南宋歷法中的交食算法及其計算精度

滕艷輝，王鵬云，劉婭婭

(1.咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 咸陽　712000;2.西安財經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計學(xué)院,陜西 西安　710100)

在天文歷法方面,南宋在北宋的基礎(chǔ)上取得了一定的發(fā)展。那么,南宋時期的歷法推算方法和推算精度相比過去有著怎樣的提升或變化呢?本文將對南宋歷法中的交食推步和計算精度問題展開討論。

1　南宋歷法中的交食計算方法

南宋自1135年至1279年共行用11部歷法。其中《紀(jì)元歷》是北宋制定的歷法,《本天》、《淳祐》和《會天》三歷目前已經(jīng)失傳,這樣,《宋史》在南宋部分只記載了其余7部歷法的內(nèi)容。《宋史·律歷志》將《統(tǒng)元》、《乾道》、《淳熙》和《會元》四歷記載在一起,將《統(tǒng)天》、《開禧》和《會天》三歷記載在一起。然而,正史僅是記載了這些歷法的常數(shù)、表格和推算的步驟名稱,對推算步驟的具體術(shù)文則略去不記,僅是在每一部分的結(jié)尾注明“法同前歷,此不載”[1]。這樣,我們現(xiàn)在是不知道這些歷法的推算算法的。

1.1　南宋歷法中交食算法的推算術(shù)文

一般認(rèn)為,南宋的歷法多是根據(jù)北宋歷法修訂而來。雖然正史未載其術(shù)文,但根據(jù)“法同前歷,此不載”,可知這些歷法的推算方法與前面某部歷法是一樣的。它們僅是基本天文常數(shù)存在差異,修史者為避免重復(fù),略去不記。問題是,這里的“前歷”指的是哪部歷法呢?一些學(xué)者認(rèn)為“前歷”當(dāng)指北宋最后一部歷法《紀(jì)元歷》,因這在時間上是貼合實際的[2-4]。

然而,就交食計算而言,當(dāng)我們詳查《統(tǒng)元歷》等4部歷法的推算步驟時,發(fā)現(xiàn)它們的某些步驟與《紀(jì)元歷》不一致?！督y(tǒng)元歷》在“求入交常日”后有“求朔望加時入交定日”而《紀(jì)元歷》則無此項;《紀(jì)元歷》在求氣、刻差之后有“求朔入交定日”和“求望入交定日”而《統(tǒng)元歷》則無。根據(jù)《紀(jì)元歷》算法,“入交定日”一定是在視差修正之后求得,因此,兩者的“入交定日”所指有異[5]。在比較《統(tǒng)天歷》等3部歷法的推算步驟時,我們發(fā)現(xiàn)它們在視差修正前有“求入交數(shù)、常、望定日”,而在視差修正后只有求“朔入交定日”,它們的步驟與《紀(jì)元歷》的相近。由于交食計算要用到每日的太陽視赤緯,我們查看南宋歷法晷影漏刻部分的常數(shù)和推算過程時,發(fā)現(xiàn)《統(tǒng)元》四歷是利用消息定數(shù)來計算,這與《崇天歷》的過程相同;而《統(tǒng)天》三歷直接根據(jù)每日午中的限度去計算,這與《紀(jì)元歷》的相同[6]。

《宋史·律歷志》記載“《統(tǒng)元歷》頒行雖久,有司不善用之,暗用《紀(jì)元》法推步,而以《統(tǒng)元》為名。乾道二年,日官以《紀(jì)元歷》推三年丁亥歲十一月甲子朔,將頒行,裴伯壽詣禮部陳《統(tǒng)元歷》法當(dāng)進作乙丑朔,于是依《統(tǒng)元歷》法正之?！?文獻[1],2870頁)那么,《統(tǒng)元》和《紀(jì)元》的常數(shù)及計算的復(fù)雜性差不多,如果兩者的方法一致,有司為什么還要暗用《紀(jì)元》呢。

以上這些,都說明,《統(tǒng)元歷》等4部歷法與《紀(jì)元歷》的算法是不同的,而《統(tǒng)天歷》等3部歷法與《紀(jì)元歷》可能相同。北宋影響最大,且算法最成熟的是《崇天歷》和《紀(jì)元歷》。《崇天歷》前后行用40多年,其后《觀天歷》的交食算法也完全與它相同。比較《統(tǒng)元歷》,我們發(fā)現(xiàn)其交食推算步驟也與《崇天歷》一致。這樣,我們猜測《統(tǒng)元歷》記載中的“前歷”應(yīng)該是《崇天歷》*宋初三歷無論行文描述還是推算過程都不成熟,加之時間相隔太久,南宋的歷家們不可能依其為模板;雖然周琮自認(rèn)為《明天歷》的推步和數(shù)據(jù)都很優(yōu)秀,但其精度卻沒有想象的高,而其后的《觀天歷》大部分算法是延用《崇天歷》的算法;《奉元歷》和《占天歷》南宋時已經(jīng)失傳,《觀天歷》與《崇天歷》幾乎相同。這樣,南宋歷法可能采用的算法只有《崇天歷》和《紀(jì)元歷》的。。

1.2　《宋史》中交食推算結(jié)果的分析

為了進一步證實猜測,我們將南宋歷法的常數(shù)分別代入《崇天歷》和《紀(jì)元歷》的交食算法中，分析它們推算結(jié)果的異同?！端问贰酚涊d，在歷法改革或評議時,歷算家為了說明某部歷法的優(yōu)劣,有用其推算交食的情況。如果這些結(jié)果與我們使用《崇天歷》算法所得結(jié)果相一致,則可以進一步證明這部歷法使用了《崇天歷》的交食推算方法,對于《紀(jì)元歷》,情況一樣。下面,我們將對每一條記錄進行分析。

a. 《統(tǒng)元歷》編制時,《宋史》記載“紹興五年,日官言,正月朔旦日食九分半,虧在辰正。常州布衣陳得一言:當(dāng)食八分半,虧在巳初。其言卒驗”(文獻[1],2869頁)。陳得一當(dāng)是用他所編制的《統(tǒng)元歷》推算這次日食,初虧在巳初,按現(xiàn)在時間大約上午9∶00至9∶14。我們將《統(tǒng)元歷》的常數(shù)代入《崇天歷》重新計算的結(jié)果是食分8.50分,初虧時刻是9∶01;而代入《紀(jì)元歷》的結(jié)果是食分8.87分,初虧時刻是8∶45[7-9]*因古代日月食的過程計算相當(dāng)復(fù)雜,限于篇幅,本文不可能將計算過程和中間結(jié)果列出,相關(guān)計算可參考文獻[7-9]。。史料結(jié)果顯然與用《崇天歷》推算的結(jié)果一致,而與《紀(jì)元歷》的有一定差異。

b. 在《乾道歷》制定中,史載“(孝榮)又定去年(乾道三年)二月望夜二更五點月食九分以上,出地復(fù)滿。臣嘗言于宰相,是月之食當(dāng)食既出地,《紀(jì)元歷》亦食既出地,生光在戌初三刻,復(fù)滿在戌正三刻。是夕,月出地時有微云,至昏時見月已食既,至戌初三刻果生光,即食既出地可知;復(fù)滿在戌正三刻,時二更二點:臣所言卒驗。孝榮言見行歷交食先天六刻,今所定月食復(fù)滿,乃后天四刻,新歷謬誤為甚。” (文獻[1],2879頁)劉孝榮應(yīng)當(dāng)使用他所制定的《乾道歷》推算,月食食分9分以上,復(fù)滿時刻比真實晚了4刻(大約1小時),實際月食復(fù)滿在戌正三刻(大約20∶43),《乾道歷》計算結(jié)果大約是21∶43。我們回推的結(jié)果是:使用《崇天歷》算法復(fù)滿21∶39,使用《紀(jì)元歷》算法復(fù)滿是20∶05。由此可見,《乾道歷》應(yīng)該使用了《崇天歷》的月食算法。

c. 史載《乾道歷》推算日食“……而太史局丞、同判太史局荊大聲言《乾道歷》加時系不及進限四十二分,定今年(乾道九年)五月朔日食虧初在午時一刻。今測驗日食虧初在午時五刻半,《乾道歷》加時弱四百五十分……”(文獻[1],2882頁)以《乾道歷》推算乾道九年的日食虧初時刻午時一刻,約11∶14分。用《崇天歷》算法推算得11∶12分,《紀(jì)元歷》推算得11∶08,兩者都很接近,但以《崇天歷》算法更接近史載記錄值。

d. 關(guān)于《乾道歷》,還有“且定是年(乾道四年)四月戊辰朔日食一分,日官言食二分,伯壽并非之,既而精明不食?！?文獻[1],2871頁)以《乾道歷》推算乾道三年的日食是一分,用《崇天歷》算法推算得2.67分,《紀(jì)元歷》法算得3.48分,雖然都與記錄不很吻合,但《崇天歷》推算的更接近些。

e. 淳熙歷的推算,史載“以《淳熙歷》推之,九月望夜,月食大分五、小分二十六,帶入漸進大分三、小分四十七;虧初在東北,卯初三刻,系攢點九刻后;食甚在正北,卯正三刻后;復(fù)滿在西北,辰正初刻后,并在晝?！?文獻[1],2886頁)表明使用《淳熙歷》推算淳熙十二年九月的月食,最大食分5.26分,日出帶食分?jǐn)?shù)是3.47分,初虧時刻是5∶43,食甚時刻在6∶43以后,復(fù)滿在8∶00以后。我們復(fù)原的結(jié)果是食分5.25分,日出帶食分?jǐn)?shù)4.79分,這個值略大;用《崇天歷》算法推算得,初虧時刻是5∶30,食甚是6∶35,復(fù)滿是7∶39,《紀(jì)元歷》法算得初虧時刻是5∶14,食甚是6∶23,復(fù)滿是7∶31,雖然都與記錄不很吻合,但《崇天歷》推算的更接近些。

f. 史載“五年,降算造成永祥一官,以元算日食未初三刻,今未正四刻,元算虧八分,今止六分故也?！?文獻[1],2896頁)記載使用《開禧歷》推算淳祐五年日食食分8分,食甚未初三刻,約13∶43分。我們使用《紀(jì)元歷》算法推得食分7.94分,食甚13∶59,與史載記錄基本吻合;使用《崇天歷》算法推算食分9.35分,食甚14∶01,食甚差不多,而食分差了很多。

我們將各條記錄重新計算的結(jié)果、史料記載的結(jié)果及它們之間的對比情況列于表1中。

以上的分析我們不難得到,《統(tǒng)元》四歷的交食推算應(yīng)該使用了《崇天歷》的計算方法,而《開禧歷》則使用了《紀(jì)元歷》的方法。當(dāng)我們考察《宋史·天文志》時,特別留意那些“當(dāng)食不食”或“陰云不見”的情形,因為這很有可能是用歷法推算了某日有交食,但當(dāng)時并沒有發(fā)生日食。如果當(dāng)天正好有陰雨,無論真實情況是否發(fā)生交食,都會記錄“陰云不見”字樣?！端问贰ぬ煳闹尽份d有這樣的日食記錄二十余次,根據(jù)歷法行用年代,我們分別依照《紀(jì)元歷》和《崇天歷》的算法進行推算,結(jié)果除去一次記錄外,兩者的推算并沒有差異。但唯一的不同是嘉定四年十一月(1211年12月7日)的那次日食,《天文志》載“日當(dāng)食,太史言不見虧分”[10]。當(dāng)時行用《開禧歷》,使用《紀(jì)元歷》算法推算當(dāng)食1.36分,而《崇天歷》算法則不能推算出日食。這也是《開禧歷》使用了《紀(jì)元歷》算法的又一個佐證。

2　南宋歷法的交食計算精度

已經(jīng)知道了南宋現(xiàn)存的七部歷法的交食計算過程,接下來,我們考察各部歷法的交食計算精度。為了計算方便,我們將這些歷法的交食算法編寫成計算機程序,利用程序快速計算某年月的交食情況。本文的所有計算結(jié)果都是依Visual Basic 9.0語言所編寫的程序計算的。我們選擇以某部歷法行用初年為準(zhǔn),向前和向后各推100年,計算這200年間的所有可見日食,得到每次日食的食甚時刻和食分大小。將所得結(jié)果與現(xiàn)代天文學(xué)所計算的當(dāng)時真實日食結(jié)果做比較,并選取比較結(jié)果差值的絕對值平均值、最大值等幾個指標(biāo)來評價南宋歷法日食精度*中國古代歷法中,月食的食甚和食分計算相對簡單,但中國古代月食計算中不區(qū)分半影月食,這使得在與現(xiàn)代結(jié)果的比較上存在困難,本文暫不討論月食的精度。。由于食甚結(jié)果受經(jīng)度影響,食分結(jié)果與緯度有關(guān),為了使計算結(jié)果更為客觀,現(xiàn)代結(jié)果的選取上,《統(tǒng)元》等4歷選擇宋岳臺(開封)的可見日食,《統(tǒng)天》等3歷選擇宋臨安(杭州)的可見日食*《統(tǒng)元》等4歷常數(shù)來源于《紀(jì)元歷》在岳臺的觀測數(shù)據(jù),《統(tǒng)天》等3歷重新在臨安測得了常數(shù)。。我們將比較的精度結(jié)果列于表2中。

表1　《宋史》中所載歷法推算記錄與復(fù)原計算結(jié)果比較表Tab.1　Comparison of Recovered Results and Calendar Records in Song History

附注1:①“歷推值”表示某部歷法用計算機程序計算的結(jié)果值；“記錄值”指《宋史》中記載的歷法推算記錄換算成的現(xiàn)代時間表示，其中一刻按14.4分鐘計算；“現(xiàn)代值”指現(xiàn)代天文學(xué)回推的當(dāng)時真時的天象結(jié)果值；②“統(tǒng)元歷C”的歷推值指按照《統(tǒng)元歷》的天文常數(shù)和《崇天歷》的算法推算得到的結(jié)果，“統(tǒng)元歷J”的歷推值指按照《統(tǒng)元歷》的天文常數(shù)和《紀(jì)元歷》的算法推算得到的結(jié)果；其他歷法與此同；③“食分”的歷法推算結(jié)果按古代的傳統(tǒng)取作以10分為限(月全食以15為準(zhǔn))，現(xiàn)代值是現(xiàn)代計算的食分乘以10所得的結(jié)果。

比較結(jié)果表明,南宋歷法推算日食的客觀精度平均值是食甚0.5759小時,大約35分鐘,食分1.54分。按照周琮給出的“校日月交食,若一分二刻以下為親,二分四刻以下為近,三分五刻以上為遠”(文獻[1],2688頁)的交食標(biāo)準(zhǔn),南宋交食計算整體上滿足當(dāng)時的要求。當(dāng)然,這個結(jié)果是依照歷法計算出來的可以對比的數(shù)據(jù)得到的,也就是只有當(dāng)客觀上有交食發(fā)生而歷法也能計算出來的情況下得到的。然而,有些結(jié)果是歷法計算出來有日食而實際上并未發(fā)生或是在觀測地點并不可見,我們稱為“當(dāng)食不食”;還有些是真實發(fā)生了日食,歷法卻計算不出來,我們稱“不當(dāng)食而食”。顯然,能否確定有無交食發(fā)生才是歷法交食計算優(yōu)劣的首要標(biāo)準(zhǔn),這直接關(guān)系到是否要進行有關(guān)祭祀等活動的安排。無論食分大小,只要有交食,都是極其重要的事情[11]。七部歷法平均可比較的次數(shù)是65次,而“當(dāng)食不食”就有28次,還有4次“不當(dāng)食而食”,這樣的結(jié)果意味著,歷法將有三分之一的推算都不準(zhǔn)確。此外,食甚誤差大于1小時的個數(shù)10次,食分誤差大于2分的16次，此時依照周琮的標(biāo)準(zhǔn)看,南宋歷法的推算可能有一半都是不合標(biāo)準(zhǔn)的。

表2　宋代歷法日食計算精度比較表Tab.2　Comparison of Computational Accuracy of Solar Eclipse in Song History

注:表中“日食個數(shù)”是指歷法能推算出并且真實存在的日食,是可以比較的日食。“食甚均值”和“食甚最值”的單位是小時,“食分均值”和“食分最值”的單位是分。

這些失誤推算中,“當(dāng)食不食”的占絕大多數(shù),而“不當(dāng)食而食”的基本都是食分小于2的小食分日食,這可能是由于中國傳統(tǒng)歷法所使用的必偏食限略大。在當(dāng)時的統(tǒng)治者和造歷者看來,“當(dāng)食不食”提前準(zhǔn)備總比突然出現(xiàn)日食而事先并沒有計算出來更能接受些[12-13]。這也可能是《天文志》中有很多記錄是“當(dāng)食不食”,而未記載有“不當(dāng)食而食”的原因吧。

就具體每一步歷法而言,推算失誤比例最大的是《統(tǒng)元歷》,36次,最好的是《成天歷》,27次,但相差不是很大。而推算精度方面,食甚誤差最大的《會元歷》超過0.8小時,最小的《開禧歷》僅有0.4小時,差距明顯;食分誤差最大的《統(tǒng)元歷》超過2分,最小的《淳熙歷》僅有1.3分。各部歷法的精度變化趨勢如圖1所示。無論食分還是食甚,《統(tǒng)天》等三歷的推算明顯好于《統(tǒng)元》等四歷,尤其是《開禧歷》,在8項指標(biāo)中有6項都是所有歷法中最好的,幾乎達到了《紀(jì)元歷》的日食推算水平。雖然《統(tǒng)天歷》之后的歷法使用了更為精確的基本天文常數(shù),但《統(tǒng)天》等歷法使用了較《崇天歷》更優(yōu)秀的《紀(jì)元歷》交食算法,對計算精度的提高起到了更重要的作用。

圖1　南宋歷法日食計算精度圖Fig.1　Computational Accuracy of Solar Eclipse in Calendars of Southern Song Dynasty

《崇天歷》已經(jīng)給出了日食食甚算法的完整模型,幾乎被后來的所有歷法所采用。但是《崇天歷》的食分和食限算法還有一定缺陷,由于其日食的判斷采用“內(nèi)外道”法,使得某些日食推算不準(zhǔn)。而《紀(jì)元歷》采用“入交定日”來判斷交食,食分算法更為合理[14]。這樣,食分計算上《崇天歷》算法的效果不如《紀(jì)元歷》好就是很容易解釋的了。《崇天歷》的時差算法直接以定朔時刻的時角而不是視食甚時刻的時角入算,使得其食甚時刻的計算精度仍是不如《紀(jì)元歷》的算法優(yōu)越[15]。由此看來,《紀(jì)元歷》算法下的歷法就要比《崇天歷》的能更好的滿足當(dāng)時人們的需要[11]。

3　結(jié)　語

中國傳統(tǒng)歷法完整或接近完整地保存至今的不足30部,對那些殘缺的歷法進行修補和修復(fù)就是很有價值的了。南宋的這七部歷法保存有大量常數(shù)和表格,保存少量或沒有術(shù)文。相對那些僅記載若干常數(shù)或是僅出現(xiàn)了名字的歷法,它們的修補是比較容易實現(xiàn)的。我們通過文獻對比,分析《紀(jì)元歷》、《崇天歷》以及這七部歷法的交食算法術(shù)文,發(fā)現(xiàn)《統(tǒng)元》四歷與《崇天歷》的相似之處和《統(tǒng)天》三歷與《紀(jì)元歷》的相似之處。我們根據(jù)史載的歷法推算結(jié)果,通過六條史載記錄的回推計算,證明了《統(tǒng)元》等四歷使用了《崇天歷》的交食推算方法,而《統(tǒng)天》等三歷使用了《紀(jì)元歷》的交食推算方法。當(dāng)然,發(fā)掘史料中的文字性證據(jù)可以更好地為我們的結(jié)論提供佐證,這將是今后的一個工作方向。

我們將《統(tǒng)元》四歷按照《崇天歷》的算法編寫計算機程序,而將《統(tǒng)天》三歷按照《紀(jì)元歷》的算法編寫程序,計算出來各部歷法行用前后各100年間的所有可見日食,并與真實的天象作比較,得到這些歷法的推算精度。得到的結(jié)果是,南宋歷法推算日食食甚的平均誤差0.5759小時,食分誤差1.54分。然而,這些歷法,尤其是《統(tǒng)元》四歷,經(jīng)常出現(xiàn)推算失誤,有將近一半的推算達不到當(dāng)時的標(biāo)準(zhǔn),又以無可見日食而歷法卻推出日食的情況居多。以《紀(jì)元歷》算法為基礎(chǔ)的《統(tǒng)天》三歷的推算水平明顯高于以《崇天歷》算法為基礎(chǔ)的《統(tǒng)元》四歷。

南宋前期,歷法改革頻繁,歷法的討論和爭議也很多,到了后期,這種現(xiàn)象緩和了很多,如《開禧歷》就行用了長達45年之久,這些也可能和歷法的精度有密切聯(lián)系。《崇天歷》算法精度確實不如《紀(jì)元歷》算法,南宋前期的歷法家也懂得《紀(jì)元歷》的推算過程,但陳得一和劉孝榮他們?yōu)槭裁催€是使用了《崇天歷》的算法?使用《紀(jì)元歷》算法的《開禧歷》推算水平是南宋最優(yōu)的,但它還是達不到《紀(jì)元歷》的精度,這又是為什么呢?這些問題也是值得思考和討論的。

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