巧用“變式教學(xué)”解高中數(shù)學(xué)疑惑

蔡汶劍

（漳州市第三中學(xué)，福建 漳州 363000）

章建躍在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中提到：變式就是變更對象的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出事物的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)特征。這就要求教師在教學(xué)過程中，善于改造題目，充分利用一題多解，讓學(xué)生從不同的角度出發(fā)，對題目本身進行相應(yīng)地理解以及挖掘。另一方面，也要求教師在教學(xué)過程中，循序漸進地對題目進行不斷地變式，由淺入深，讓學(xué)生充分討論以及探究，以便更好地答疑解惑。

一、變式教學(xué)的作用

所謂“變式教學(xué)”，是指教師從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，設(shè)計一系列層層相扣的問題，由易到難，層層遞進，不斷地改變思考的角度，讓學(xué)生可以充分獨立思考，思維得到發(fā)散的一種教學(xué)方法。從2016年福建高考使用全國卷以來，數(shù)學(xué)文理科的難度和梯度都有所提升，很多題目必須深入理解才能真正得到答案，這就要求教師在教學(xué)過程中，加強題目的變式訓(xùn)練，針對一題多解和一題多變，利用變式技巧將題目簡便化以及直觀化。巧用變式，讓學(xué)生對知識體系結(jié)構(gòu)更加地清楚明了，也有助于學(xué)生自主探究能力的提升。

二、不同教學(xué)過程中的變式設(shè)計

變式教學(xué)中，教師要遵循針對性原則。所謂針對性原則是指從教學(xué)對象的實際認(rèn)知發(fā)展水平出發(fā)，對于新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課列舉不同的變式題型以及方法。新授課的變式主要以完成教學(xué)目標(biāo)為主，變式主要從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)；習(xí)題課的變式可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)思想和方法；復(fù)習(xí)課的變式除了習(xí)題課的元素，還要注意發(fā)散思維，讓學(xué)生找出題目與題目之間的聯(lián)系與區(qū)別。另外，變式更要從教學(xué)對象出發(fā)，例如在高二文理分科之后，文科教學(xué)中，變式的難度和深度要明顯淺顯于理科，對于文科的學(xué)生，不宜一下子難度增加過大，對于一題多解的題目，可以結(jié)合代數(shù)法和幾何法從旁佐證再進行變式。

新授課是一種傳授新內(nèi)容、講解新知識的授課。其在教學(xué)過程中，所占比重最大，學(xué)生主要通過新授課的教學(xué)，掌握新知識，聯(lián)系舊知識。學(xué)生對于新知識的掌握程度好壞主要取決于新授課，這就要求教師指導(dǎo)學(xué)生如何銜接新舊知識。下面以選修4-4的《極坐標(biāo)系與參數(shù)方程》為例，例舉一題進行變式。

此題意在讓學(xué)生掌握極坐標(biāo)系、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程之間的互化，作為新授課，此題的題干以及求解的兩個問題很好地體現(xiàn)了互化的問題，并且此題還跟以前所學(xué)習(xí)過的解析幾何進行了銜接，讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合進行求解。在此基礎(chǔ)上，教師可以將再進一步進行變式。

例2：在直角坐標(biāo)系XOY中，直線L的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系XOY取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為P＝4cosθ

（1）求圓C在直角坐標(biāo)系中的方程；（2）若圓C與直線L相切，求實數(shù)a的值

習(xí)題課是通過對題目的講解實現(xiàn)學(xué)習(xí)效果的評價,以學(xué)生作業(yè)和練習(xí)為主要目的的授課。在習(xí)題課中，通過對習(xí)題的理解和練習(xí)，鞏固新知識，拓展新問題，展開剖析，讓學(xué)生結(jié)合教材知識點，提取相關(guān)的信息，遷移知識，構(gòu)建體系，強化方法和規(guī)律技巧。讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會分析，舉一反三。所以，習(xí)題課的課時雖然不多，但在課堂教學(xué)中起著舉足輕重的作用。

此題是求三角函數(shù)最值的問題，教師在學(xué)生掌握三角函數(shù)化一公式的基礎(chǔ)上進行講解，并通過數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生直觀上看出函數(shù)的最大值以及最小值。在此基礎(chǔ)上，可再加入二倍角公式的應(yīng)用，以及換元的思想，逐步加深，讓學(xué)生在充分理解三角函數(shù)公式的基礎(chǔ)上，強化數(shù)形結(jié)合的思想。

復(fù)習(xí)課是以總結(jié)知識規(guī)律，總結(jié)答題規(guī)范和方法技巧，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，進行反思的授課。所以復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)，需要在原有的基礎(chǔ)上進行總結(jié)，挖掘教材、拓展教材以加深理解。

三、不同教學(xué)對象的變式設(shè)計

下面以立體幾何——2017年全國卷I第17題為例，提出教師針對不同教學(xué)對象如何設(shè)置不同的變式設(shè)計：

在高中階段，立體幾何是必修二的內(nèi)容，教學(xué)對象為所有的高中生。立體幾何是歷年高考的重要考點，學(xué)生在初中只接觸過平面幾何的內(nèi)容，對于立體幾何的內(nèi)容是完全陌生的。但到了高中階段，學(xué)生的思維能力得到迅速發(fā)展，空間想象能力和抽象邏輯思維也得到很大的提高。在必修二的內(nèi)容中，立體幾何適用于所有的學(xué)生，但到了高二文理分科之后，理科在必修二的基礎(chǔ)之上，多了空間直角坐標(biāo)系的內(nèi)容，于是理科生有更多的方法來解答立體幾何，并且相對于文科生，理科生的空間想象能力略高于文科生，因此在本題的設(shè)置中要抓住文理科的共同點和不同點進行相應(yīng)的變式。

高考中，立體幾何的線線垂直、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理是重點也是難點。并且此內(nèi)容是必修二的內(nèi)容，在文理分科之前學(xué)生都應(yīng)掌握理解，因此，在此題第一問的設(shè)計上，可從文理科的公共點出發(fā)設(shè)置疑問，如下：

例6：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°

證明：平面PAB⊥平面PAD

在第二問的設(shè)置上，可從學(xué)生的接受程度進行變式，文科的題目可從表面積、體積、高等問題提出疑問，理科的題目可在文科的基礎(chǔ)上，再增加線面所成的角、二面角的夾角大小問題進行變式。因此，第二問的設(shè)置上，文科可變式為：

而對于理科，可將第二問變式為：

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

此題目的設(shè)置主要是針對文理科學(xué)生學(xué)習(xí)的接受程度，知識的掌握程度不同，而將題目的問題進行變式。對于文科而言，如何利用體積轉(zhuǎn)化為底面積、高、側(cè)面積等是學(xué)生需要掌握的重點，同時也是一大難點。很多學(xué)生立體感比較強，可以借助高來求解，而對于立體感較弱的學(xué)生，則可通過等體積法得到求解。對于理科而言，在選修中多了空間坐標(biāo)系，于是，更多的學(xué)生會選擇建系的方法，從而把看似復(fù)雜的問題簡單化。教師在教學(xué)過程中，要針對近幾年全國卷的特點，分析文理差異，在此類型中多做變型和拓展，也可將錐變式為球或者柱再讓學(xué)生加以練習(xí)。

在教學(xué)過程中，教師要從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，研究教學(xué)對象，提出合適的變式教學(xué)的內(nèi)容。在變式教學(xué)過程中，如何把握變式教學(xué)的數(shù)量、質(zhì)量、梯度是教師今后應(yīng)該加強和提高的地方。巧用變式教學(xué)，讓學(xué)生主動參與教學(xué)過程中，體現(xiàn)其主體地位，可激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，更可以提高學(xué)生的素質(zhì)能力，起到答疑解惑的作用。

［1］孟令奇,張德利.跨文化視角下的中國數(shù)學(xué)教育特點探析——到底什么是中國式的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013（12）.

［2］肖凌戇.數(shù)學(xué)教育要以理性思維育人——我的數(shù)學(xué)教學(xué)主張［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2016（5）.

［3］劉勤，何長林.去其浮華，挖掘數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)——一堂高三“等差數(shù)列復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實錄與改進［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（12）.