KT格式數(shù)值求解幾類典型流體力學(xué)問題*

蔡振宇,　李明軍

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

KT格式[1-3]是一種新的高精度中心格式，于2000年首先由Kurganov和Tadmor共同提出.KT格式利用波在當(dāng)?shù)貍鞑サ淖畲笏俣葋砉烙?jì)黎曼扇的寬度，從而將計(jì)算區(qū)域分為光滑區(qū)域和非光滑區(qū)域，并對兩部分分別進(jìn)行積分求解.KT格式除了具有中心格式所具有的無需求解黎曼求解器，算法簡單的優(yōu)點(diǎn)以外，該格式還具有數(shù)值耗散小，穩(wěn)定性高，捕捉激波能力強(qiáng)等特點(diǎn).在已有中心格式的基礎(chǔ)上，KT格式精確地利用波在當(dāng)?shù)貍鞑サ淖畲笏俣葋碛?jì)算非光滑區(qū)域.在非光滑區(qū)域內(nèi)使用與當(dāng)?shù)厮俣认嚓P(guān)的更小網(wǎng)格，精確地估計(jì)黎曼扇的寬度，對黎曼扇進(jìn)行積分近似求解.KT格式最大的特點(diǎn)是無需求解黎曼求解器，所以算法簡單.該格式的數(shù)值粘性與Ο(Δx2r-1)同階，與時(shí)間步長沒有關(guān)系.所以當(dāng)Δt→0時(shí)，該格式可以寫成半離散格式，它的數(shù)值耗散更小，分辨率高.

本文利用KT格式分別求解一維、二維激波管問題，并首次利用該格式實(shí)現(xiàn)雙馬赫反射問題計(jì)算[4-5].通過觀察、分析計(jì)算結(jié)果，并將一維激波管問題計(jì)算結(jié)果與其他幾種經(jīng)典格式(Steger-Warming，van Leer，AUSM)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)KT格式能較好地模擬這幾類流體問題.通過比較發(fā)現(xiàn)，KT格式在間斷處展現(xiàn)出更高的精度，具有一定的優(yōu)越性.本文結(jié)果很好地驗(yàn)證了KT格式數(shù)值耗散小、分辨率高、捕捉激波能力強(qiáng)等相關(guān)理論.

1　控制方程

激波管問題和雙馬赫問題所用的控制方程都是歐拉方程，它包含了質(zhì)量守恒，動(dòng)量守恒和能量守恒定律[9].二維歐拉方程形式為：

(1)

式中，U=(ρ,ρu,ρv,ρe0),F=(ρu,ρu2+p,ρuv,(ρe0+p)u),G=(ρv,ρuv,ρv2+p,(ρe0+p)v).在這里，ρ是密度，u是x方向的速度，v是y方向的速度，p是壓力，e0是單位質(zhì)量總能量e0=e+(u2+v2)/2，e是單位質(zhì)量內(nèi)能.

2　數(shù)值方法

2.1　空間離散[10-12]

為了闡述更加簡單，便于理解，在這部分我們以標(biāo)量守恒方程為研究對象：

(2)

(3)

在這里使用積分中值定理可得

(4)

若Δt項(xiàng)趨近于零，則

可得：

(5)

2.2　時(shí)間離散[5,8]

本文采用三階Runge-Kutta顯式方法對時(shí)間進(jìn)行離散、推進(jìn)求解.其具體表達(dá)形式為：

u(1)=un+ΔtnC[un]，u(l+1)=ηlun+(1-ηl)(u(l)+ΔtnC[u(l)])，un+1=u(3),l=1, 2.

3　結(jié)果與討論

3.1　一維激波管問題計(jì)算結(jié)果及其分析

對于一維激波管問題，在[0,1]區(qū)間內(nèi)劃分了500個(gè)均勻的網(wǎng)格.在邊界處，采用了固壁邊界條件.初始條件如下：

p=105,ρ=1,u=0，x≤0.4；p=104,ρ=0.125,u=0，0.4

圖1顯示了用KT格式計(jì)算一維激波管問題時(shí)，所得流體的密度、速度和壓力的分布情況.在每個(gè)圖中對比了數(shù)值解和精確解.結(jié)果顯示，KT格式對流體中經(jīng)典物理量的真實(shí)分布情況可以很好的近似.

3.2　二維激波管問題計(jì)算結(jié)果及其分析

對于二維激波管問題，在[0,1] ×[0,0.1]矩形區(qū)域內(nèi)，劃分了200 ×10個(gè)均勻的網(wǎng)格.在邊界處采用了固壁邊界條件.初始條件如下：

p=1,ρ=1,u=0,v=0,x≤0.5;p=0.1,ρ=0.125,u=0,v=0,0.5

如圖2(a)、(b)、(c)所示,分別展現(xiàn)了在二維激波管問題中，流體的密度、速度和壓力的分布情況.容易看到，KT格式的計(jì)算結(jié)果可以很好地反應(yīng)真實(shí)的物理流動(dòng)，無論是膨脹波、接觸間斷還是沖激波都被比較準(zhǔn)確地捕捉到.

4　結(jié)　論

本文研究了KT格式在模擬幾種典型流體力學(xué)問題時(shí)的性能.KT格式利用波在當(dāng)?shù)貍鞑サ淖畲笏俣葋砉烙?jì)黎曼扇的寬度，將光滑區(qū)域與非光滑區(qū)域分開分別進(jìn)行求解，能更準(zhǔn)確地捕捉激波位置.通過對比KT、Steger-Warming格式、van Leer格式和AUSM格式在計(jì)算一維激波管問題的數(shù)值模擬結(jié)果，可以得知，KT格式具有二階精度.在間斷(膨脹波、接觸間斷、沖激波)出現(xiàn)的位置，相較于其他幾種格式，具有較小的數(shù)值耗散.通過觀察二維激波管問題的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可以看到，KT格式可以很好地模擬此類問題.由于KT格式無需求解黎曼求解器，而且能寫成半離散格式，所以算法簡單，編寫程序也相對簡單.

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