“生活經(jīng)驗”與“符號代數(shù)”的耦合策略

楊琴

摘 要：發(fā)展學生的代數(shù)思維，培育學生的“代數(shù)素養(yǎng)”是小學數(shù)學教學的應有之義。生活經(jīng)驗是學生代數(shù)學習的源頭活水。教學中，教師可以運用“生活化孕育”“情境性遷移”和“反思式提升”等策略，讓學生的生活經(jīng)驗鏈接、啟發(fā)、助推學生的準代數(shù)式思維，發(fā)展學生的“代數(shù)素養(yǎng)”。

關(guān)鍵詞：生活經(jīng)驗；符號代數(shù)；耦合策略

小學生的數(shù)學學習內(nèi)容非常寬泛，主要有“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”活動等，其中“數(shù)與代數(shù)”是小學數(shù)學的主體。因此，加強“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的研究是數(shù)學教學研究的應有之義。有學者認為，學生的“代數(shù)素養(yǎng)”主要分為“概念理解與簡單技能”“聯(lián)系與應用”“推理與問題解決”三方面。就小學階段具體學習內(nèi)容而言，“數(shù)與代數(shù)”主要體現(xiàn)在數(shù)、運算以及數(shù)量關(guān)系上。“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容是抽象的，但借助學生的生活經(jīng)驗，就能讓抽象的代數(shù)變得直觀、感性、具體，就能讓學生對代數(shù)產(chǎn)生親近感。

一、生活化孕育：用經(jīng)驗鏈接學生的代數(shù)學習

美國教育家杜威認為，“教育即生活，教育過程就是學生經(jīng)驗連續(xù)不斷的生長過程”。生活中潛藏著“數(shù)與代數(shù)”豐富的教學素材，孕育著“數(shù)與代數(shù)”豐富的原型。教學中，教師要喚醒學生的符號意識，敏銳學生的代數(shù)思維，孕育學生的代數(shù)思想，讓學生的經(jīng)驗與代數(shù)匹配鏈接。只有當學生感受到生活與數(shù)學同在，才能引發(fā)探究代數(shù)的興趣。

例如對于蘇教版小學數(shù)學一年級上冊《數(shù)的認識》，只有當學生積淀了豐厚的感性經(jīng)驗，如1塊蛋糕、一支鉛筆、一張紙、一枚硬幣、一塊橡皮等，學生才能抽象出具有基數(shù)意義的“1”的概念。反過來，當學生遇到5這個數(shù)字時，學生也自然會聯(lián)想到5朵花、5根手指、5個人、5塊糖等。不僅如此，學生對5這個數(shù)字的寫法也會產(chǎn)生數(shù)學聯(lián)想，比如5像秤鉤；學生還會進行數(shù)學式的表達，形成☆☆☆☆☆、00000、11111等不同的表征方式。這是學生的符號想象、符號聯(lián)想，更是學生數(shù)學符號思想的萌芽。同樣，只有在物體的分與合的過程中，學生才能理解“湊十法”“破十法”等算法。如教學“9加幾”，教師在引導學生操作小棒感悟“湊十法”的過程中可以變換另一個加數(shù)，如“9+2”“9+3”“9+4”“9+5”……如此，不僅讓學生理解了“湊十法”，還發(fā)展了學生“變與不變”的思維。學生能夠理解“無論另一個數(shù)是多少，都必須先湊成10”，能夠理解“一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)增加幾，和也增加幾”等。對于加法算式中“什么數(shù)發(fā)生了變化”“發(fā)生了怎樣的變化”“和相應地發(fā)生了怎樣的變化”等，學生都能心領神會。在這個過程中，學生不僅學會了運用“湊十法”進行計算，而且在數(shù)字變化過程中感悟到“等式”的含義，理解了“等號”的意義，對算式初步形成了結(jié)構(gòu)性把握，并且關(guān)系思維的種子也悄然植入學生的頭腦之中。

生活化的素材是隱蔽的、非標準的，對數(shù)學教學發(fā)揮著橋梁、紐帶和中介作用。生活原型能夠在學生代數(shù)學習心理上引發(fā)積極反應，形成學生代數(shù)學習的活的意向，衍生出學生代數(shù)學習的豐富表象。在數(shù)學教學中，教師應讓學生充分經(jīng)歷從“具體直觀——個性化符號表示——數(shù)學地表達”的發(fā)展和提升。這是一個逐步符號化、形式化的過程，能提升學生對數(shù)學符號意義的理解和對數(shù)學符號的運用、駕馭能力，形成學生使用數(shù)學符號的意識、能力和習慣。

二、情境性遷移：用經(jīng)驗啟發(fā)學生的代數(shù)學習

兒童個體的數(shù)學經(jīng)驗分為兩類：一是直接性數(shù)學經(jīng)驗，二是間接性數(shù)學經(jīng)驗。對于經(jīng)驗，杜威先生有一段經(jīng)典的論述：“什么是經(jīng)驗？經(jīng)驗既指一種學習結(jié)果，也指一種學習過程；既指學生經(jīng)驗著的事物，也指學生經(jīng)驗后的一種感受；既指一種直觀的體驗，也指一種理性的思維和反思?！薄敖逃褪墙?jīng)驗的不斷改造與重組?！痹跀?shù)學教學中，直接性經(jīng)驗是學生親身經(jīng)歷的，間接性經(jīng)驗是學生通過比照、類推、想象等方法而獲得的經(jīng)驗。教學中，教師要創(chuàng)設情境，助推學生的經(jīng)驗遷移，讓學生的經(jīng)驗與代數(shù)移植嫁接。

例如教學《一一列舉》（蘇教版小學數(shù)學教材五年級上冊），這是一種借助對具體事物、特定對象從邏輯上進行分析并將其本質(zhì)內(nèi)容全面地、有序地羅列出來的方法，要求學生既不遺漏也不重復?！耙灰涣信e”的核心思想是“序”與“類”。如對于這樣的習題：一個班級40個人，同學聚會后要求每兩個人都通一次話，相互問候，一共要通話多少次呢？教學中，教師可以通過“以小見大找規(guī)律”的方法啟發(fā)學生思考。首先用畫圖、模擬通電話等各種方式讓學生進行直觀感知。學生展開關(guān)系式思維。通過找規(guī)律，讓學生的經(jīng)驗與代數(shù)移植、嫁接：2個人通話1次，3個人通話1+2次，4個人通話1+2+3次，……再次，強化學生的關(guān)系思維，讓學生類推：5個人通電話呢——1+2+3+4次，6個人通電話呢——1+2+3+4+5次，……40個人通電話呢——1+2+3+…+39次，100個人通電話呢——1+2+3+…+99次。據(jù)此，引導學生建構(gòu)n個人兩兩不重復相互通話的次數(shù)的代數(shù)模型：1+2+3+…+n-1=n（n-1）÷2。不僅如此，教師還必須引導學生建構(gòu)“寄賀卡”的代數(shù)模型：n（n-1），并借助學生的經(jīng)驗，引導學生進行比較：通電話你我之間只需要通一次，而寄賀卡你我之間需要相互寄，因此，從次數(shù)上看，寄賀卡的次數(shù)是通電話次數(shù)的2倍。最后，教師讓學生彼此之間運用經(jīng)驗相互啟發(fā)代數(shù)思考，“哪些生活現(xiàn)象和通電話現(xiàn)象相似，哪些生活現(xiàn)象和寄賀卡現(xiàn)象相似”，不斷豐富學生的數(shù)學學習素材。

在“數(shù)與代數(shù)”教學過程中，教師要讓學生借助經(jīng)驗充分理解知識內(nèi)容。教師創(chuàng)設生活化情境，將代數(shù)知識放置于其中，讓學生的生活經(jīng)驗與代數(shù)知識無縫對接，讓生活經(jīng)驗助推學生的數(shù)學理解。教師不斷優(yōu)化、提煉、抽象學生的經(jīng)驗原型，使之形成抽象化、概括化、形式化的數(shù)學模型。

三、反思式提升：借經(jīng)驗助推學生的代數(shù)學習

生活經(jīng)驗與符號代數(shù)相互耦合，意味著教師既要直面數(shù)學知識，又要重視數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系。教師既不能用初中的“代數(shù)思想”要求學生，也不能讓學生停留在簡單的“算術(shù)思維”層面上，而應借助學生的經(jīng)驗助推學生的代數(shù)學習，培養(yǎng)學生的“準代數(shù)意識”“準代數(shù)思維”“準代數(shù)素養(yǎng)”。教師要引領學生反思代數(shù)學習中出現(xiàn)的問題，引導學生對生活經(jīng)驗進行審視、反思、觀照、批判，讓學生從生活的感性認知上升到代數(shù)的理性認知。

例如教學《方程的認識》（蘇教版小學數(shù)學教材五年級下冊），盡管學生能夠熟練判斷怎樣的式子是等式，怎樣的等式是方程，但學生在初次書寫方程、解方程時總是容易出現(xiàn)這樣或者那樣的錯誤，如在方程前面寫上“等號”。盡管教師三番五次地糾正，學生還是屢犯不改，許多教師將學生的錯誤原因歸為粗心。其實，如果我們對學生學習心理展開分析，就不難發(fā)現(xiàn)這是由于學生的“程序性思維”在發(fā)揮作用，“等號”在學生心里的作用就是“指示”、就是“過程操作”、就是“計算”，表示“做某事”。因此，教學中教師有必要強化“等號”的關(guān)系性質(zhì)，可以借助學生經(jīng)驗中的“天平”“蹺蹺板”等，幫助學生建立等式的概念；借助砝碼和物體，幫助學生建構(gòu)方程的概念。在這個過程中，教師要變換物體在天平上的放置位置，讓學生理解：方程中的未知數(shù)不僅可以在方程左邊，也可以在方程右邊，只要天平平衡，就表示等式成立；只要天平平衡，并且有一個物體，就表示方程成立?！暗忍枴钡拇鷶?shù)意義就在于：讓學生從整體上把握結(jié)構(gòu)，將“未知量”與“已知量”放在同等位置。在教學中，教師必須讓學生深刻理解、領悟到“方程中的未知量和已知量一樣，都可以參與方程的運算”。通過對數(shù)量之間的特點、關(guān)系的不斷探尋，學生能夠找尋到解決問題的規(guī)律。

“算術(shù)思維”是小學生認知發(fā)展的現(xiàn)有水平，而“代數(shù)思維”是小學生認知發(fā)展的可能水平。在教學中，教師要引導學生反思提升，讓學生借助經(jīng)驗，循著代數(shù)思維的發(fā)展軌跡，初步學會分析數(shù)量之間的關(guān)系，識別數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)。學生在學習變化、概括、問題解決、建模、驗證、證明以及預測過程中，形成“準代數(shù)素養(yǎng)”或“代數(shù)素養(yǎng)”。

小學階段的數(shù)學教學，教師應當著眼于學生進入中學后的學習中需要發(fā)展怎樣的數(shù)學思維。從這個意義上說，發(fā)展學生早期的“代數(shù)思維”，培育學生的“代數(shù)素養(yǎng)”是小學數(shù)學教學的應有之義。生活經(jīng)驗是學生代數(shù)學習的源頭活水，讓學生形成代數(shù)素養(yǎng)不僅體現(xiàn)為學生理解算式、符號的關(guān)系性質(zhì)，更體現(xiàn)在學生形成符號化思維、符號化意識、符號化習慣等方面。只有順應學生早期代數(shù)思維的發(fā)展需要，關(guān)注學生早期代數(shù)思維的培養(yǎng)，循著學生從算術(shù)思維、程序思維到代數(shù)思維、關(guān)系思維的發(fā)展路徑，才能讓學生的代數(shù)思維向著深刻的方向生長。