條件概率解題“五法”

☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 陳建紅

在很多的實(shí)際問題中，都存在條件概率的問題.要求條件概率，必須先了解條件概率的定義與相關(guān)的計(jì)算公式，將問題轉(zhuǎn)化為條件概率問題，分清誰是條件，誰是結(jié)論，掌握對應(yīng)的性質(zhì)，然后根據(jù)實(shí)際問題，結(jié)合相關(guān)的方法來求解條件概率問題.本文通過總結(jié)歸納，就求解簡單條件概率問題的五種基本解題方法加以實(shí)例分析.

一、定義法

根據(jù)條件概率的定義，也就是條件概率的計(jì)算公式，先求P（A）（P（A）>0）和P（AB），再由定義P（B|A）=，即可求解P（B|A）.

例1 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)反面”為事件B，則P（B|A）等于（ ）.

分析：先分別利用古典概型計(jì)算P（A）與P（AB）的值，再利用條件概率的定義來計(jì)算相應(yīng)概率P（B|A）的值.

點(diǎn)評：要解決條件概率問題，要具體分清事件A、B及其條件的構(gòu)成，要理清相關(guān)的定義與對應(yīng)的計(jì)算公式，結(jié)合對應(yīng)的概率的計(jì)算公式加以分析與處理.解決條件概率問題時(shí)，關(guān)鍵是抓住條件概率的定義，把問題加以轉(zhuǎn)化再分析與處理.

二、古典概型的基本事件法

當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n（AB），得P（B|A）其是條件概率的定義在古典概型條件下的特殊模型.

例2 如圖1，△ABC和△DEF是同一圓的內(nèi)接正三角形，且BC∥EF.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用M表示事件“豆子落在△ABC內(nèi)”，N表示事件“豆子落在△DEF內(nèi)”，則P（N|M）=（ ）.

圖1

圖2

分析：通過作出相應(yīng)的輔助線，把條件轉(zhuǎn)化為全等小三角形個(gè)數(shù)問題，利用條件概率的基本事件法來分析與處理.

解：如圖2作三條輔助線，根據(jù)已知條件得這些小三角形都全等，△ABC包含9個(gè)小三角形，滿足事件MN的有6個(gè)小三角形，所以P（N|M）=

點(diǎn)評：題目涉及三角形的區(qū)域問題，通過輔助線的引入，轉(zhuǎn)化為全等小三角形個(gè)數(shù)問題，把區(qū)域問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題，利用基本事件數(shù)來解決相應(yīng)的條件概率問題，方法巧妙.

三、幾何概型的幾何度量法

當(dāng)幾何度量適合有限性和等可能性時(shí)，可借助幾何概型概率公式，先求區(qū)域A的幾何度量（長度、面積、體積等）μ（A），再在區(qū)域A發(fā)生的條件下求區(qū)域B的幾何度量μ（AB），得P（B|A）其是條件概率的定義在幾何概型條件下的特殊模型.

例3 如圖3，正方形EFGH內(nèi)接于圓心為O的單位圓，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)（假設(shè)都可以扔到圓內(nèi)），用事件A表示“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，事件B表示“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，試求P（B|A）.

分析：結(jié)合題目條件加以分析，分別確定圓、正方形、扇形OHE、直角三角形OEH的面積，進(jìn)而確定μ（A）與μ（AB）的值，利用幾何概型的幾何度量法來求解P（B|A）.

圖3

點(diǎn)評：通過幾何概型的幾何度量法來求解條件概率，關(guān)鍵是結(jié)合題目條件，根據(jù)幾何度量分別確定μ（A）與μ（AB）的值，進(jìn)而就可以簡單快捷來處理此類涉及幾何概型的條件概率問題.

四、縮減樣本空間法

在事件A發(fā)生的前提之下，進(jìn)而確定事件B的縮減樣本空間ΩA=Ω∩A，并在ΩA中計(jì)算事件B發(fā)生的概率，從而得到條件概率P（B|A）.其是條件概率與實(shí)際操作過程中產(chǎn)生的有效的等價(jià)轉(zhuǎn)化方式.

例4 甲、乙兩人從1，2，3，…，10中各任取一數(shù)（不重復(fù)），已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為________.

分析：利用條件概率的定義求解比較復(fù)雜，而直接結(jié)合題目條件，只考慮滿足甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的對應(yīng)的基本事件問題，達(dá)到縮減樣本空間來分析與處理.

解：由于已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，通過縮減樣本空間法，那么所有的取數(shù)的基本事件是：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共有18種，而滿足甲數(shù)大于乙數(shù)的有13種，所以所求的概率為

點(diǎn)評：在解決一些條件概率P（B|A）時(shí)，可把A看作新的基本事件空間來計(jì)算B發(fā)生的概率，也就是說把B發(fā)生的樣本空間縮小為A所包含的基本事件.這樣通過縮減樣本空間法，直接利用列舉法羅列對應(yīng)的事件來求解條件概率顯得更為簡單快捷.

五、性質(zhì)法

由條件概率和對立事件的定義，可得條件概率的性質(zhì)：P（B|A）=1-P（B|A），利用該性質(zhì)可以解決一些相關(guān)的條件概率問題.其是針對一些復(fù)雜的條件概率的求解而采用的逆向思維所產(chǎn)生的特殊模型.

例5 某保險(xiǎn)公司經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)預(yù)測，男性活到60歲的概率為0.78，而活到70歲的概率為0.26，那么現(xiàn)年60歲的男性活不到70歲的概率為________.

分析：根據(jù)題目條件，分別確定對應(yīng)的概率，利用條件概率先來解決現(xiàn)年60歲的男性能活到70歲的概率，再利用性質(zhì)法來處理.

解：記T為男性的壽命數(shù)，由題知P（T≥60）=0.78，P（T≥70）=0.26，那么P（T≥70|T≥60，所以P（T<70|T≥60）=1-P（T≥70|T≥

點(diǎn)評：解決本題時(shí)，直接求解有點(diǎn)沒有頭緒，由于“現(xiàn)年60歲的男性活不到70歲”無法直接來解決，而通過條件概率的性質(zhì)法，從對立面去分析，即利用對立事件的概率來轉(zhuǎn)化，巧妙有效.

條件概率的求解與應(yīng)用已經(jīng)成為近幾年新課標(biāo)高考的新熱點(diǎn)之一，而且有難度不斷加深的趨勢.同時(shí)條件概率的題目背景與設(shè)置方式不斷改變，題目也由選擇題、填空題逐步變化在解答題中與相關(guān)知識加以綜合、交互呈現(xiàn)，顯得越來越重要.而通過以上條件概率解題“五法”，可以有效掌握條件概率的實(shí)質(zhì)，抓住類型，利用最有效可行的方法來解決問題，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

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