廖克杰
[摘要]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容有了明確的要求,數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值觀念、行為方式和思維方式,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)發(fā)揮重要作用.數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中應(yīng)發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人功能,想方設(shè)法讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶,進(jìn)而落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).
[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)文化;核心素養(yǎng);導(dǎo)數(shù)的概念
[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058(2018)05000703
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:“在教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容,將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中.”在《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科明確提出了增加數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的考查,把數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求提升到了一個(gè)新的高度.
如何在日常教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人功能,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶,進(jìn)而落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)呢?下面筆者以《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)為例,談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)與實(shí)踐.
一、情境引入,呈現(xiàn)經(jīng)典例證
導(dǎo)數(shù)是由平均變化率衍生出來(lái),由速度問(wèn)題抽象而來(lái)的數(shù)學(xué)概念.從一段我國(guó)運(yùn)動(dòng)員奧運(yùn)會(huì)奪冠的視頻引出數(shù)學(xué)問(wèn)題,使
學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷
在充滿正能量的情境中得以激發(fā).
接著,就以下兩個(gè)問(wèn)題與學(xué)生進(jìn)行交流.
問(wèn)題1:運(yùn)動(dòng)員在起跳瞬間有沒(méi)有速度?在落水瞬間有沒(méi)有速度?在物理學(xué)上,此時(shí)的速度叫作什么速度?
(教師投影截取的運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)刻所在的大致位置.)
問(wèn)題2:2秒時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員有瞬時(shí)速度嗎?在這一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員是運(yùn)動(dòng)的嗎?
大部分學(xué)生認(rèn)為,運(yùn)動(dòng)員從起跳到落水的整個(gè)過(guò)程中都是運(yùn)動(dòng)的,因此在2秒時(shí)刻有瞬時(shí)速度;也有學(xué)生認(rèn)為,在2秒那一刻運(yùn)動(dòng)員占據(jù)了一定的空間位置,在這一瞬間是靜止的,沒(méi)有瞬時(shí)速度.學(xué)生的思維與原有認(rèn)知發(fā)生沖突,此時(shí)教師介紹芝諾“飛矢不動(dòng)”的詭論,從數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性上給出了物體動(dòng)或不動(dòng)的定義,這是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念.
[設(shè)計(jì)意圖]展示數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,暴露數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,體驗(yàn)數(shù)學(xué)家追求真理的科研精神,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性.
問(wèn)題3:物體動(dòng)就產(chǎn)生了速度,速度是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念,利用這一想法來(lái)求t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度可行嗎?
對(duì)于問(wèn)題3,多數(shù)學(xué)生會(huì)想到利用求平均速度的方法來(lái)求t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度,這是本節(jié)知識(shí)的切入點(diǎn),也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理思維和創(chuàng)新能力的關(guān)鍵點(diǎn).
二、抽象模型,滲透極限思想
微積分的核心概念是導(dǎo)數(shù),而理解導(dǎo)數(shù)就必須要有極限的思想.筆者通過(guò)圖形和代數(shù)兩個(gè)角度讓學(xué)生直觀感受平均速度無(wú)限趨近瞬時(shí)速度的變化過(guò)程,從形與數(shù)的表征揭示極限思想的本質(zhì),對(duì)學(xué)生極限思維的建立有積極的促進(jìn)效果.
教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出如下模型:
在t=2s這一瞬間,時(shí)間變化量都為0,從而路程變化量也為0,再用時(shí)間變化量除路程變化量會(huì)沒(méi)有意義,而此刻瞬時(shí)速度是存在的.利用“速度是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念”這一思想,得出在t=2的附近再取一個(gè)時(shí)刻t=2+Δt,計(jì)算區(qū)間[2,2+Δt](Δt>0)(Δt<0時(shí)為[2+Δt,2])內(nèi)的平均速度,讓?duì)趨向于無(wú)窮小時(shí),得到的值即為t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度.
教師:為了解決這個(gè)問(wèn)題,17世紀(jì)的一批數(shù)學(xué)家投入了這一工作,集大成者是微分學(xué)的創(chuàng)始人牛頓與萊布尼茨.求t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度,讓時(shí)間從t0變到t1,這段時(shí)間記作Δt=t1-t0,走過(guò)的距離記作Δs,比值Δs/Δt即為t0到t1時(shí)間內(nèi)的平均速度.牛頓合理的設(shè)想:當(dāng)Δt越來(lái)越小,Δs也越來(lái)越小,在就要為0而還不是0的時(shí)候,比
值
Δs/Δt就是所要求的瞬時(shí)速度.
[設(shè)計(jì)意圖]滲透微積分的發(fā)展史,使學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛歷程和發(fā)展邏輯,讓學(xué)生追隨大師的足跡一步步接近數(shù)學(xué)的本質(zhì),體會(huì)數(shù)學(xué)的人文、科學(xué)和應(yīng)用價(jià)值.
平均速度=ΔhΔt,讓學(xué)生動(dòng)筆,在草圖上把Δh和Δt(Δt>0)畫出來(lái).并且讓2+Δt慢慢靠近2,讓學(xué)生感受到平均速度逼近瞬時(shí)速度的過(guò)程.
當(dāng)Δt<0時(shí),2+Δt從左邊逼近2.學(xué)生動(dòng)筆再次作圖.
[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)圖形,讓學(xué)生直觀體會(huì)平均速度的逐漸逼近引起思維的變化,進(jìn)而升華得出瞬時(shí)速度,也為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義做鋪墊;強(qiáng)調(diào)左右逼近,使學(xué)生感受一元函數(shù)的極限是從左右兩邊逼近的,為后續(xù)導(dǎo)數(shù)概念的深化做好準(zhǔn)備.
接著,讓學(xué)生從代數(shù)的角度感受無(wú)限趨近,進(jìn)而了解極限,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.
問(wèn)題4:如何計(jì)算區(qū)間[2+Δt,2](Δt<0)和[2,2+Δt]內(nèi)的平均速度?
教師:如何快速化簡(jiǎn)式子=ΔhΔt
=h(2+Δt)-h(2)Δt
?
部分學(xué)生能化簡(jiǎn)得到=-1.9Δt-13.1
,教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)找同類項(xiàng),提高化簡(jiǎn)效率.分子中二次項(xiàng)Δt2的系數(shù)為-4.9,一次項(xiàng)Δt的系數(shù)為-13.1,常數(shù)項(xiàng)為0.
[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)數(shù)形結(jié)合,感受無(wú)限逼近思想的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和縝密性.強(qiáng)調(diào)算理意識(shí),落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng).
學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算Δt=0.1、0.01、-0.1、-0.01時(shí)的平均速度,師生利用電子表格Excel得出下表.
問(wèn)題5:請(qǐng)觀察上述表格,當(dāng)Δt趨向于0時(shí),你能發(fā)現(xiàn)平均速度有什么變化趨勢(shì)嗎?
學(xué)生:當(dāng)Δt趨向于0時(shí),平均速度趨向于一個(gè)定值-13.1,這個(gè)定值就是t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生對(duì)平均速度進(jìn)行定量分析,從數(shù)值上體會(huì)平均速度在時(shí)間間隔越來(lái)越小時(shí)向瞬時(shí)速度逼近的過(guò)程.
三、抽象概括,形成導(dǎo)數(shù)概念
學(xué)生能否對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深刻理解的標(biāo)志,表現(xiàn)在能否用數(shù)學(xué)的文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言來(lái)揭示概念的本質(zhì)屬性.因此,導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言對(duì)過(guò)程進(jìn)行抽象概括.
學(xué)生對(duì)平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系有了直觀的認(rèn)識(shí),為導(dǎo)數(shù)概念的形式化定義的抽象做好準(zhǔn)備,筆者通過(guò)問(wèn)題串來(lái)完成符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.
問(wèn)題6:你能用符號(hào)語(yǔ)言表示“當(dāng)Δt趨向于0時(shí),平均速度趨向于一個(gè)定值-13.1”嗎?
學(xué)生:當(dāng)Δt→0時(shí),
h(2+Δt)-h(2)Δt→-13.1.
教師:能再簡(jiǎn)潔一些嗎?
學(xué)生:把表示極限的兩個(gè)“→”合寫在一起,即得到
limΔt→0
h(2+Δt)-h(2)Δt=-13.1
.
問(wèn)題7:t=1時(shí)的瞬時(shí)速度怎么表示?t=0呢?t=t0的瞬時(shí)速度怎么表示?
學(xué)生都能想到分別用t=1、0分別替換2,得到相應(yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)速度的表示,從而抽象得到t=t0的瞬時(shí)速度表示式:
limΔt→0ΔhΔt=
limΔt→0
h(t0+Δt)-h(t0)Δt.
在學(xué)生理解函數(shù)的平均變化率的極限即為瞬時(shí)變化率的基礎(chǔ)上提問(wèn).
問(wèn)題8:函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?
limΔx→0
ΔfΔx=
limΔx→0
f(x0+Δx)-f(x0)Δx
稱為y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或
y′|x=x0
,即
f′(x0)=
limΔx→0
f(x0+Δx)-f(x0)Δx
.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷三次數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的抽象概括,形成導(dǎo)數(shù)的形式化定義,完成從直觀到抽象、從具體到概括的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.
四、深化概念,加深本質(zhì)理解
“概念深化”是一節(jié)課的靈魂,對(duì)學(xué)生良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)起關(guān)鍵作用.這一環(huán)節(jié)形式多樣,常包括怎樣分析概念的內(nèi)涵與外延?能否從圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言形式來(lái)對(duì)概念進(jìn)行描述?能否就概念提出問(wèn)題讓學(xué)生辨析正誤?學(xué)生能否自主構(gòu)造例子說(shuō)明?,這都需要教師動(dòng)腦去挖掘.
問(wèn)題9:①導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么?
②f′(x0)與Δx的具體值有關(guān)嗎?
③f(x0)與f′(x0)一樣嗎?
④導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中分子、分母各表示什么?
問(wèn)題9:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為f′(x0),則
①limΔx→0
f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=
;
②limΔx→0
f(x0-Δx)-f(x0)Δx=.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)即為瞬時(shí)變化率,是一種動(dòng)態(tài)的趨近的思想,是一種特殊的極限;加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的形式化定義的理解:導(dǎo)數(shù)是差商的極限,要保持差商的一致性,提高學(xué)生思維的靈活性.
教師:17世紀(jì)下半葉,牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分,當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念是含混不清的并引起了近一個(gè)世紀(jì)的爭(zhēng)議.19世紀(jì)初,柯西引進(jìn)極限概念,給出了導(dǎo)數(shù)明確的定義.柯西以及后來(lái)的維爾斯特拉斯對(duì)結(jié)束微積分兩百年來(lái)思想上的混亂局面做出了巨大的貢獻(xiàn),并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最龐大的學(xué)科.
教學(xué)中,以具體實(shí)例引出數(shù)學(xué)問(wèn)題,讓學(xué)生的思維與原有認(rèn)知發(fā)生沖突,再現(xiàn)歷史上“飛矢不動(dòng)”的詭論,讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師牛頓一起思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程;在抽象模型環(huán)節(jié),從形與數(shù)的表征一步步接近導(dǎo)數(shù)的本質(zhì),慢慢揭開(kāi)導(dǎo)數(shù)的神秘面紗.同時(shí),介紹數(shù)學(xué)家們追求真理的艱苦過(guò)程,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展的嚴(yán)謹(jǐn),養(yǎng)成質(zhì)疑、批判、求真、務(wù)實(shí)的理性思維和永不言棄的探索精神.
[參考文獻(xiàn)]
王興良.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容的研究與實(shí)踐[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào),2014,3(30).
(責(zé)任編輯黃春香)