變幅桿斜槽參數(shù)對縱彎振動系統(tǒng)的影響

段　鵬， 焦　鋒， 趙　波， ?！≮A

(河南理工大學 機械與動力工程學院， 河南 焦作 454000)

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變幅桿斜槽參數(shù)對縱彎振動系統(tǒng)的影響

段鵬， 焦鋒*， 趙波， 牛贏

(河南理工大學 機械與動力工程學院， 河南 焦作 454000)

為了實現(xiàn)超精密切削，設(shè)計了二維縱彎超聲振動系統(tǒng)中變幅桿的結(jié)構(gòu)。通過分析開斜槽變幅桿的結(jié)構(gòu)，理論上揭示了斜槽位置d、斜槽傾斜角α、斜槽長度l和斜槽間距h對變幅桿的諧振頻率和縱彎兩個方向振幅的影響規(guī)律。采用有限元動態(tài)數(shù)值模擬分析，得到不同斜槽參數(shù)情況下的諧振頻率、振幅。發(fā)現(xiàn)隨著α、l逐漸增大，模態(tài)頻率呈現(xiàn)整體下降趨勢，當α=45°時，彎曲振幅最大。在d=15 mm附近，振幅值最小，并且隨h變大，振幅變小。利用正交參數(shù)的極差分析法得到斜槽各參數(shù)對諧振頻率和振幅影響力度的主次。進一步通過實驗，發(fā)現(xiàn)了隨著α、h逐漸增大，諧振頻率整體下降，且振幅隨h的增大而減小。實驗結(jié)果表明α通過對振幅的影響進而實現(xiàn)對切削力的控制，這與理論分析結(jié)果一致。

變幅桿；斜槽參數(shù)；諧振頻率；縱彎振幅

PACS: 43.35.+d

二維超聲振動切削通過特定的超聲波振動系統(tǒng)給刀具施加超聲振動，使刀具的切削刃在切削過程中附加一個橢圓軌跡的超聲頻振動。相較于一維超聲振動切削，橢圓超聲振動的引入使切削過程產(chǎn)生了根本性變化，帶來了一系列優(yōu)良的工藝效果，如降低切削力、提高表面加工質(zhì)量、延長刀具壽命，其在超精密切削加工與難加工材料的加工中有著良好的應(yīng)用前景[1-6]。

二維超聲振動切削的關(guān)鍵是刀具超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計，目前國內(nèi)外常采用的方法有兩種。一種是通過給刀具施加兩個相互垂直并有一定相位差的激勵振動，在刀具的切削刃處合成橢圓振動。這種方法存在著電路復雜、振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜、體積大、調(diào)整困難和不利于生產(chǎn)應(yīng)用等缺點[7-8]。另一種是單一振動源驅(qū)動的超聲橢圓振動切削系統(tǒng)，單激勵橢圓振動在橢圓形狀以及振動方向調(diào)節(jié)上不如雙激勵系統(tǒng)的調(diào)節(jié)范圍大，但是對于一些不需要經(jīng)常調(diào)節(jié)的場合，如超聲振動加工領(lǐng)域，是一種很好的應(yīng)用選擇[9-10]。

國內(nèi)外研究表明，單激勵橢圓振動系統(tǒng)振動軌跡產(chǎn)生的必要條件(即兩個模態(tài)響應(yīng)之間的相位差)是由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不對稱性造成的，通過調(diào)節(jié)激勵頻率和激勵的位置可以改變橢圓振動軌跡的長短軸方向以及橢圓軌跡的大小。單激勵橢圓振動系統(tǒng)在單一外部激勵下(如縱向振動激勵、扭轉(zhuǎn)振動激勵等)由于結(jié)構(gòu)不對稱等原因會存在兩個對應(yīng)相鄰振動模態(tài)的激勵分量，同時，單一外部激勵的頻率處于兩個相鄰振動模態(tài)固有頻率之間[9]。而不對稱結(jié)構(gòu)的幾何形狀及位置對單激勵橢圓振動系統(tǒng)的影響機理以及其對振動軌跡的影響則少有研究。本文利用理論推導、有限元分析與實驗驗證相結(jié)合的方式，研究不對稱結(jié)構(gòu)——斜槽的幾何形狀及位置對振動系統(tǒng)中變幅桿的頻率和振幅的影響，尋找其中的影響規(guī)律。對斜槽的幾何參數(shù)進行了優(yōu)化，可得到超精密加工所需的橢圓振動模式。

1　斜槽幾何參數(shù)對縱彎橢圓振動系統(tǒng)影響的理論分析

1.1單激勵縱向振動經(jīng)斜槽結(jié)構(gòu)分解為縱向振動與彎曲振動的理論分析

為實現(xiàn)單激勵下的二維縱彎超聲振動，在垂直于變幅桿截面的方向上施加一個簡諧振動激勵，利用變幅桿結(jié)構(gòu)上的不對稱性，將該激勵分解為兩個互相垂直方向上響應(yīng)，通過對一些結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整，在變幅桿的另一端形成所需要的軌跡。變幅桿開斜槽就是實現(xiàn)單激勵二維超聲振動的常見方式，考慮斜槽幾何參數(shù)對縱彎振動的影響，對變幅桿開斜槽，如圖1所示。

圖1　變幅桿上的斜槽結(jié)構(gòu)

變幅桿上存在斜槽的結(jié)構(gòu)被分割成若干個傾斜的矩形薄板。斜槽的左右兩部分由這些與軸線成α角傾斜的矩形板相連接,矩形板的厚度h是相臨兩個槽之間的距離,長度為l，模型如圖2所示。在小變形假設(shè)下認為矩形板左連接處的轉(zhuǎn)角為零，支承方式簡化為固定端[11]。

圖2　矩形薄板

考慮振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和換能器對變幅桿的約束，設(shè)變幅桿的左端面固定端只有沿縱向，即圖1中的x方向振動位移u(x)。薄板上分布載荷q(x1,y1)，振動位移沿y1方向不變化，而只沿x1方向變化，且沿y1方向兩條邊的邊界支承條件不變，則矩形板的撓度w只是x1的函數(shù)，即

w=w(x1)。

(1)

斜槽結(jié)構(gòu)兩端截面上的內(nèi)力被分割，作用線不重合，從而產(chǎn)生了合力偶矩M，其與單激勵縱向振動同頻率、同相位變化，這個周期變化的合力偶矩就是彎曲振動的激勵源。則合力偶矩M為

M=F·lsinα,

(2)

F為作用在斜槽結(jié)構(gòu)兩端截面上的內(nèi)力，即

(3)

式中，E為變幅桿材料的彈性模量，v為泊松比。則力偶矩M為

(4)

在力偶矩M作用下，撓度很小，因此撓度微分的平方項(即非線性項)可忽略不計，小撓度板的控制微分方程為

D22w=0。

(5)

式中，D=Eh3/[12(1-v2)]，為板的抗彎強度。聯(lián)立(1)和(5)式，假設(shè)

(6)

(7)

當變幅桿長度l0=λ/2=C/(2f),即為半波長時，有

u(x)=Acos(kx)ejωt。

(8)

式中:A為單激勵縱向振動的振幅，k=ω/C,ω為縱向振動的圓頻率，C為變幅桿材料的縱波聲速，λ為縱波波長，f為縱向振動的頻率。

將(8)式代入(7)式中，得到薄板繞度w，沿x方向與y方向分解w，得到板右端面沿x方向與y方向的振動位移分別為

μ(x1)x1=l=u(x)x=d+w·sinα=

v(x1)x1=l=w·cosα=

(10)

y方向的振動位移v相對于變幅桿的軸線是一彎曲振動，其幅值與斜槽的長度l的三次方成正比、斜槽間距h的平方成反比，并隨著傾斜角a及其在變幅桿上的位置d而變化。使斜槽的位置d靠近單激勵縱向振動的波節(jié)點處，cos(kd)趨向于0，sin(kd)趨向于1，彎曲振動的幅值隨即增大。隨著斜槽的位置d遠離單激勵縱向振動的波節(jié)點處，cos(kd)趨向于1，sin(kd)趨向于0，x方向振動位移μ的幅值隨即增大。斜槽的位置d在變幅桿近右端不變時，隨著斜槽的長度l的變大、斜槽間距h的變小，傾斜角α的變大，振動μ的幅值變大。

1.2開斜槽結(jié)構(gòu)變幅桿的縱向振動與彎曲振動的共振頻率

由于斜槽的影響，變幅桿縱向振動和彎曲振動的共振頻率相對于未開槽時將產(chǎn)生偏移。

1.2.1縱向振動的共振頻率未開槽前，變幅桿的應(yīng)力應(yīng)變方程為

(11)

由于斜槽的影響,斜槽部分的縱向剛度減弱,在相同應(yīng)力作用下，斜槽部分的變形增大，等同于這一部分材料的彈性模量變小了，此時的應(yīng)力應(yīng)變方程為

(12)

聯(lián)立(8)、(9)、(11)和(12)式，得開槽后變幅桿的彈性模量Ec為

(13)

lcosα/c=lc/Cc,

(14)

得lc為

(15)

變幅桿開槽后變化長度ld為

ld=lo+lc-lcosα,

其中l(wèi)o為變幅桿原長。利用knld=(2n-1)π/2,n=1，2，3…，即可取求變幅桿的縱向共振頻率,即

(16)

1.2.2彎曲振動的共振頻率桿的彎曲振動方程[12]為

(17)

式中，K2=r2/4,C2=E/ρ,r為變幅桿半徑。

可得頻率方程

(18)

(19)

式中，設(shè)β=ωld/γ，用簡正值βn(n=1，2，3，…)代表β的一系列值。

應(yīng)用分解后的變幅桿縱向振動和彎曲振動的位移函數(shù)，求出彎曲振動共振頻率與縱向振動共振頻率相近時的變幅桿結(jié)構(gòu)，這是實現(xiàn)縱彎復合振動的先決條件。

2　開斜槽變幅桿縱彎振動的有限元分析

縱彎振動系統(tǒng)由超聲波發(fā)生器、超聲波換能器、變幅桿與刀具四部分組成。超聲波發(fā)生器是利用傳統(tǒng)的220 V交流電壓經(jīng)過整流、濾波轉(zhuǎn)換到功放電路進行信號放大，最后輸出高頻高壓的交頻振動電壓加到超聲換能器兩端。換能器的作用就是通過壓電片，將交頻振動的電壓轉(zhuǎn)換成壓電片沿縱向高頻伸縮，從而輻射出所需頻率的超聲振動能，由換能器輸出端輸出的超聲波頻率很高，振幅很小，只有2～5 μm，而超精密加工，刀具的振幅一般都在5 μm左右。為此，超聲波經(jīng)過變幅桿的傳遞，振幅并未放大。

為配合超精密加工，本文設(shè)計的變幅桿諧振頻率在35 KHz附近，振幅為5 μm，根據(jù)計算可以得到變幅桿基本尺寸如圖3所示，法蘭盤的位置就是振動節(jié)點。

圖3　開斜槽變幅桿的結(jié)構(gòu)模型

采用有限元的方法，對變幅桿進行模態(tài)分析與瞬態(tài)動力學分析，影響諧振頻率和振動位移的斜槽參數(shù)包括斜槽與軸線的夾角α、斜槽距離節(jié)點的距離d、斜槽與斜槽之間的距離(板厚)h、斜槽長度l?？紤]變幅桿的直徑和材料的強度，變幅桿開有5個斜槽，寬度b=1.2 mm。在分析過程中，所用參數(shù)單位均為國際標準單位，變幅桿材料為45#鋼。

2.1斜槽參數(shù)對縱向與彎曲振動影響的有限元分析

改變單個斜槽參數(shù)，進行模態(tài)分析，分別獲得開斜槽變幅桿的模態(tài)頻率，采用35 KHz附近的諧振頻率，對變幅桿進行瞬態(tài)動力學分析，分析單個斜槽參數(shù)對縱向與彎曲振動的影響。圖4為斜槽參數(shù)d=20 mm,h=1 mm,l=7 mm，α=45°的變幅桿有限元分析模型。

圖4　開斜槽變幅桿的有限元分析模型

當斜槽參數(shù)d=20 mm，h=1 mm，l=7 mm，α=30°、45°、60°時，繪出變幅桿的頻率曲線如圖5a所示。從圖中可以看到，隨著開槽角度α逐漸增大，其模態(tài)頻率在相同模態(tài)階數(shù)下明顯呈現(xiàn)出整體下降趨勢。當斜槽參數(shù)h=1 mm，l=7 mm，α=45°，d依次選取10、15、20 mm時，繪出變幅桿的頻率曲線如圖5b所示。從圖中可以看到，隨著d逐漸增大，其模態(tài)頻率在相同模態(tài)階數(shù)下沒有統(tǒng)一的變化規(guī)律。當斜槽參數(shù)d=20 mm，l=7 mm，α=45°，h依次選取1、1.2、1.4 mm時，繪出變幅桿的頻率曲線如圖5c所示。從圖中可以看到，隨著板厚h逐漸增大，其模態(tài)頻率在相同模態(tài)階數(shù)下變化平緩。當斜槽參數(shù)d=20 mm，h=1 mm，α=45°，l依次選取7、9、11 mm時，繪出變幅桿的頻率曲線如圖5d所示。從圖中可以看到，隨著斜槽長度l逐漸增大，其模態(tài)頻率在相同模態(tài)階數(shù)下呈現(xiàn)出整體下降趨勢。如圖5所示，35 kHz附近的諧振頻率因斜槽參數(shù)發(fā)生了一定偏移，但隨著參數(shù)的變化，其變化平緩。

進一步研究變幅桿輸出端的振動響應(yīng)情況。通過ANSYS中的函數(shù)編輯器來編輯位移函數(shù)u(x)=Asin(2πft+Φ)，將其施加到變幅桿與換能器連接的端面。其中幅值A(chǔ)為5 μm，頻率f取各變幅桿在35 kHz附近的諧振頻率，初始相位角Φ定為0。求解完成后，在變幅桿輸出端面預安裝刀具位置處提取節(jié)點隨時間變化的X、Y方向的位移響應(yīng)，其中UX代表軸向(即縱向)位移，UY代表徑向(即彎曲方向)位移，得到各變幅桿的位移響應(yīng)(即振幅)，根據(jù)各變幅桿在UX和UY方向上的振幅數(shù)據(jù)，利用Origin軟件繪出振幅曲線，如圖6所示。

圖5　不同斜槽參數(shù)時的頻率曲線

圖6　不同斜槽參數(shù)時的振幅曲線

從圖6a可以看出，隨著開槽角度α的變大，彎曲振幅隨之變大，當α=45°時，彎曲振幅最大，超過45°時，彎曲振幅開始變小；縱向振幅受斜槽角度α的影響較小。從圖6b可以看出，在d=15 mm的附近，振幅值最小?？v向振幅受斜槽參數(shù)d的影響較大，越靠近節(jié)點(d值越小)，縱向振幅越大；彎曲振幅受斜槽參數(shù)d的影響較小。從圖6c可以看出，隨著板厚h的變大，振幅明顯變小。上述三參數(shù)對振幅的影響與理論推導的表達式(9)、(10)分析結(jié)果基本一致。從圖6d可以看出，隨著斜槽長度l的變大，縱向振幅明顯變大，此與理論推導的表達式(10)分析結(jié)果基本一致，而彎曲振幅先變大再變小，且變化程度不大，與理論推導的表達式(9)分析結(jié)果不同，這是因為斜槽長度l大到一定程度，施加在變幅桿左端的位移激勵的傳導受阻變大，振幅變小。

2.2斜槽參數(shù)對縱向與彎曲振動影響的有限元分析

采用如表1所示的四因素三水平正交參數(shù)進行仿真，分析多個斜槽參數(shù)對縱向與彎曲振動的交互影響。首先進行模態(tài)分析，獲得不同模態(tài)階數(shù)下模態(tài)頻率，在35 kHz附近，選取符合設(shè)計要求的諧振頻率，如表1所示。通過極差R1的分析，影響諧振頻率偏移的主、次順序分別為：h>d>α>l。

對變幅桿進行瞬態(tài)動力學分析，在變幅桿輸出端面預安裝刀具位置處提取節(jié)點隨時間變化的X、Y方向的位移響應(yīng)，得到各變幅桿的位移響應(yīng)(即振幅)，如表1所示。通過極差R2的分析，影響軸向(即縱向)位移的主、次順序分別為：d>l>α>h，隨著d的變大，斜槽遠離節(jié)點位置，縱向位移UX開始變小，與理論推導的表達式(10)分析結(jié)果相一致。通過極差R3的分析，影響徑向(即彎曲方向)位移的主、次順序分別為：α>h>d>l，隨著開槽角度的增大，彎曲位移UY也隨之變大，當α>45°時，彎曲位移UY開始變小。當α不變時，隨著板厚h的減小、開槽長度l增大，彎曲位移UY也隨之變大，與理論推導的表達式(9)分析結(jié)果大體一致。

表1 正交斜槽參數(shù)諧振頻率與預裝刀具位置點位移仿真結(jié)果及四因素三水平極差分析表

3　試驗分析

在變幅桿的有限元分析過程中，各材料參數(shù)選取的是標準值。但實際上，從材料到加工存在很多不確定因素，導致最終結(jié)果跟理想狀態(tài)有一定差距。為驗證有限元分析的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)斜槽參數(shù)對變幅桿的振動特性的影響，現(xiàn)對變幅桿的基本性能進行測試。斜槽角度α依次選用30°、45°和60°，改變板間厚度，每個角度分別有兩個斜槽和三個斜槽，其中斜槽長度l=7 mm，斜槽寬度b=1.2 mm，斜槽中心距端面距離d=13 mm。

3.1阻抗測試

為驗證前面有限元對變幅桿的模態(tài)頻率的分析，在加工后對變幅桿同換能器組成的連接系統(tǒng)進行阻抗分析。與有限元分析值進行對比，對相同變幅桿，實驗測得諧振頻率與模態(tài)分析得到的頻率有500 Hz以內(nèi)的誤差，仍在可接受的范圍。實際諧振頻率的變化趨勢和模態(tài)頻率變化趨勢基本一致，如圖7所示，這也對有限元的模態(tài)分析的結(jié)果進行了驗證。

圖7 實測諧振頻率和模態(tài)頻率對比曲線圖

3.2振幅測試

利用ZJS-500N型超聲波發(fā)生器和激光位移傳感器對變幅桿的縱彎振動振幅進行測試。

在縱振方向(UX)實測值要小于仿真值，在彎曲方向(UY)實測值要稍大于仿真值，如圖8所示。一方面可能是由于斜槽部分對振動方式會發(fā)生轉(zhuǎn)換，削弱了縱向振幅，增強了彎曲振幅。另一方面可能是由于部件的結(jié)合改變了振動系統(tǒng)的約束條件。

圖8　實測振幅和仿真振幅對比曲線圖

在二維振動系統(tǒng)下，使用斜槽參數(shù)d=20 mm，h=1 mm和α=30°、45°的變幅桿，采用PCBN刀具對硬質(zhì)合金YG15材料進行切削試驗。切削速度v=20 m/min，切削量ap=50 μm，進給速度f=0.05 mm/r。切削力的大小能夠直觀地反映加工過程的變化和預測加工結(jié)果。利用測力儀采集切削力的數(shù)據(jù)，主切削力FP、背向力Ft、進給力Ff大小如圖9所示。

圖9切削力波形圖

Fig.9The waveform of cutting force

從圖9可得，橢圓振動輔助切削的切削力比傳統(tǒng)切削的切削力有不同程度的減小，這是因為橢圓振動輔助切削增大了切削工作前角，反轉(zhuǎn)了切屑與前刀面的摩擦力方向，促進了切屑的流動。對比使用30°和45°這兩種變幅桿裝置條件下的切削力，隨著α變大，其呈現(xiàn)下降的趨勢。這是由于使用45°變幅桿時，振幅差值(UX-UY)小于使用30°變幅桿時的振幅差值，使的切削工作前角更大，彎曲振幅UY遠大于30°變幅桿的，導致反轉(zhuǎn)切屑與前刀面摩擦力方向的時間段變長，使得切削力下降的更多。

4　結(jié)論

根據(jù)理論推導和有限元分析，可以得到以下結(jié)論：斜槽參數(shù)α、d對縱向與彎曲兩方向的振幅有較大的影響；而l與h相互關(guān)聯(lián)，影響縱向振動激勵的傳導性。設(shè)計變幅桿時，通過開斜槽，可實現(xiàn)加工系統(tǒng)的二維橢圓超聲振動，調(diào)整變幅桿上斜槽結(jié)構(gòu)的參數(shù)α與d，影響刀尖的振幅與運動軌跡，從而滿足超精密加工所需的橢圓振動模式。

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〔責任編輯 李博〕

Influence of parameters of the chute on longitudinal-flexural vibration system

DUAN Peng, JIAO Feng*, ZHAO Bo, NIU Ying

(School of Mechanical and Power Engineering, Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000, Henan， China)

In order to realize ultraprecision cutting, the amplitude amplifier horn structure of longitudinal-flexural vibration system is designed. By analysis of the horn structure, the influence rule of location (d), angle of inclination(α), length (l) and spacing (h) of chutes on the resonance frequency of the horn and the amplitude of the longitudinal-flexural vibration were revealed theoretically. Under different parameters of chutes, the resonance frequency，amplitude, and rule that modal frequencies are obtained.The results show that withαandlincreased gradually, bending amplitude was maximum whenα=45° and amplitude value was minimum in the vicinity ofd=15 mm.As chute spacinghbecame larger, the amplitude became smaller were achieved by means of FEA method.The primary and secondary influence of chute parameters on resonance frequency and amplitude was obtained by range analysis of orthogonal parameters. Through experiments, it was discovered that withαandhincreased gradually, resonant frequency overall declined.Ashincreased, amplitude became smaller, and cutting force was changed through influence ofαon amplitude. The results of experiments are consistent with the theoretical analysis.Keywords: amplitude amplifier horn; chute parameters; resonance frequency; amplitude of longitudinal-flexural vibration

1672-4291(2016)04-0049-07

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.246

2015-12-28

國家自然科學基金(51075127)

焦鋒，男，教授，博士生導師。E-mail:jiaofeng@hpu.edu.cn

TP273；TB552；O242.21

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