無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的SEIS及 SEIR 模型研究 *

趙　璇，　李寶根，　喻祖國(guó)

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105 )

在傳統(tǒng)的生物數(shù)學(xué)中，傳染病模型有易感者-染病者-易感者 (SIS) 模型和易感者-染病者-恢復(fù)者 (SIR) 模型，研究的主要思想是 Kermack和Mckendrick在 1927 年提出的“倉(cāng)室”模型[1].這些隨機(jī)混合模型總是假設(shè)同質(zhì)均勻混合，即人群中的所有個(gè)體相互接觸的可能性是一樣的，但這在現(xiàn)實(shí)中幾乎是不存在的.近年來(lái)有很多研究去克服這種不足，其中一個(gè)努力的方向就是引入網(wǎng)絡(luò)模型[2-9].許多的研究人員相繼提出了一些相關(guān)模型，研究了疾病在特定網(wǎng)絡(luò)上傳播的統(tǒng)計(jì)和動(dòng)力學(xué)特征，并給出了相應(yīng)傳染病的傳播閾值R0[2-5]，即基本再生數(shù).R0是指在傳染病發(fā)病初期，在一個(gè)全部是易感者的人群中，進(jìn)入一個(gè)染病者，在其病程內(nèi)傳染的平均人數(shù).后來(lái) Li 等人也多次研究了經(jīng)典的易感者-潛伏者-染病者-恢復(fù)者 (SEIR)模型[6,10-11].而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的 SEIR 模型卻很少.2003年，Grabowski 與 Kosinski研究了分層結(jié)構(gòu)的 SEIR 傳染病模型[7].2006年，Gama 與 Nunes 研究了小世界網(wǎng)絡(luò)上的 SEIR 傳染病模型[8].2008年,Fu 等人[12]研究了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[13-15]上具有分段線性傳染性及免疫的 SIS模型的傳染病動(dòng)力學(xué).2012年,Zhu等人研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有非線性感染率的 SIS模型的全局吸引性[16].2014年,Li 等人研究了異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上 SEIR 模型的流行病動(dòng)力學(xué)行為[17].2017年,Wang 等人研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上基于邊的 SEIR 模型的流行病動(dòng)力學(xué)行為[18].最近,Yan等人給出了接觸網(wǎng)絡(luò)上基于邊的 SIR模型的性病動(dòng)力學(xué)研究[19].本文中我們基于節(jié)點(diǎn)研究了潛伏期患者不具備傳染能力的易感者-潛伏者-染病者-易感者 (SEIS) 模型[20]與 SEIR 模型在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[13-15]和動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)[3]上的性質(zhì).

以下字母表示的含義除特殊說(shuō)明外，全文通用：網(wǎng)絡(luò)中的總節(jié)點(diǎn)數(shù)目N；易感者S，即未染病但有可能被傳染的個(gè)體；潛伏者E，即已染病但不具有傳染能力的個(gè)體；染病者I，即已染病并具有傳染能力的個(gè)體；恢復(fù)者R，即未染病且具有免疫力的個(gè)體；感染率系數(shù)β，即易感者與染病者接觸，被感染的比例；轉(zhuǎn)移率系數(shù)α，即潛伏者成為染病者的比例；恢復(fù)率系數(shù)γ，即染病者恢復(fù)的比例；易感者比例s(t),e(t),i(t),r(t)，分別表示在t時(shí)刻易感者、潛伏者、感染者和恢復(fù)者節(jié)點(diǎn)數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例；F(t)，即t時(shí)刻墻域的個(gè)數(shù).

1　無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的SEIS及SEIR模型

1.1　無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的SEIS模型

對(duì)于任意網(wǎng)絡(luò)，在t時(shí)刻，S、E和I三類(lèi)節(jié)點(diǎn)占度為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)組中的比例分別為sk(t),ek(t),ik(t).考慮節(jié)點(diǎn)間度的差異，我們建立網(wǎng)絡(luò)上的SEIS模型的微分方程為：

(1)

(2)

在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)情況下，由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有很大的異質(zhì)性，當(dāng)N→時(shí)，會(huì)導(dǎo)致→，從而R0→.這與[21],[22]中發(fā)現(xiàn)在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上適當(dāng)參數(shù)下不存在閾值的結(jié)果類(lèi)似.由此可見(jiàn)，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上，即使傳染率β非常小，在SEIS模型下疾病也可以擴(kuò)散(R0>1).

1.2　無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的SEIR模型

SEIR模型適用于感染個(gè)體被治愈獲得免疫而不會(huì)再被感染，同時(shí)可以避免感染或者染病后死亡的情況.對(duì)任意網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)t時(shí)刻，S、E、I和R這四類(lèi)節(jié)點(diǎn)占度為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)組中比例分別為sk(t),ek(t),ik(t),rk(t)，且sk(t)+ek(t)+ik(t)+rk(t)=1.令Θ(t)=∑kP(k)ik(t)/k，可建立

(3)

αφ-γφ=0，1-∑kP(k)〈k〉-1e-β kφ-αφ=0,

式中φ由此可以得到將φ=0帶入上式，等號(hào)顯然成立，故φ=0是上述自相關(guān)方程的一個(gè)平凡解.令f(φ)=γ-1(1-∑kP(k)/〈k〉e-βkφ)，則0

在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)情況下，由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有很大的異質(zhì)性，當(dāng)N→時(shí)，會(huì)導(dǎo)致〈k2〉→，從而R0→.故在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上，即使傳染率β非常小，SEIR模型下疾病也可以擴(kuò)散(R0>1).

2　動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的SEIS及SEIR模型

已有研究表明嚴(yán)重急性呼吸系統(tǒng)綜合癥(SARS)的傳播(尤其是2003年在香港)表現(xiàn)出的特點(diǎn)具有典型的小世界特性[12].為了能更好地反映真實(shí)社交結(jié)構(gòu)對(duì)流行病的影響，Saram?ki和Kaski提出了動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)[3].(1) 從規(guī)則圖開(kāi)始：生成一個(gè)含N個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò).每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與其最近鄰的K個(gè)節(jié)點(diǎn)連邊.(2) 長(zhǎng)程隨機(jī)加邊：以概率p隨機(jī)選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，并連接.其中節(jié)點(diǎn)不可以自成環(huán)，而且不同的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間只能有一條邊.SARS疾病傳播的特點(diǎn)就是將每一次的隨機(jī)加邊看作是人和人之間的一次遠(yuǎn)距離接觸，即疾病的長(zhǎng)程傳播過(guò)程.

2.1　動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的SEIS模型

動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的SEIS的數(shù)學(xué)模型：最初，在模型中有I0個(gè)節(jié)點(diǎn)處于感染狀態(tài)，則N-I0個(gè)節(jié)點(diǎn)處于易感狀態(tài)，且滿足I0?N.t時(shí)刻，I(t)為I類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，E(t)為E類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目.定義輔助變量F(t)=[SI][3]：表示t時(shí)刻一端頂點(diǎn)為S類(lèi)節(jié)點(diǎn)、另一端頂點(diǎn)是I類(lèi)節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)目，即可能發(fā)生短程傳播的邊的數(shù)目.稱(chēng)F(t)為“墻域”的個(gè)數(shù).借助F(t)，可得

(4)

在疾病傳播早期階段，假設(shè)N足夠大，忽略?xún)蓷l墻域相遇的情形，那么墻域的變化分為兩種情況.情形一： (1) 長(zhǎng)程傳播中(即[SIS])，感染節(jié)點(diǎn)感染其鄰居節(jié)點(diǎn)后，感染鄰居處于潛伏期狀態(tài)E，造成墻域減少，即βpF(t)；感染節(jié)點(diǎn)未感染其鄰居節(jié)點(diǎn)就恢復(fù)成易感狀態(tài)，造成墻域減少，即 (1-β)γpF(t)，其中p為長(zhǎng)程傳播出現(xiàn)的概率. (2) 短程傳播中(即[IIS])，感染節(jié)點(diǎn)感染其鄰居節(jié)點(diǎn)后，感染鄰居處于潛伏期狀態(tài)E，造成墻域減少，即β(1-p)F(t).情形二：(1) 長(zhǎng)程傳播中(即[SIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域雙倍增加，即增量為 2αpE；(2) 短程傳播中(即[IIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域增加，即增量為α(1-p)E.綜上得：

(5)

將(5)代入(4)得：

(6)

類(lèi)似于[3]，通過(guò)對(duì)方程式(6)的特征根分析可以知道，疾病傳播的閾值條件為β>γ/(1+γ).

2.2　動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的 SEIR 模型

類(lèi)似前面動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上 SEIS 模型的建立過(guò)程，在疾病傳播早期階段，假設(shè)N足夠大，忽略?xún)蓷l墻域相遇的情形，那么墻域的變化分為以下兩種情況.情形一：感染節(jié)點(diǎn)感染其鄰居節(jié)點(diǎn)后，感染鄰居處于潛伏期狀態(tài)E，造成墻域減少，即βF(t)； 感染節(jié)點(diǎn)未感染其鄰居節(jié)點(diǎn)就恢復(fù)成免疫狀態(tài)，造成墻域減少，即 (1-β)γF(t).情形二： (1) 長(zhǎng)程傳播中(即[SIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域雙倍增加，即增量為 2αpE； (2) 短程傳播中(即[IIS])，潛伏期狀態(tài)E變成感染狀態(tài)I，造成墻域增加，即增量為α(1-p)E.綜上并化簡(jiǎn)得：

(7)

類(lèi)似于[3]，通過(guò)對(duì)上述方程特征根的分析可以知道，疾病傳播的閾值條件為p>(1-β)γ/β.

3　結(jié)　論

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