旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)建模與基于微分平坦的軌跡生成*

李順杰,　馬欣鍵

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京 211800)

作為一個(gè)經(jīng)典非完整約束系統(tǒng)，滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可描述為一個(gè)無漂移雙輸入非線性系統(tǒng)[1].近年來，Kai在文獻(xiàn)[2]中首次研究了勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)，給出了該系統(tǒng)滿足的仿射非完整約束條件，建立了其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并根據(jù)系統(tǒng)模型研究了該系統(tǒng)的軌跡生成問題.作者通過研究發(fā)現(xiàn)，Kai建立的勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是錯(cuò)誤的，原因在于他提出的非完整約束條件混淆了硬幣的絕對運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng).本文分析并修正了勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的非完整約束條件，從而推導(dǎo)出系統(tǒng)正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.此外，分析了該系統(tǒng)的微分平坦性，證明了勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)是微分平坦的，并給出了系統(tǒng)的微分平坦輸出.最后，利用微分平坦系統(tǒng)的性質(zhì)研究了該系統(tǒng)點(diǎn)到點(diǎn)的可行軌跡生成問題，并利用MATLAB仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性.本文結(jié)果為今后繼續(xù)研究可任意運(yùn)動(dòng)平臺上的移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃及軌跡跟蹤問題奠定了理論基礎(chǔ).

1　旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)模型

考慮勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)，如圖1所示，其中，R>0為硬幣的半徑，Ω為桌面旋轉(zhuǎn)角速度且是一個(gè)常數(shù).用q=(x,y,θ,φ)表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，其中(x,y)表示硬幣與桌面接觸點(diǎn)的坐標(biāo)，θ表示硬幣運(yùn)動(dòng)方向相對x軸的偏角，φ為硬幣運(yùn)動(dòng)時(shí)相對于豎直方向的偏角.

1.1　Kai模型分析

Kai指出勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)滿足以下仿射非完整約束條件[2]：

(1)

并根據(jù)約束條件(1)得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

(2)

1.2　旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)模型

在勻速旋轉(zhuǎn)桌面上研究硬幣的運(yùn)動(dòng)，顯然需要考慮到桌面旋轉(zhuǎn)對硬幣位置變化的影響，因此，保留非完整約束條件(1)-(ii)的同時(shí)，需要修正非完整約束條件(1)-(i).通過上述分析可知，正確的非完整約束條件(1)-(i)為

顯然上述約束條件可由仿射非完整約束(1)-(ii)得到，即它蘊(yùn)含在仿射非完整約束(1)-(ii)中.因此，勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)實(shí)際上只有一個(gè)仿射非完整約束(1)-(ii)，即

(3)

直接計(jì)算可得正確的勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

(4)

同時(shí)，系統(tǒng)Σc的平衡點(diǎn)為{q=(x,y,θ,φ):x=y=0}.

2　系統(tǒng)微分平坦性分析

2.1　微分平坦

基于微分平坦系統(tǒng)良好的結(jié)構(gòu)特性，滿足微分平坦的非線性系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤等問題都能夠得到非常直接的解決方案，因此在自動(dòng)控制領(lǐng)域逐漸得到了廣泛的應(yīng)用[8-11].

2.2　勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的微分平坦性

首先簡要介紹幾個(gè)微分幾何概念，詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[1,5].考慮m維分布Δ=span{g1,…,gm}，定義分布序列Δ0=Δ,Δi+1=Δi+[Δi,Δi]，i≥0.設(shè)向量場c∈Δ，如果[c,Δ]?Δ，則稱c為分布Δ的不變特征向量場.Δ的所有不變特征向量場構(gòu)成的分布C稱作Δ的不變特征子分布，即C=span{c∈Δ:[c，Δ]?Δ}.

世人皆好責(zé)人而非責(zé)己。在“異常人”的眼中：別人都是豆腐渣，唯有自己是一朵花?！罢Ｈ恕眲t不然。他寬以待人，嚴(yán)于律己。金無足赤，人無完人?！罢Ｈ恕备矣诮馄首约?，善于反省自己。他做人的信條是：只有敢于袒露自己心聲的人，才值得信賴，也才有資格評判他人！

下面的定理為[6]中主要結(jié)論的特殊形式，詳細(xì)證明可參考[6].

其中x∈X?R4，f,g1,g2均是C向量場.設(shè)G為向量場g1,g2構(gòu)成的分布，即G=span{g1,g2}，且C1為分布G1的不變特征子分布.如果Σ滿足[f,C1]?G1且rankGi=i+2, 0≤i≤2，則系統(tǒng)Σ是x-微分平坦的，同時(shí)，雙輸入無漂移非線性系統(tǒng)的任意x-平坦輸出都是Σ的x-平坦輸出.

定理2勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)Σc是x-微分平坦的.

證明只需驗(yàn)證Σc滿足條件[f,C1]?G1與rankGi=i+2, 0≤i≤2.根據(jù)系統(tǒng)模型得

f=(-Ωy，Ωx，0，0)T,g1=(0，0，1，0)T,g2=(Rcosθ，Rsinθ，0，1)T.

(5)

直接計(jì)算可得

g3=[g1,g2]=(-Rsinθ，Rcosθ，0，0)T,g4=[g1,g3]=(-Rcosθ，-Rsinθ，0，0)T.

因?yàn)镚1=span{g1,g2,g3}，G2=span{g1,g2,g3,g4}，顯然rankG1=3,rankG2=4，即條件rankGi=i+2,0≤i≤2滿足.容易驗(yàn)證分布G1的不變特征子分布C1=span{g2}，直接計(jì)算可得[f,g2]=-Ωg3∈G1，即條件[f,C1]?G1滿足.因此，由定理1，勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)Σc是x-微分平坦的.此外，原系統(tǒng)對應(yīng)的無漂移系統(tǒng)

的任意x-平坦輸出都是Σc的x-平坦輸出，其中g(shù)1,g2由(5)給出.注意到，無漂移非線性系統(tǒng)Σlin實(shí)際上就是經(jīng)典滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[1,7]，根據(jù)[7]的結(jié)論，

h=(h1,h2)=(θ,Rφ-xcosθ-ysinθ)

(6)

是Σlin的一組x-平坦輸出，因此，可以選擇(6)作為系統(tǒng)Σc的一組x-平坦輸出.容易驗(yàn)證系統(tǒng)Σc的狀態(tài)變量x,y,θ,φ以及控制輸入u1,u2均可表示為h1,h2及其有限階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)：

(7)

3　基于微分平坦的軌跡生成

本節(jié)將研究勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)Σc在給定初始狀態(tài)和終端狀態(tài)時(shí)的點(diǎn)到點(diǎn)軌跡生成問題.一般來說，非線性系統(tǒng)點(diǎn)到點(diǎn)軌跡生成問題是比較困難的，尤其對于非完整約束系統(tǒng)，因?yàn)椴⒉皇撬熊壽E都是可行的.但是，如果系統(tǒng)是微分平坦的，初始狀態(tài)和終端狀態(tài)可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)平坦輸出及其有限階導(dǎo)數(shù)的初始條件和終端條件，然后在平坦輸出空間中選擇滿足初始和終端條件的軌跡，最后利用逆映射得到原系統(tǒng)的可行軌跡[3].在平坦輸出空間中選擇可行軌跡有多種方法，為方便起見，本文將選擇基于多項(xiàng)式的軌跡生成方法.

首先建立系統(tǒng)Σc的狀態(tài)空間與平坦輸出空間的微分同胚映射.通過(7)可以看出，在將系統(tǒng)的狀態(tài)變量x,y,θ,φ以及控制輸入u1,u2表示為h1,h2及其有限階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)時(shí)，需要用到平坦輸出h1,h2的三階導(dǎo)數(shù).直接計(jì)算可得h1,h2及其各階導(dǎo)數(shù)用系統(tǒng)狀態(tài)、輸入及其導(dǎo)數(shù)表示如下：

(8)

4　仿真結(jié)果

給定系統(tǒng)參數(shù)為R=1 cm,Ω=5 rad/s,系統(tǒng)初始狀態(tài)為：x(0)=5 cm,y(0)=10 cm，θ(0)=π/6 rad,φ(0)=π/12 rad；系統(tǒng)終端狀態(tài)為：x(tf)=-10 cm，y(tf)=-5 cm，θ(tf)=2π/3 rad,φ(tf)=-π/4 rad，設(shè)終端時(shí)刻為t=tf=10 s.

利用MATLAB得到仿真結(jié)果如圖2～圖5所示.

5　結(jié)　論

本文研究了勻速旋轉(zhuǎn)桌面上滾動(dòng)硬幣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模以及基于微分平坦的點(diǎn)到點(diǎn)軌跡生成問題.首先，指出了Kai在建立該系統(tǒng)仿射非完整約束及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)的錯(cuò)誤并加以修正，從而給出了正確的仿射非完整約束條件及其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.其次，證明了該系統(tǒng)是x-微分平坦的，且其對應(yīng)的無漂移非線性系統(tǒng)的所有平坦輸出都可作為該系統(tǒng)的平坦輸出.最后，利用微分平坦系統(tǒng)的性質(zhì)，研究了該系統(tǒng)點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡生成問題，并利用MATLAB給出了仿真結(jié)果.

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