)操作,這里的橫截距將會無限的接近函數(shù)f(x)的零點.即通過該流程可無限的逼近三次方程近似解.因為函數(shù)f(x)在(2,+∞)上是“向下凸”的,所以一開始令α=3也可獲得答案.但如果取α=1,該流程則不一定能逼近該零點.

三、切線的升華:“支撐線”

“切線法”的本質(zhì)在于切線位于函數(shù)的上方或下方,通過幾何直觀即可將原復(fù)雜的表達(dá)式化簡.然而有些函數(shù)雖然具有“凹凸性”,但也不能用“切線”來求解.這時本文提出用“支撐線”來替代“切線”.

例5(2015年山東21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2?x).

(1)略;(2)若?x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

分析該題a的取值范圍是[0,1].基本的解法是構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù).本文先嘗試運用“切線法”.f(x)≥0?ln(x+1)≥?a(x2?x),且有x＞0,所以不等式的兩邊同除以x變形為.設(shè)函數(shù)

(其中x=0的值是通過極限求得的.)設(shè)G(x)=?a(x?1),直線G(x)過定點(1,0),斜率未知.對F(x)求導(dǎo)可得:

圖2

解根據(jù)上面的分析,畫出F(x)的圖像,如圖2.點B的坐標(biāo)為(0,1).設(shè)F(x)在該點的切線為l.F(x)在該點的導(dǎo)數(shù)為,所以.因為F(x)在[0,+∞)上是“向下凸”的,所以F(x)在直線l的上方,證明過程可參考上面的例題.對于函數(shù)G(x),過定點A(1,0),為保證F(x)≥G(x),所以函數(shù)G(x)與F(x)至多只有一個交點B.

此時kAB=?1,因為,所以G(x)在[0,+∞)上位于直線l的下方,所以G(x)在F(x)的下方.即有F(x)≥G(x)是成立的.此時的a=1,顯然可知當(dāng)a∈[0,1]時,G(x)與F(x)至多只有一個交點B.而當(dāng)a∈/[0,1],G(x)與F(x)的交點一定不是B.

反思本文旨在說明“切線法”或“支撐線”的運用原理及使用范圍.所以解答過程相對復(fù)雜.若直接運用該技巧,特別在選擇或填空題型中,該方法可極大的節(jié)省計算時間.