如何設(shè)計循序漸進(jìn)的解題教學(xué)

鄭菊萍

(江蘇省溧陽市光華高級中學(xué) 213300)

問題解關(guān)于x的不等式x2+(a-4)x+4-2a<0．

分析這是在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)階段，筆者給出的一個含參不等式問題．對于參數(shù)不等式，學(xué)生掌握得一般都不是特別理想．教學(xué)首先引導(dǎo)學(xué)生如何解決該問題．

師：大家嘗試下，本題如何解決？

生：可以直接利用求根公式求根．

師：可以，但是這樣的解決一定十分復(fù)雜，也不是考查的本意．

生：本題可以因式分解為x-2x-2-a<0，這樣方便很多．

師：正確！這才是問題解決的正確途徑．請同學(xué)們具體說一說解決過程．

生：將不等式分解為x-2x-2-a<0，根據(jù)一元二次不等式的解法，兩根x1=2,x2=2-a的大小未定，討論根的大小，進(jìn)而解不等式．當(dāng)2>2-a即a>0時，2-a

師：好．不等式對于我們來說是一種工具，學(xué)不等式主要的作用是體現(xiàn)在各種具體需要的問題情境中，我們來看一個變式．

設(shè)計思路：以一道基本教材課后習(xí)題為根本設(shè)計本課，讓學(xué)生感受教材問題的重要性，為隨后不斷將問題提高難度奠定知識基礎(chǔ)．

生：對于本題，我認(rèn)為其本質(zhì)是思考不等式的問題．即對任意的變量，滿足不等式x2+(a-4)x+4-2a≥0恒成立，可以從函數(shù)的角度思考．

師：分析很到位，其本質(zhì)還是如何解決不等式問題，請給出具體過程．

生：由題意等價為x2+(a-4)x+4-2a≥0在R上恒成立，則Δ=(a-4)2-4(4-2a)≤0，解得a=0．

設(shè)計意圖：對不等式問題進(jìn)行簡單的包裝，以函數(shù)背景為載體，讓學(xué)生通過自我分析認(rèn)知問題的本質(zhì)依舊是解決不等式，從而理解解不等式知識對定義域求解的重要性．

上升設(shè)計2：二次函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a，若不等式f(x)<0的解集為A，又B=x1

師：本題如何思考？

生：我認(rèn)為，這是一道以集合為載體的不等式問題．只要解決集合A，利用子集關(guān)系即可求解．

師：分析得正確.由前面的問題可知，函數(shù)f(x)=(x-2)(x-2+a)=0的兩個零點(diǎn)x1=2、x2=2-a，只需方程的根在區(qū)間1,3內(nèi)即可，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布．但這一問題解決時候，涉及到集合中的子集，你認(rèn)為特別需要考慮什么問題？

生：子集中空集的可能性．

師：正確，請給出具體過程．

生：但注意空集這特殊情況．考慮到二次函數(shù)圖象開口向上，利用二次函數(shù)的圖象特征，只需方程f(x)=0的根均在區(qū)間1,3內(nèi)，則①A=?,則a=0；②A≠?,則2∈(1，3)，所以2-a∈1,3，則a∈-1,0∪0,1.綜上所得a∈-1,1．

設(shè)計意圖：本變式問題的背景依舊是同前面問題，降低了問題在課堂教學(xué)中的讀題時間，提高了教學(xué)時效．進(jìn)一步分析要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不等式解決過程中，子集中空集的可能性，提高問題難度的同時，也保障思維的全面性．

上升設(shè)計3：方程log4x2+alog4x+4-2a=0在16，+∞上有兩不等實(shí)根，求a的取值范圍．

師：思考變式3，對于本題如何處理？

生：我認(rèn)為首先需要借助換元，讓問題顯示得更清晰一些．用換元的思想設(shè)log4x=t，則方程就等價為t2+at+4-2a=0在t∈2,+∞有不同兩解，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的基本題型．

師：從方程的角度思考，如何分析在t∈2,+∞有不同兩解？

師：正確．將換元思想融入到問題之中，要學(xué)會從思想的視角進(jìn)一步審視問題，從而理解問題的本質(zhì)依舊回歸到函數(shù)與方程，在解決問題過程中，如何利用不等式，這是依賴圖形化的策略解決根與系數(shù)的關(guān)系．

設(shè)計意圖：問題層層遞進(jìn)過程中，換元思想的介入是必不可少的途徑，不妨進(jìn)一步思考條件改為log4x改為2x，將區(qū)間改變又如何呢？這些都是換元思想作用于具體問題的體現(xiàn)，是教學(xué)需要滲透關(guān)注的．

上升設(shè)計4：對于任意α∈-π,π，不等式cos2α+(4-a)sinα+2a-5<0恒成立，求a的取值范圍．

師：對于本題變式，如何思考？

生：我認(rèn)為依舊是換元思想首先需要介入，然后尋求不等式問題的解決．

師：是的．但明顯這里換元后，對變量自身的范圍要思考，對恒成立處理的方式要思考．先將問題做等價的處理，請同學(xué)們說一說．

生：令cosα=x,α∈-π,π,則x∈-1,1，原題就等價于對于任意x∈-1,1 ，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，求a的取值范圍．

師：接下來恒成立問題的處理，請同學(xué)們思考恒成立問題處理的最佳角度？

師：很好！通過解不等式，我們理解了不等式知識在各種情境問題中的作用，知識的靈活運(yùn)用需要不斷地熟練運(yùn)用和總結(jié)．

本課是筆者解題教學(xué)中的一個小小片斷，從解不等式到函數(shù)定義域、到換元思想的介入，我們發(fā)現(xiàn)這些類似問題都將不等式知識如何靈活運(yùn)用給出了典型的示范.解題教學(xué)恰恰要這樣的設(shè)計：來源于教材的問題為載體，進(jìn)行加工、變式、改編、深化，讓知識的整體性在不同的問題中展示出來，獲得更為寬泛的運(yùn)用，從而提升知識的理解是教師的重要工作．

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉見樂.用思想方法指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育,2014(5).

[3]劉見樂.用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題[J].中國數(shù)學(xué)教育,2011(5).