斜槽式超聲傳振桿的縱彎復(fù)合振動(dòng)及其等效電路

許 龍，陳一博

(中國計(jì)量大學(xué) 物理系，浙江 杭州 310018)

隨著超聲技術(shù)的發(fā)展，新的超聲應(yīng)用對超聲振動(dòng)能量的傳播方式及作用形式提出了更高的要求。在超聲線束焊接[1-2]、超聲馬達(dá)[3-5]、超聲手術(shù)刀[6-8]以及超聲振動(dòng)切削[9-11]等技術(shù)中,縱彎復(fù)合振動(dòng)具有更好的作用效果。目前，縱彎復(fù)合超聲振動(dòng)主要通過夾心式縱彎復(fù)合振動(dòng)壓電換能器[12-14]和縱彎模式轉(zhuǎn)換超聲換能器[15-17]產(chǎn)生。夾心式縱彎復(fù)合振動(dòng)壓電換能器利用兩組壓電陶瓷晶堆分別產(chǎn)生縱向振動(dòng)和彎曲振動(dòng)，當(dāng)兩種振動(dòng)模式實(shí)現(xiàn)同頻共振時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行縱彎復(fù)合振動(dòng)[18]。縱彎模式轉(zhuǎn)換超聲換能器是在單一縱向激勵(lì)作用下利用變幅桿結(jié)構(gòu)上的不對稱性，將該激勵(lì)“分解”為兩個(gè)相互垂直的響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)縱彎模式轉(zhuǎn)換[19-20]；或者在縱向振動(dòng)的變幅桿上，沿工具頭進(jìn)行橫向激發(fā)，使其彎曲振動(dòng)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的縱彎復(fù)合振動(dòng)[21]。

本文基于縱彎模式轉(zhuǎn)換原理提出一種斜槽式超聲傳振桿，利用Euler-Bernoulli理論[22-23]推導(dǎo)了細(xì)棒彎曲振動(dòng)T型等效電路和斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)機(jī)電等效電路，利用等效電路和有限元仿真得到了不同斜槽傾角時(shí)斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)的共振頻率，通過兩種方法所得共振頻率的對比分析驗(yàn)證了等效電路模型的可靠性。進(jìn)一步研究了斜槽式超聲傳振桿的斜槽位置和兩斜槽間距對其縱彎復(fù)合振動(dòng)模態(tài)的影響，以及斜槽長度和傾斜角度對其共振頻率和輸出端(右端)振動(dòng)特性的影響。

1 斜槽式超聲傳振桿的結(jié)構(gòu)和原理

圖1為斜槽式超聲傳振桿的結(jié)構(gòu)示意圖，斜槽式超聲傳振桿為含有兩個(gè)平行貫穿斜槽的圓柱形結(jié)構(gòu)，圓柱的半徑為R0，長度為L(L=L1+L2+L3，L1為斜槽左邊部分長度，L2為斜槽的軸向長度，L3為斜槽右邊部分長度)，A、B、C、D(A′、B′、C′、D′)為輸出端面(輸入端面)與圓柱外表面交界線上的節(jié)點(diǎn)，C″為CC′線段上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，位于斜槽左邊部分和斜槽部分的交界面處。當(dāng)在斜槽式超聲傳振桿的輸入端(左端)施加縱向激勵(lì)時(shí)，縱向振動(dòng)傳遞到斜槽部分會因其結(jié)構(gòu)不對稱產(chǎn)生橫向作用力，使斜槽右邊部分產(chǎn)生彎曲振動(dòng)，進(jìn)而在斜槽右邊部分產(chǎn)生縱向和彎曲的耦合振動(dòng)。

圖1 斜槽式超聲傳振桿的結(jié)構(gòu)圖

假定斜槽為寬度極窄的細(xì)縫，對斜槽式超聲傳振桿的質(zhì)量無影響，斜槽僅起到將縱向振動(dòng)轉(zhuǎn)換為彎曲振動(dòng)的作用。當(dāng)斜槽式超聲傳振桿的輸入端受到縱向力激發(fā)時(shí)，由于斜槽的作用整個(gè)超聲傳振桿產(chǎn)生縱向和彎曲復(fù)合振動(dòng)。

2 均勻細(xì)棒彎曲振動(dòng)的等效電路

對于均勻細(xì)棒的彎曲振動(dòng)，若忽略剪切形變和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，則可將均勻細(xì)棒簡化為Euler梁，其彎曲振動(dòng)波動(dòng)方程為

(1)

式中：η為橫向振動(dòng)位移；K為截面回轉(zhuǎn)半徑；c2=E/ρ,E為楊氏模量，ρ為材料密度。利用分離變量法可得(1)式的通解為

η(t,x)=(Acoshλx+Bsinhλx+Ccosλx+Dsinλx)cos(ωt-φ)。

(2)

為了簡化運(yùn)算，引入符號S(λx)、T(λx)、U(λx)和V(λx),并且各函數(shù)之間關(guān)系滿足dS/dx=λV、dT/dx=λS、dU/dx=λT、dV/dx=λU，其表達(dá)式分別為

(3)

將(2)式改寫為Krylov函數(shù)

η(t,x)=[C1S(λx)+C2T(λx)+C3U(λx)+C4V(λx)]ejωt。

(4)

(5)

將式(4)代入均勻細(xì)棒邊界條件式(5)，可得

(6)

(7)

式中，S1=πr2。由(6)式求解待定系數(shù)C1～C4為

(8)

將式(8)代入式(7)，可得細(xì)棒彎曲振動(dòng)時(shí)橫向作用力和橫向振動(dòng)速度的關(guān)系式為

(9)

式中：

(10)

根據(jù)(9)式，通過力電類比可得如圖2所示的均勻細(xì)棒彎曲振動(dòng)的T型等效電路。圖2中：Za=Z1-Z2,Zb=Z2。

圖2 均勻細(xì)棒彎曲振動(dòng)等效電路

3 斜槽式超聲傳振桿的等效電路

斜槽式超聲傳振桿由斜槽左邊等截面細(xì)棒、含斜槽細(xì)棒和斜槽右邊細(xì)棒3部分組成，由于斜槽部分的斜槽寬度很小，可忽略其對振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量的影響。當(dāng)在斜槽式超聲傳振桿輸入端施加縱向力激發(fā)時(shí)，縱向力經(jīng)過斜槽會產(chǎn)生橫向力分量，縱向和橫向力的共同激勵(lì)下斜槽右側(cè)的傳振桿產(chǎn)生縱彎復(fù)合振動(dòng)。以斜槽部分和斜槽右邊部分的交界面為縱向振動(dòng)和縱彎復(fù)合振動(dòng)的交界面，定義Nl為交界面處縱向振動(dòng)與縱向振動(dòng)之間的機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)(縱縱機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù))，Nt為交界面處縱向振動(dòng)與彎曲振動(dòng)之間的機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)(縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù))，Nl和Nt的表達(dá)式分別為

(11)

(12)

(13)

Zt1和Zt2為分界面右邊部分彎曲振動(dòng)的串并聯(lián)阻抗，其表達(dá)式為

(14)

當(dāng)斜槽式超聲傳振桿的輸出端自由時(shí)，由傳輸線阻抗轉(zhuǎn)移可得斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)的輸入機(jī)械阻抗為

(15)

式中：Z′為斜槽右邊部分縱彎復(fù)合振動(dòng)的機(jī)械阻抗，其表達(dá)式為

(16)

式中：

HPLC法同時(shí)測定復(fù)方磷酸可待因口服溶液中3種有效成分及2種防腐劑的含量 ………………………… 魏文芝等（18）：2501

(17)

當(dāng)斜槽式超聲傳振桿的輸入機(jī)械阻抗為零時(shí)，由(15)式可得到其共振頻率方程

Z0=0。

(18)

公式(18)中的共振頻率方程與斜槽式超聲傳振桿的材料參數(shù)、幾何尺寸、斜槽的位置和傾斜角有關(guān)。

4 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論模型的可靠性，根據(jù)圖1和表1所示結(jié)構(gòu)尺寸利用有限元軟件建立斜槽式超聲傳振桿的幾何模型，并根據(jù)表1所示的7075硬鋁材料參數(shù)定義幾何模型的材料參數(shù)，選擇固體力學(xué)模塊并定義幾何模型的初始條件和邊界條件，通過特征頻率計(jì)算可獲得斜槽式超聲傳振桿的振動(dòng)模態(tài)，如圖4所示。在圖4中，斜槽式超聲傳振桿的斜槽左邊部分為縱向振動(dòng)，右邊部分為縱彎復(fù)合振動(dòng)。

表1 斜槽式超聲傳振桿的幾何尺寸及材料參數(shù)

圖4 斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)模態(tài)

為了驗(yàn)證本文建立的斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)等效電路模型的精度，分別用等效電路法和有限元法計(jì)算了不同傾角斜槽式超聲傳振桿的縱彎復(fù)合振動(dòng)的共振頻率，如表2所示，其中fm1和fc1分別為等效電路法和有限元仿真所得共振頻率，Δ1表示等效電路法與有限元仿真所得共振頻率的相對誤差，Δ1=|fm1-fc1|/fc1。

從表2可以看出，隨著斜槽傾角的增加，理論和仿真計(jì)算所得共振頻率的偏差逐漸增大，在斜槽傾角大于30°時(shí)，二者的相對誤差達(dá)10%以上。其主要原因是利用Euler-Bernoulli理論推導(dǎo)細(xì)棒彎曲振動(dòng)等效電路時(shí)忽略了剪切形變和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，適用于小振幅的彎曲振動(dòng)；當(dāng)斜槽傾斜角度增大時(shí)，斜槽右邊部分棒的彎曲振動(dòng)振幅增大，由等效電路模型所得的共振頻率誤差也隨之增大。因此，建立的斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)等效電路在斜槽傾斜角度較小時(shí)(即斜槽棒處于小振幅彎曲振動(dòng)時(shí))具有較高的計(jì)算精度。

表2 等效電路法和有限元仿真所得斜槽式超聲傳振桿的共振頻率及其相對誤差

在建立斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)等效電路的過程中，引入了縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Nt，由Nt定義可知，Nt的大小與斜槽的傾角密切相關(guān)。利用有限元仿真計(jì)算了不同傾角的斜槽式超聲傳振桿的輸入端縱向振動(dòng)位移v1和輸出端的橫向振動(dòng)位移η2，定義β為斜槽式超聲傳振桿的縱向與橫向位移轉(zhuǎn)換系數(shù)，β=η2/v1?？v彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Nt和縱橫位移轉(zhuǎn)換系數(shù)β隨斜槽傾斜角度的變化關(guān)系如圖5所示。

圖5 縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Nt和縱橫位移轉(zhuǎn)換系數(shù)β隨斜槽傾斜角度的變化關(guān)系

由圖5可知，隨斜槽傾斜角度α的增加理論模型引入的縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Nt和有限元仿真得到的縱橫位移轉(zhuǎn)換系數(shù)β變化趨勢一致，由此可知理論模型引入的縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Nt很好地反映了斜槽棒的縱彎位移轉(zhuǎn)換特性。由此表明，縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Nt和縱橫位移轉(zhuǎn)換系數(shù)β均可表示斜槽式超聲傳振桿縱彎轉(zhuǎn)換能力的大小，具有正相關(guān)性。

5 振動(dòng)性能分析

為研究斜槽式傳振桿的振動(dòng)性能，基于上述仿真模型在傳振桿的輸入端面施加頻率20 kHz、振幅24.7 nm的軸向位移載荷(該位移載荷的振幅由實(shí)驗(yàn)測量換能器輸出端的振幅所得)，利用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析模塊進(jìn)行仿真計(jì)算。通過瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算，在第1.1 ms時(shí)傳振桿輸出端具有最大縱向及彎曲位移所對應(yīng)的振型，傳振桿的縱彎復(fù)合振動(dòng)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。通過提取該振型下輸出端面與圓柱外表面交界線上所有節(jié)點(diǎn)的橫向位移，即圖1中節(jié)點(diǎn)A、B、C、D所在圓上各節(jié)點(diǎn)的橫向位移，可得圖6所示傳振桿輸出端面與圓柱外表面交界線上各節(jié)點(diǎn)橫向位移隨其所在位置的變化規(guī)律。結(jié)合圖6和圖1，可知傳振桿輸出端節(jié)點(diǎn)橫向位移在A、C點(diǎn)所在的位置最大，B、D點(diǎn)所在的位置橫向振動(dòng)位移最小。

圖6 傳振桿輸出端面與圓柱外表面交界線上所有節(jié)點(diǎn)的橫向振動(dòng)位移

為了研究斜槽位置對斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)特性的影響，保持斜槽式超聲傳振桿總長度L不變，通過有限元軟件的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊計(jì)算了斜槽在不同位置時(shí)斜槽左邊部分圓柱外表面C′C″線段上各節(jié)點(diǎn)的橫向位移分布情況，其中斜槽位置以斜槽到超聲傳振桿左端面的距離L1為參考，結(jié)果如圖7所示。在圖7中，當(dāng)L1=38.5 mm時(shí)斜槽式超聲傳振桿左邊部分的橫向位移最小，即受到斜槽式超聲傳振桿右邊部分彎曲振動(dòng)的擾動(dòng)最小，此時(shí)斜槽式超聲傳振桿左邊部分可看作純縱向振動(dòng)。

圖7 斜槽左邊部分橫向位移分布

為分析斜槽式超聲傳振桿兩斜槽之間的距離對其縱彎復(fù)合振動(dòng)特性的影響，通過有限元仿真的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算不同斜槽間距時(shí)傳振桿在縱彎復(fù)合振動(dòng)模式下圓柱外表面CC′線段上各節(jié)點(diǎn)的橫向位移分布(如圖8所示)，并提取了斜槽式超聲傳振桿輸入端節(jié)點(diǎn)C的橫向位移(如表3所示)。由表3和圖8可知，隨著斜槽間距的增加斜槽式超聲傳振桿輸入端橫向位移振幅先減小后增加，在斜槽間距為10 mm時(shí)具有最小值，表示在斜槽間距為10 mm時(shí)斜槽式超聲傳振桿左邊部分受到右邊部分彎曲振動(dòng)的擾動(dòng)最小，具有最佳的縱彎復(fù)合振動(dòng)模態(tài)。

圖8 斜槽式超聲傳振桿橫向位移分布

表3 斜槽間距對斜槽式超聲傳振桿輸入端橫向位移的影響

為分析斜槽的軸向長度L2和傾斜角度α對斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)特性的影響，在斜槽式超聲傳振桿長度L、斜槽位置L1和間距d不變的情況下，利用有限元仿真分析斜槽軸向長度L2(簡稱斜槽長度)和傾斜角度α對斜槽式超聲傳振桿共振頻率和輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比的影響，結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9 不同斜槽長度下斜槽式超聲傳振桿共振頻率隨斜槽傾斜角度的變化關(guān)系

圖10 不同斜槽長度下傳振桿輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比隨斜槽傾斜角度的變化

由圖9可知，在同樣的斜槽長度下斜槽式超聲傳振桿的共振頻率隨斜槽傾斜角度的增加而減小，而且隨著斜槽長度的增加，斜槽式超聲傳振桿的共振頻率減小速率變大，由此可知斜槽的長度和傾斜角度越大斜槽式超聲傳振桿的共振頻率越小。由圖10可知，在同樣斜槽長度下斜槽式超聲傳振桿輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比隨斜槽傾斜角度的增加而增加，而且隨著斜槽長度的增加，斜槽式超聲傳振桿輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比的增加速率變大，由此可知斜槽的長度和傾斜角度越大斜槽式超聲傳振桿輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比越大。

斜槽式超聲傳振桿的斜槽長度和傾斜角度越大對其共振頻率和輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比的影響越大，其主要原因是隨著斜槽長度和傾斜角度的增加斜槽右邊部分的橫向分力逐漸增大，橫向位移振幅也逐漸增大，橫向振動(dòng)對超聲傳振桿共振頻率的影響也越大。

6 實(shí)驗(yàn)測試

根據(jù)表1所示斜槽式傳振桿的幾何尺寸選用7075硬鋁材料加工了斜槽式傳振桿的實(shí)驗(yàn)樣品，如圖11所示。為了測試斜槽式傳振桿的縱彎復(fù)合振動(dòng)特性，在斜槽式傳振桿的左端連接20 kHz半波長夾心式壓電超聲換能器作為縱振動(dòng)激勵(lì)源，并對其施加峰值為20 V的激勵(lì)電壓，利用LV-S01激光測振儀測量斜槽式傳振桿在縱振動(dòng)激勵(lì)下輸出端節(jié)點(diǎn)C的縱向和橫向振動(dòng)位移，實(shí)驗(yàn)裝置如圖12所示(圖12a為測量斜槽式傳振桿輸出端橫向振動(dòng)位移的裝置，圖12b為測量其輸出端縱向振動(dòng)位移的裝置)。圖13為實(shí)測的斜槽式傳振桿輸出端的橫向和縱向位移-頻率曲線。由圖13可知，在頻率為20 087 Hz時(shí)斜槽式傳振桿輸出端的橫向和縱向位移具有最大值，分別為8.6 nm和23.8 nm，該頻率對應(yīng)于換能器及傳振桿的縱彎復(fù)合振動(dòng)共振頻率，傳振桿的橫向與縱向位移振幅比值為0.36。通過與表2中傾斜角為15°時(shí)理論計(jì)算的傳振桿共振頻率(20 744 Hz)和有限元仿真的共振頻率(20 072 Hz)對比，可知3種方法所得斜槽式傳振桿的共振頻率基本相同。通過對比實(shí)驗(yàn)測試和仿真計(jì)算的傳振桿橫向與縱向位移振幅比(分別為0.36和0.34，仿真計(jì)算結(jié)果參見圖10紅色曲線第二個(gè)計(jì)算點(diǎn)所示數(shù)值)，可知兩種方法所得傳振桿的輸出端橫向與縱向位移振幅之比非常接近。

圖11 斜槽式傳振桿的實(shí)驗(yàn)樣品

圖13 斜槽式傳振桿輸出端橫向(a)和縱向(b)位移-頻率特性曲線

為測試斜槽式傳振桿在縱彎復(fù)合振動(dòng)模態(tài)下的橫向振動(dòng)位移分布情況，并與圖8所示的有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，在斜槽式傳振桿外表面沿線段CC′取13個(gè)測量點(diǎn)，測量步長為10 mm，利用LV-S01激光測振儀對每個(gè)點(diǎn)的橫向位移振幅進(jìn)行了測量,得到圖14中斜槽式超聲傳振桿的橫向位移振幅沿其軸向的分布(紅色曲線)。為了將實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果與圖8中斜槽間距為10 mm的傳振桿的有限元仿真結(jié)果比較，需要把有限元仿真所得的位移取絕對值，由此可得圖14中傳振桿的橫向位移振幅沿其軸向的分布(黑色曲線)。通過對比可知，兩種方法所得橫向位移振幅分布基本吻合。

圖14 斜槽式超聲傳振桿的橫向位移振幅

7 結(jié)論

本文基于Euler梁彎曲振動(dòng)理論和力電類比，通過引入斜槽式超聲傳振桿的縱彎機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)，建立了斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)的等效電路模型并推導(dǎo)了其共振頻率方程。通過對比等效電路法和有限元法所得斜槽式超聲傳振桿的共振頻率，發(fā)現(xiàn)在斜槽傾斜角度小于30°時(shí)兩種方法所得結(jié)果的相對誤差較小,這表明本文建立的斜槽式超聲傳振桿縱彎復(fù)合振動(dòng)等效電路模型在斜槽傾角較小時(shí)具有較高的理論計(jì)算精度。對斜槽式超聲傳振桿振動(dòng)特性的仿真結(jié)果表明：當(dāng)斜槽位置L1=38.5 mm和間距d=10.0 mm時(shí)，斜槽式超聲傳振桿具有最佳的縱彎復(fù)合振動(dòng)模態(tài)；隨著斜槽長度和傾斜角度的增加斜槽式超聲傳振桿的共振頻率減小，輸出端橫向與縱向振動(dòng)位移之比增大。基于理論分析模型，加工了傾角為15°的斜槽式傳振桿，利用激光測振儀測試了斜槽式傳振桿在縱彎復(fù)合振動(dòng)模態(tài)下的橫向與縱向振動(dòng)位移，實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果一致。