退化相關(guān)多部件系統(tǒng)預(yù)防性維修決策模型

楊志遠(yuǎn), 趙建民, 程中華

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003)

0　引　言

隨著技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)代工業(yè)設(shè)備結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜,相應(yīng)的價(jià)值和停機(jī)造成的損失也越來(lái)越高,維修對(duì)于降低系統(tǒng)故障率和減少使用成本具有重要的意義。在復(fù)雜系統(tǒng)中,各部件間的退化失效往往具有相互影響,這就使得這類系統(tǒng)的維修決策變得更為復(fù)雜,如果將此類系統(tǒng)的維修決策問題按照獨(dú)立退化過(guò)程來(lái)處理,將會(huì)影響維修決策的科學(xué)性乃至正確性。

部件間的相關(guān)關(guān)系可劃分為經(jīng)濟(jì)相關(guān)、結(jié)構(gòu)相關(guān)和故障相關(guān),近年來(lái),在復(fù)雜系統(tǒng)維修決策研究中,最受關(guān)注的是對(duì)故障相關(guān)性的研究。故障相關(guān)也稱隨機(jī)相關(guān),是指一個(gè)部件的狀態(tài)會(huì)影響其他部件的狀態(tài)。這里的“狀態(tài)”包括壽命、故障率、故障狀態(tài)等各種狀態(tài)度量標(biāo)準(zhǔn)。目前,在故障相關(guān)研究中最常見的是考慮故障率之間的相關(guān)關(guān)系,這種方法是建立在多部件系統(tǒng)故障失效隨機(jī)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的。在關(guān)于故障相關(guān)的早期研究中,文獻(xiàn)[1-2]提出了多部件系統(tǒng)中存在的3種類型的故障相關(guān);文獻(xiàn)[3]考慮兩部件并聯(lián)系統(tǒng)在交叉檢測(cè)下的可靠度問題,其中一個(gè)部件故障后將以概率p影響另一個(gè)部件的故障概率。文獻(xiàn)[4]建立了一個(gè)解析模型用于定量分析部件間的相關(guān)故障率。文獻(xiàn)[5]假設(shè)兩部件可修復(fù)系統(tǒng)中故障相關(guān)是單向的,在此基礎(chǔ)上,建立了周期性檢測(cè)優(yōu)化模型。另外共因失效也是一種特殊的故障相關(guān)表現(xiàn),目前關(guān)于共因失效的研究也可以認(rèn)為是基于故障率相關(guān)的,共因失效增大了系統(tǒng)各失效模式間的聯(lián)合失效概率[6],關(guān)于其研究可參考文獻(xiàn)[7-8]。故障率交互的方法是基于故障失效數(shù)據(jù)的,在實(shí)際中,有些設(shè)備的可靠度較高因而能獲得的故障數(shù)據(jù)較少[9],會(huì)限制該方法的應(yīng)用,而且由于復(fù)雜系統(tǒng)各個(gè)部件的獨(dú)立故障率難以通過(guò)失效數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到,因此也很難推導(dǎo)故障率之間的相互影響關(guān)系。

故障相關(guān)性另一種研究方法是基于退化過(guò)程相關(guān)開展的,通過(guò)各部件退化過(guò)程間的相互影響來(lái)對(duì)部件間的相關(guān)性進(jìn)行分析研究。目前關(guān)于退化過(guò)程相關(guān)的研究文獻(xiàn)還較少,比較常用的是用兩變量退化分布模型[10-12]和Copula函數(shù)[13-14]來(lái)表現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)不同部件退化量間的相關(guān)關(guān)系。使用兩變量退化分布模型和Copula函數(shù)難點(diǎn)在于確定相關(guān)函數(shù)的形式,就Copula法來(lái)說(shuō),常見的Copula函數(shù)有Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula、Gaussian Copula、t-Copula等[15],確定系統(tǒng)適合的Copula函數(shù)及相關(guān)參數(shù)比較困難。退化過(guò)程相關(guān)也可用部件退化速率之間的關(guān)系表示,目前采用此種方法的研究還較少且相關(guān)維修策略較為單一,在維修決策模型中也通常只考慮兩部件相關(guān),文獻(xiàn)[16]運(yùn)用退化速率相關(guān)的方法研究了多部件系統(tǒng)部件退化間的相關(guān)關(guān)系模型并提出了相應(yīng)的基于狀態(tài)維修策略,但模型采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法,沒有建立關(guān)于部件退化過(guò)程相互影響的解析模型,也未得到相應(yīng)的退化過(guò)程顯式模型,這限制了對(duì)該方法的深入研究和使用。

基于此,本文在非線性Wiener退化過(guò)程模型基礎(chǔ)上,考慮退化速率影響建立了退化相關(guān)多部件系統(tǒng)退化過(guò)程解析模型和可靠度模型,并提出了相應(yīng)的預(yù)防性維修策略,以單位時(shí)間維修費(fèi)用最小為目標(biāo)建立了預(yù)防性維修決策優(yōu)化模型,進(jìn)而得到了系統(tǒng)最優(yōu)預(yù)防性維修策略,以提高這類系統(tǒng)維修活動(dòng)的經(jīng)濟(jì)效益。

1　退化過(guò)程模型

在現(xiàn)有退化過(guò)程模型中,常用的包括退化軌跡模型、退化量分布模型、累積損傷模型、Gamma過(guò)程模型以及Wiener過(guò)程模型,其中Gamma過(guò)程模型與Wiener過(guò)程模型是常用的隨機(jī)過(guò)程模型。由于Wiener過(guò)程模型能夠描述多種典型產(chǎn)品的性能退化過(guò)程,并且具有良好的計(jì)算性質(zhì),因而是目前性能可靠性建模領(lǐng)域較常用的退化模型之一。本文中采用非線性Wiener過(guò)程模型來(lái)建立部件退化模型,令X(t)表示部件在時(shí)刻t的退化量,那么X(t)可表示為

(1)

式中,λ(t;?)是關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)非減函數(shù),表示退化過(guò)程的平均趨勢(shì),?為影響退化過(guò)程的相關(guān)參數(shù);B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),表示退化過(guò)程中的隨機(jī)性。可以看出,如果令λ(t;?)=λ,那么模型就變?yōu)榱司€性Wiener過(guò)程模型;如果令σB=0,那么模型將退化為真實(shí)退化路徑模型。為便于分析,令X(0)=0,即在開始時(shí)刻0部件的退化量為0,用X(t)表示部件的累計(jì)退化量,則有

(2)

在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步設(shè)定

(3)

式中,μ(t;?)表示的是期望退化量隨時(shí)間的變化情況。由此,部件退化非線性Wiener過(guò)程模型可表示為

X(t)=μ(t;?)+σBB(t)

(4)

假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)部件組成,部件退化過(guò)程中存在相關(guān)關(guān)系。根據(jù)建立的退化模型,n個(gè)部件退化過(guò)程模型可表示為

X(t)=μ(t;?)+σBB(t)

(5)

式中,X(t),μ(t;?)和σB均為n維列向量,表示不同部件的退化模型?？梢钥闯?退化量X(t)由兩部分組成,第二部分表示的是部件在退化過(guò)程中的隨機(jī)性因素,假設(shè)對(duì)于不同的部件隨機(jī)性因素是相互獨(dú)立的,所以在本文中采用μ(t;?)描述不同部件退化過(guò)程間的相互關(guān)系。

在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中,部件的退化會(huì)對(duì)與其具有相關(guān)關(guān)系部件的退化速率產(chǎn)生影響,這是由于某些部件的退化造成了整個(gè)系統(tǒng)在非正常狀況下運(yùn)行,這會(huì)影響相關(guān)部件的退化速率。以齒輪箱為例,軸承的磨損將會(huì)造成過(guò)量的振動(dòng),因此相關(guān)的齒輪退化速度也會(huì)加快,反之,齒輪的磨損也會(huì)導(dǎo)致軸承的加速退化。為方便實(shí)際應(yīng)用,本文中采用退化量期望值的變化定義部件在t時(shí)刻的退化速率,表示為

(6)

基于此,借鑒文獻(xiàn)[16]中的退化率相關(guān)法和文獻(xiàn)[18]中相關(guān)故障率的概念,建立部件退化相關(guān)解析模型為

?)=Θn×nμ(t;?)+Q(t)

(7)

式中,Θn×n是部件間的相關(guān)系數(shù)矩陣,表示部件退化間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱;Q(t)表示部件的固有退化率。以上參數(shù)可由系統(tǒng)或類似系統(tǒng)歷史退化數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)得到,以較小時(shí)間間隔Δt對(duì)各部件的退化狀態(tài)進(jìn)行取樣,令ΔXt=Xt+Δt-Xt,根據(jù)式(5),可得到ΔXt=μ(t+Δt;?)-μ(t;?)+σBB(t+Δt)-σBB(t),由Wiener過(guò)程可得

(8)

基于此,可采用最大似然估計(jì)法對(duì)Θn×n和Σ的值進(jìn)行估計(jì);對(duì)于Q(t)可參照文獻(xiàn)[16]中所采用的回歸方法得到,這里不再贅述。

式(7)表示部件退化速率受到其自身和具有相關(guān)關(guān)系部件退化量的影響。為便于理解,將式(7)展開為

(9)

式中,θij為部件j累積退化量對(duì)部件i退化速率的影響,θij=0表示部件j對(duì)部件i無(wú)影響。如果θij為常數(shù),式(7)可以看作一個(gè)常系數(shù)線性非齊次微分方程組,根據(jù)線性非齊次微分方程組解的存在與唯一定理,給定相應(yīng)的初始條件,那么式(7)存在唯一解。通過(guò)求解式(7),就可以求得相應(yīng)的μ(t;?),進(jìn)而得到各部件退化過(guò)程模型X(t)。為求解式(7),引入線性微分算子L,L表示為

(10)

引入線性微分算子L后,式(7)可簡(jiǎn)化表示為

L[μ(t;?)]=Q(t)

(11)

其對(duì)應(yīng)的齊次常微分方程組形式為

L[μ(t;?)]=0

(12)

根據(jù)微分方程組解得結(jié)構(gòu)性質(zhì),式(11)的解可表示為

(13)

根據(jù)Cayley-Hamilton定理[19]可以得到φ(t)的表達(dá)式為

(14)

式中,P0=E;Pj=(Θ-λjE)(Θ-λj-1E)…(Θ-λ1E);j=1,2,…,n。其中,λ1,λ2,…,λn是矩陣Θ的特征根(不一定相異),而函數(shù)γj(t)(j=1,2,…,n)是微分方程組式(15)初值問題的解。

(15)

(16)

由此可得部件退化相關(guān)模型式(7)的通解為

(17)

給定系統(tǒng)各部件的初始退化量μ(t0;?)=μ0,即可得到具有退化相關(guān)關(guān)系各部件的期望退化量函數(shù)為

(18)

在此基礎(chǔ)上,將式(18)代入式(5)中,可得部件退化過(guò)程模型為

(19)

2　可靠度模型

由于本文在退化建模中采用的是非線性Wiener過(guò)程模型,然而由于退化模型的復(fù)雜性,難以得到部件精確的故障分布函數(shù)。為此,考慮到在實(shí)際中部件退化過(guò)程一般是非減的,做出假設(shè):對(duì)于任意t>s≥0,部件退化量X(t)

2.1　部件可靠度

根據(jù)式(19)可得到退化量在t時(shí)刻的分布Gt(x),定義

Gt(x)=Pr{X(t)≤x}

(20)

用T(x)表示退化量達(dá)到一定水平x時(shí)的隨機(jī)時(shí)間,定義

Fx(t)=Pr{T(x)≤t}

(21)

基于以上假設(shè),容易得到當(dāng)且僅當(dāng)T(x)>t時(shí),X(t)≤x,因此Gt(x)和Fx(t)之間存在關(guān)系為

Gt(x)=1-Fx(t)

(22)

假設(shè)退化過(guò)程的故障閾值為D,在本文中,部件故障僅由退化引起,不考慮偶然故障影響,也就是說(shuō),當(dāng)退化水平X(t)超過(guò)閾值D時(shí)，部件出現(xiàn)故障。那么根據(jù)假設(shè)和可靠度的定義,部件的可靠度函數(shù)可表示為

RD(t)=Gt(D)=1-FD(t)

(23)

(24)

式中,Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

Ψt(x;u)=Pr{ΔXt(u)≤x}=

(25)

2.2　系統(tǒng)可靠度

根據(jù)部件退化相關(guān)模型可以看出,部件退化間的相互關(guān)系是通過(guò)μ(t;?)來(lái)表示的。而退化模型中σBB(t)只與時(shí)間相關(guān),不同部件之間σBB(t)是相互獨(dú)立的,當(dāng)時(shí)間一定時(shí),μ(t;?)是固定值,所以不同部件間是否發(fā)生故障(退化量是否超過(guò)故障閾值)可認(rèn)為相互獨(dú)立。因此,系統(tǒng)可靠度函數(shù)可表示為

(26)

3　系統(tǒng)預(yù)防性維修模型

3.1　基本假設(shè)與預(yù)防性維修策略

在建立預(yù)防性維修模型之前,做出以下基本假設(shè):

假設(shè)1任意部件故障都會(huì)造成系統(tǒng)故障,系統(tǒng)故障是由不同部件故障引起的競(jìng)爭(zhēng)失效過(guò)程,系統(tǒng)一旦發(fā)生故障則會(huì)立即停止運(yùn)行并被發(fā)現(xiàn)。

假設(shè)2部件的退化狀態(tài)只能通過(guò)檢測(cè)得到,且檢測(cè)是完善的,即通過(guò)檢測(cè)能夠精確地得到部件退化狀態(tài)。

假設(shè)3系統(tǒng)由1個(gè)核心部件和n-1個(gè)輔助部件組成,任何一個(gè)部件的故障都將導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)功能故障,核心部件是指價(jià)值較高、功能重要且發(fā)生故障造成損失較大的部件。需要注意，本文中的“部件”既可以是單個(gè)部件,也可以指一個(gè)子系統(tǒng),本文中所指的核心部件是符合上述特點(diǎn),有必要進(jìn)行定期檢測(cè)的部件組成的子系統(tǒng)。

圖1　系統(tǒng)預(yù)防性維修策略

在以上預(yù)防性維修策略下,由于部件退化間的相互關(guān)系,部件在每個(gè)間隔期內(nèi)的退化過(guò)程有所差異。假設(shè)部件在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔內(nèi)t時(shí)刻期望退化量記為μi(t;?),為了便于以下模型推導(dǎo),令每個(gè)預(yù)防性維修間隔期均從0時(shí)刻開始,即0≤t≤Ti。在任意間隔期內(nèi),部件退化間的相互關(guān)系模型是相同的,均由式(7)給出,所以式(16)給出的通解在每個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi)均適用,只需改變相應(yīng)的初始條件即可。對(duì)部件進(jìn)行更換使得部件修復(fù)如新,即退化量變?yōu)?,因此,在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi)模型初始條件可表示為

向量中第一項(xiàng)是對(duì)于核心部件來(lái)說(shuō)的,由于對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)不影響退化量,在第i個(gè)間隔期初始退化量等于第i-1個(gè)間隔期結(jié)束時(shí)的退化量,其中對(duì)核心部件退化模型存在μ1(0;?)=μ0(T0;?)=0。由此,可得到在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi)部件的退化過(guò)程模型為

(27)

在式(27)基礎(chǔ)上,根據(jù)式(23)可得到各部件在各預(yù)防性維修間隔期內(nèi)的可靠度和故障分布函數(shù)。

已經(jīng)給出了部件可靠度和故障分布函數(shù),但對(duì)于核心部件而言,由于其采用功能檢測(cè)策略,所以其發(fā)生故障更新或預(yù)防性更換的概率不能由可靠度函數(shù)簡(jiǎn)單得到,需要分情況進(jìn)行討論。

當(dāng)i=1時(shí),即在第一個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi),發(fā)生故障更新或預(yù)防性更換的概率較為簡(jiǎn)單,根據(jù)部件可靠度函數(shù)及功能檢測(cè)策略,其分別為FD,1(T1)和GT1,1(D)-GT1,1(xp)。符號(hào)Gt,i(x)=Pr{Xi(t)≤x},表示在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi)的Gt(x)函數(shù),其他相關(guān)符號(hào)表示相同,下面不再贅述。

當(dāng)i≥2時(shí),核心部件首次更新發(fā)生在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi)t時(shí)刻前故障更新的概率為

HD,i(t)=Pr{Xi(0)

Pr{Xi(0)

(28)

式中,g0,i(x)=dG0,i(x)/dx。

核心部件在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi)t時(shí)刻前未出現(xiàn)部件更新的概率為

Pr{Xi(0)

Pr{Xi(0)

(29)

核心部件在第i次檢測(cè)時(shí)出現(xiàn)預(yù)防性更換更新的概率為

Pr{Xi(0)

Pr{Xi(0)

(30)

(31)

式中,EC表示每個(gè)更新周期內(nèi)系統(tǒng)維修費(fèi)用期望值；EL表示系統(tǒng)期望更新周期長(zhǎng)度。

在預(yù)防性維修策略中,系統(tǒng)有兩種可能的更新方式,一種是由于任意部件故障引起的系統(tǒng)故障更換,稱為故障更新;另一種是由于核心部件在檢測(cè)時(shí)，退化量在預(yù)防性更換閾值xp和故障閾值D之間引起的系統(tǒng)預(yù)防性更換,稱為檢測(cè)更新。

3.2　系統(tǒng)維修總費(fèi)用

(32)

當(dāng)i≥2時(shí),根據(jù)系統(tǒng)故障更新是否由核心部件(假設(shè)核心部件編號(hào)為1)發(fā)生故障引起,考慮兩種情況,和首次預(yù)防性維修間隔期內(nèi)故障更新概率計(jì)算原理類似,可得在第i個(gè)預(yù)防性維修間隔期內(nèi),系統(tǒng)故障更新概率為

(33)

(34)

基于此,可得到系統(tǒng)更新周期內(nèi)故障更新期望費(fèi)用為

(35)

系統(tǒng)檢測(cè)更新是由核心部件預(yù)防性更換引起的,而核心部件第i次檢測(cè)時(shí)發(fā)生預(yù)防性更換的概率已在之前推導(dǎo)給出,如式(29)所示,綜合所有可能的檢測(cè)點(diǎn)(i=1,2,…)即可得到系統(tǒng)檢測(cè)更新發(fā)生的概率,在此基礎(chǔ)上,可得到系統(tǒng)更新周期內(nèi)檢測(cè)更新期望費(fèi)用為

(36)

綜合系統(tǒng)更新周期內(nèi)故障更新和檢測(cè)更新期望費(fèi)用,可得到每個(gè)更新周期內(nèi)系統(tǒng)維修費(fèi)用期望值

EC=ECfs+ECps

(37)

3.3　系統(tǒng)更新周期長(zhǎng)度

在計(jì)算期望更新周期長(zhǎng)度時(shí),和維修費(fèi)用模型類似,也可劃分為故障更新和檢測(cè)更新,更新概率在維修模型中已得到。在此基礎(chǔ)上,可得到故障更新期望周期長(zhǎng)度為

(38)

檢測(cè)更新期望周期長(zhǎng)度為

(39)

綜合系統(tǒng)更新周期內(nèi)故障更新和檢測(cè)更新期望周期長(zhǎng)度,可得到系統(tǒng)期望更新周期長(zhǎng)度為

EL=ELfs+ELps

(40)

將式(37)和式(40)代入式(31)中即可得到系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用Cavg(T1,T,xp)的表達(dá)式。

(41)

4　算例分析

假設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)部件(子系統(tǒng))組成,不失一般性,令部件1為核心部件,部件2為輔助部件,兩部件退化間存在相關(guān)關(guān)系,任意部件故障都會(huì)引起系統(tǒng)失效,系統(tǒng)故障是競(jìng)爭(zhēng)失效過(guò)程。為減少系統(tǒng)維修費(fèi)用,采用所提預(yù)防性維修策略對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行維修,退化和維修模型相關(guān)參數(shù)設(shè)定如表1所示,為方便分析,費(fèi)用單位統(tǒng)一設(shè)置為元,部件退化量單位為毫米(mm),時(shí)間單位為月,在以下敘述中不再重復(fù)標(biāo)明。

基于退化過(guò)程相關(guān)模型和預(yù)防性維修策略,可利用非線性Wiener過(guò)程的獨(dú)立增量特性生成部件退化過(guò)程的仿真軌跡。當(dāng)T1=25,T=10時(shí),對(duì)兩部件的退化過(guò)程獨(dú)立仿真5次,得到的仿真軌跡如圖2所示。

表1　模型參數(shù)設(shè)置

圖2　預(yù)防性維修策略下部件仿真退化軌跡

可以看出,兩個(gè)部件的退化過(guò)程均呈現(xiàn)明顯的遞增趨勢(shì),且兩部件退化間有明顯的相關(guān)關(guān)系,如隨著部件1的退化量增加,部件2的退化速率也明顯加快,在相同時(shí)間內(nèi)的退化量增加;對(duì)部件2進(jìn)行預(yù)防性更換時(shí),部件1的退化速率也會(huì)相應(yīng)變慢,退化仿真軌跡出現(xiàn)轉(zhuǎn)折。如果不考慮部件間退化的相互影響,即任意部件維修活動(dòng)不會(huì)影響其他部件的退化過(guò)程,將會(huì)對(duì)維修決策優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生影響,在下面的維修費(fèi)用分析中將詳細(xì)說(shuō)明。

在得到退化過(guò)程模型基礎(chǔ)上,為得到部件可靠度函數(shù),將部件退化近似做非減退化過(guò)程處理,為驗(yàn)證該方法的合理性和精確性,在以上參數(shù)設(shè)置下對(duì)部件1和部件2首次到達(dá)故障閾值時(shí)間進(jìn)行仿真,分別取樣5 000次,做出首次故障時(shí)間的直方圖,得到其近似分布,與解析故障密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比,如圖3所示。

圖3　首次故障時(shí)間仿真數(shù)據(jù)和解析分布對(duì)比

由結(jié)果圖仿真數(shù)據(jù)和解析分布對(duì)比可以看出,所提方法可較為精確地得到部件的故障分布函數(shù),也驗(yàn)證了當(dāng)σB較小時(shí),部件非減退化過(guò)程假設(shè)的合理性。在此基礎(chǔ)上,對(duì)系統(tǒng)首次故障時(shí)間進(jìn)行仿真,同樣取樣5 000次,得到系統(tǒng)故障時(shí)間分布仿真數(shù)據(jù)與解析分布對(duì)比圖,結(jié)果顯示系統(tǒng)可靠度函數(shù)式(25)可較為精確地描述系統(tǒng)真實(shí)故障分布情況。在用迭代法搜尋模型最優(yōu)值的過(guò)程中,為方便預(yù)防性維修策略的實(shí)施,預(yù)防性維修間隔期的搜索步長(zhǎng)取1,即只在整數(shù)范圍內(nèi)求預(yù)防性維修間隔期的最優(yōu)值。當(dāng)預(yù)防性維修間隔期(T1,T)確定時(shí),根據(jù)優(yōu)化模型可得到系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用Cavg(T1,T,xp)隨預(yù)防性更換閾值xp的變化情況,如圖4所示。

圖4　xp與Cavg(T1,T,xp)的關(guān)系

圖4中列舉了4種不同預(yù)防性維修間隔期下單位時(shí)間維修費(fèi)用隨xp的變化情況,顯示了對(duì)于固定的(T1,T),存在最優(yōu)的預(yù)防性維修閾值xp使得單位時(shí)間維修費(fèi)用最小。從整體上看,隨著預(yù)防性維修間隔期的減小,xp的最優(yōu)值是逐漸增大的,這是由于較小的預(yù)防性維修間隔期可以更為及時(shí)地檢測(cè)系統(tǒng)退化量,從而可以在部件達(dá)到故障閾值前設(shè)置更大的預(yù)防性維修閾值以充分利用部件使用壽命。較小的xp值會(huì)引起系統(tǒng)過(guò)早更換,而較大的xp值則可相對(duì)減少過(guò)早更換，但同時(shí)會(huì)增加系統(tǒng)故障風(fēng)險(xiǎn),這都會(huì)導(dǎo)致維修費(fèi)用增加。同時(shí)通過(guò)曲線的對(duì)比可以說(shuō)明區(qū)分首次預(yù)防性維修間隔期與重復(fù)預(yù)防性維修間隔期的必要性。

當(dāng)預(yù)防性更換閾值xp固定時(shí),系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用Cavg(T1,T,xp)與預(yù)防性維修間隔期(T1,T)的關(guān)系如圖5所示(以xp=5為例)。由系統(tǒng)維修費(fèi)用率變化三維圖和等高線圖可以看出,對(duì)于固定的xp,從整體上看,無(wú)論是隨著T1或T的增大,Cavg(T1,T,xp)呈現(xiàn)先降低后升高的趨勢(shì),這是預(yù)防性維修費(fèi)用減少和故障更換費(fèi)用增加共同作用結(jié)果。存在最優(yōu)的(T1,T)使得系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用最小,例如當(dāng)xp=5時(shí),最優(yōu)預(yù)防性維修間隔期為T1=16,T=8,此時(shí)系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用為528.27元。

在不考慮部件間相互影響的條件下,兩部件的退化過(guò)程不會(huì)隨著另一個(gè)部件的維修發(fā)生變化,所以此時(shí)兩部件退化過(guò)程可由第一次預(yù)防性維修間隔期內(nèi)的退化模型表示,圖5(b)中的T1=25,T=4點(diǎn)表示在這種情況下對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果,可以看出如果部件間相互影響,所得到的實(shí)際費(fèi)用和預(yù)防性維修間隔期并不是最優(yōu)值。

圖5　(T1,T)與Cavg(T1,T,xp)的關(guān)系(xp=5)

在以上分析基礎(chǔ)上,對(duì)不同xp取值下的模型進(jìn)行優(yōu)化,得到相應(yīng)的最優(yōu)預(yù)防性維修間隔期和系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用值,如圖6所示。

圖6　不同xp下系統(tǒng)最小單位時(shí)間維修費(fèi)用

表2　不同xp對(duì)應(yīng)優(yōu)化結(jié)果

在預(yù)防性維修策略實(shí)施過(guò)程中,由于工作任務(wù)或者其他一些因素影響,可能不能嚴(yán)格按照最優(yōu)預(yù)防性維修間隔期對(duì)部件實(shí)施檢測(cè)和預(yù)防性更換工作,這時(shí)就需要分析預(yù)防性維修間隔期變化對(duì)系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用產(chǎn)生的影響。

表3　不同(T1,T)下系統(tǒng)單位時(shí)間維修費(fèi)用

5　結(jié)　論

本文在非線性Wiener退化過(guò)程模型基礎(chǔ)上提出了基于退化速率的退化相關(guān)多部件系統(tǒng)退化過(guò)程模型和可靠度模型,在此基礎(chǔ)上,建立了系統(tǒng)預(yù)防性維修決策優(yōu)化模型。在模型算例分析部分,通過(guò)對(duì)不同部件的退化過(guò)程仿真說(shuō)明了部件間的相關(guān)關(guān)系;通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和解析分布的對(duì)比,驗(yàn)證了可靠度模型的精確性;通過(guò)優(yōu)化得到了系統(tǒng)最優(yōu)預(yù)防性維修策略,對(duì)比說(shuō)明了最優(yōu)預(yù)防性維修策略的經(jīng)濟(jì)效益。最后分析了決策變量變化對(duì)維修費(fèi)用的影響,為預(yù)防性維修策略的實(shí)施提供參考。

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