不同溫度下無后坐炮內(nèi)彈道過程多維隨機變量數(shù)值模擬

李春雷,王雨時,張志彪

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

無后坐炮內(nèi)彈道過程中隨機影響因素很多。由于內(nèi)彈道整個過程只持續(xù)很短的時間,所以很多影響無后坐炮內(nèi)彈道過程的隨機變量無法通過實驗獲知。

為了得到內(nèi)彈道影響因素的隨機分布,文獻[1]基于經(jīng)典內(nèi)彈道學模型,采用蒙特卡羅方法模擬了內(nèi)彈道過程中初始參量隨機性導(dǎo)致的最大膛壓和初速的隨機波動現(xiàn)象,得到某高射炮的最大膛壓和初速的隨機分布特性。其中初始參量變化只考慮了藥量、藥厚和火藥力,并未綜合考慮彈丸發(fā)射中其他初始參量,例如彈質(zhì)量和藥室容積。文獻[2]基于內(nèi)彈道勢平衡理論研究了不同火藥靜態(tài)燃燒規(guī)律與初速或然誤差之間的內(nèi)在聯(lián)系,利用建立的初速或然誤差的隨機模擬理論,得到了應(yīng)用密閉爆發(fā)器來預(yù)估初速或然誤差的工程方法。文獻[3]在考慮火藥隨機燃燒基礎(chǔ)上,利用火炮內(nèi)彈道一維兩相流模型,隨機模擬了點火管因隨機破孔而對彈道性能造成的影響;從概率統(tǒng)計的角度對點火管破孔、最大膛壓以及最大負壓差進行了統(tǒng)計分析,統(tǒng)計分析結(jié)果基本能反映出膛內(nèi)射擊過程的某些內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律。文獻[4]對無后坐炮整個身管和出炮口一定距離的流場進行了數(shù)值模擬,得到的流場結(jié)果符合預(yù)期。文獻[5]為了實現(xiàn)無后坐炮在有限空間內(nèi)的安全發(fā)射,設(shè)計了一種含液態(tài)平衡體的新型裝藥結(jié)構(gòu),并進行了某口徑無后坐炮內(nèi)彈道性能試驗,建立了相應(yīng)的內(nèi)彈道模型,計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好。在此基礎(chǔ)上,分析了液態(tài)平衡體初始質(zhì)量、密度、火藥弧厚、噴管喉部直徑以及擠進壓力等參數(shù)對內(nèi)彈道性能的影響。

綜上所述,蒙特卡洛方法解決了在實際中不可能在相同條件下做大量試驗的突出問題,是深入系統(tǒng)了解問題分布的有效方法。因此,為了精確設(shè)計身管強度、彈體強度和精確分析引信解除保險性能,在考慮藥厚、火藥力、藥量、藥室容積和彈丸質(zhì)量隨機性基礎(chǔ)上,應(yīng)用蒙特卡洛方法和無后坐炮經(jīng)典內(nèi)彈道模型,隨機模擬了不同隨機因素對彈道性能的影響。本文在不同溫度下同時考慮藥厚、火藥力、藥量、藥室容積和彈丸質(zhì)量隨機性,得到了上述初始參量隨機影響因素下的某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線包絡(luò)線,該解算結(jié)果能較好地反映出膛內(nèi)射擊過程的變化規(guī)律,可用于精細設(shè)計身管強度、彈體強度和精確分析引信解除保險性能。

1 隨機模擬方法與無后坐炮內(nèi)彈道

1.1 隨機模擬方法與無后坐炮內(nèi)彈道的特點

隨機模擬方法又稱蒙特卡羅(Monte Carlo)方法,是一種通過設(shè)定隨機過程,反復(fù)生成時間序列,計算參數(shù)估計量或統(tǒng)計量,進而研究其分布特征的方法。其詳細定義見文獻[6-7]。

與一般火炮相比,無后坐炮在射擊過程中有大量火藥氣體從噴管中流出。因氣體流出影響的內(nèi)彈道性能參數(shù)分別有流量qm、總量Qm和推力F。在一維等熵條件下,有:

(1)

(2)

F=CFSjp

(3)

無后坐炮內(nèi)彈道方程組由1個代數(shù)方程和6個一階微分方程組成。在此只需得到膛壓曲線,因此方程組中關(guān)于速度的方程可不予考慮。并且一般情況下,該方程組不存在解析解,因此,通常采用數(shù)值方法求解。

為了便于Matlab軟件編制,將其化為無量綱的微分方程組形式,具體形式詳見文獻[8]。對其采用Matlab軟件自身提供的求常微分方程數(shù)值解的四階、五階的ode45函數(shù)求解。

1.2 仿真可信性說明

根據(jù)文獻[9]提供的1965年式82 mm無后坐炮的內(nèi)彈道初始數(shù)據(jù),利用編寫好的程序?qū)ζ鋬?nèi)彈道進行仿真,結(jié)果如表1所示,表中,l為彈丸行程,p為膛壓,ε為仿真結(jié)果與文獻[9]中結(jié)果之間的相對誤差。

表1 常溫下(15 ℃)1965式82 mm無后坐炮身管內(nèi)彈道仿真結(jié)果

由表1可知,上述內(nèi)彈道膛壓解算結(jié)果與文獻[9]計算得到的內(nèi)彈道膛壓結(jié)算結(jié)果相對誤差很小,因此本文所用的內(nèi)彈道仿真模型、軟件和解算結(jié)果是可信的。

2 內(nèi)彈道膛壓隨機模擬

2.1 彈質(zhì)量隨機模擬

首先假設(shè)無后坐炮藥室容積、發(fā)射藥藥量、發(fā)射藥藥厚和發(fā)射藥火藥力恒定不變,環(huán)境溫度即藥溫為常溫(15 ℃)。根據(jù)文獻[10],彈質(zhì)量隨機變化,服從正態(tài)分布。由文獻[11],1個計算組內(nèi)不同彈質(zhì)量偏差一般不超過1個彈質(zhì)量分級符號。根據(jù)文獻[12],一般榴彈的彈質(zhì)量符號在4個以內(nèi),故在此取4個適中符號,其中彈質(zhì)量符號和適中符號的具體定義見文獻[12];中間誤差[13]Em代表隨機變量出現(xiàn)在均值左右Em范圍內(nèi)的概率為50%,在均值左右4Em范圍內(nèi)隨機變量出現(xiàn)的概率近似為1;由此即可估算出彈丸質(zhì)量分布的標準差σmp=0.009 884mp,其中,mp為彈丸質(zhì)量。

由Monte-Carlo方法產(chǎn)生5個彈質(zhì)量隨機值,然后循環(huán)模擬內(nèi)彈道過程5次,得到的膛壓曲線如圖1所示。

圖1 隨機模擬彈質(zhì)量獲得的膛壓曲線

從圖1知,在5次隨機模擬后,圖示局部放大區(qū)域曲線有交叉,因此隨機模擬彈質(zhì)量所得到的膛壓曲線包絡(luò)線不是彈質(zhì)量中最大與最小所對應(yīng)的膛壓曲線。進一步由Monte-Carlo方法產(chǎn)生105個彈質(zhì)量隨機值,然后循環(huán)模擬內(nèi)彈道過程105次,通過比較某時間(某行程)對應(yīng)的壓力值,得到105條膛壓曲線的包絡(luò)線,如圖2所示。

圖2 隨機模擬彈質(zhì)量對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖2中,最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為0.775 3 MPa,炮口附近的膛壓跳動最大值為5.526 3 MPa。

2.2 發(fā)射藥藥厚隨機模擬

首先假設(shè)無后坐炮藥室容積、彈質(zhì)量、發(fā)射藥藥量和發(fā)射藥火藥力是恒定不變的,環(huán)境溫度即藥溫為常溫(15 ℃)。再假設(shè)發(fā)射藥藥厚隨機變化,服從正態(tài)分布。由文獻[14],全彈裝配時,所有尺寸均符合正態(tài)分布,其散布中心即為公差帶中心,散布范圍6σe即為公差帶寬度W。由于正態(tài)分布只有99.73%的取值在公差帶寬度W內(nèi),故要剔除在公差帶W之外的抽樣尺寸即不合格的尺寸。根據(jù)文獻[15],某無后坐炮發(fā)射藥藥厚制造公差帶寬度為0.16 mm,因此可估算出發(fā)射藥藥厚的標準差σe約為(0.16/6) mm=0.026 67 mm。

利用2.1的方法可知,隨機模擬藥厚所得到的膛壓曲線包絡(luò)線也并不是一組隨機發(fā)射藥藥厚數(shù)值中最大與最小所對應(yīng)的膛壓曲線。進一步由Monte-Carlo方法產(chǎn)生105個發(fā)射藥藥厚隨機值,然后循環(huán)模擬內(nèi)彈道過程105次,通過比較某時間(某行程)對應(yīng)的壓力值,得到105條膛壓曲線的包絡(luò)線,如圖3所示。

圖3 發(fā)射藥藥厚隨機值對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖3中,最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為5.247 3 MPa,炮口附近的膛壓跳動最大值為10.785 1 MPa。

2.3 發(fā)射藥藥量隨機模擬

首先假設(shè)無后坐炮藥室容積、彈質(zhì)量、發(fā)射藥藥厚和發(fā)射藥火藥力恒定不變,環(huán)境溫度即藥溫為常溫(15 ℃),發(fā)射藥藥量隨機變化,服從正態(tài)分布。全彈裝配時,100 mm和105 mm口徑彈的發(fā)射藥藥量公差為±(4～6)g,由天平精度保證,因此某無后坐炮的發(fā)射藥藥量公差估取為±(1～3) g,則發(fā)射藥藥量標準差σmw分別取為0.33 g,0.67 g,1 g。

利用2.1的方法可知,隨機模擬發(fā)射藥藥量所得到的膛壓曲線包絡(luò)線并不是一組隨機發(fā)射藥藥量中最大與最小所對應(yīng)的膛壓曲線。進一步由Monte-Carlo方法產(chǎn)生105個發(fā)射藥藥量隨機值,然后循環(huán)模擬內(nèi)彈道過程105次,通過比較某時間(某行程)對應(yīng)的壓力值,得到105條膛壓曲線的包絡(luò)線。發(fā)射藥藥量標準差為0.33 g,0.67 g,1 g,所對應(yīng)的包絡(luò)線如圖4～圖6所示。

圖4 發(fā)射藥藥量標準差σmw=0.33 g時隨機發(fā)射藥藥量對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖5 發(fā)射藥藥量標準差σmw=0.67 g時隨機發(fā)射藥藥量對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖6 發(fā)射藥藥量標準差σmw=1 g時隨機發(fā)射藥藥量對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

由圖4～圖6可知,最大膛壓附近的膛壓跳動最大值和炮口附近的膛壓跳動最大值,在σmw=0.33 g時分別為0.429 7 MPa,0.143 4 MPa;在σmw=0.67 g時分別為0.841 4 MPa,0.441 7 MPa;在σmw=1 g時分別為1.255 7 MPa,0.523 6 MPa。

2.4 發(fā)射藥火藥力隨機模擬

首先假設(shè)無后坐炮發(fā)射藥藥厚、彈質(zhì)量、發(fā)射藥藥量和藥室容積恒定不變,環(huán)境溫度即藥溫為常溫(15 ℃),發(fā)射藥火藥力隨機變化,服從正態(tài)分布。據(jù)靶場統(tǒng)計可知,一批發(fā)射藥的火藥力的變動范圍在±3%以內(nèi),因此可估計發(fā)射藥火藥力的標準差σf=1%。

利用2.1的方法可知,隨機模擬火藥力所得到的膛壓曲線包絡(luò)線并不是一組隨機火藥力中最大與最小所對應(yīng)的膛壓曲線。進一步由Monte-Carlo方法產(chǎn)生105個發(fā)射藥火藥力隨機值,然后循環(huán)模擬內(nèi)彈道過程105次,通過比較某時間(某行程)對應(yīng)的壓力值,得到105條膛壓曲線的最小輪廓和最大輪廓,如圖7所示。

圖7 隨機發(fā)射藥火藥力對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖7中,最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為4.490 6 MPa,炮口附近的膛壓跳動最大值為1.210 1 MPa。

2.5 藥室容積隨機模擬

2.5.1 藥室容積的制造誤差

首先假設(shè)無后坐炮發(fā)射藥藥厚、彈質(zhì)量、發(fā)射藥藥量和發(fā)射藥火藥力恒定不變,環(huán)境溫度即藥溫為常溫(15 ℃),藥室容積隨機變化,服從正態(tài)分布。無后坐炮藥室直徑和藥室長度制造公差帶寬度分別為0.36 mm和0.52 mm,2.2節(jié)已介紹全彈尺寸公差帶與尺寸標準差的關(guān)系,同理可估算出某無后坐炮藥室直徑和藥室長度的標準差分別約為0.06 mm和0.09 mm,因此可得到隨機的藥室容積。

利用2.1的方法可知,隨機模擬藥室容積所得到的膛壓曲線包絡(luò)線并不是一組隨機藥室容積值中最大與最小所對應(yīng)的膛壓曲線。利用文獻[1]的方法產(chǎn)生105個隨機藥室直徑值和隨機藥室長度值,然后由藥室容積的計算公式計算得到105個藥室容積隨機值,然后循環(huán)模擬內(nèi)彈道過程105次,通過比較某時間(某行程)對應(yīng)的壓力值,得到105條膛壓曲線的包絡(luò)線,如圖8所示。

圖8 隨機藥室容積對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖8中,最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為0.537 4 MPa,炮口附近的膛壓跳動最大值為0.413 7 MPa。制造公差控制良好,藥室容積的隨機變化對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響很小,可忽略不計。

2.5.2 藥室容積磨損

藥室容積變化包括藥室長度與藥室內(nèi)徑的變化,連續(xù)發(fā)射多發(fā)炮彈時,火藥氣體對內(nèi)膛不斷地燒蝕沖刷,使火炮的藥室容積不斷增大。根據(jù)文獻[8]給出的130 mm加農(nóng)炮內(nèi)徑磨損量與射彈數(shù)的變化關(guān)系以及藥室長度增長量與射彈數(shù)的變化關(guān)系,用回歸的方法可得內(nèi)徑磨損量Δd與射彈發(fā)數(shù)N的關(guān)系式以及藥室長度增長量ΔL與射彈發(fā)數(shù)N的關(guān)系式。

藥室長度增長量ΔL與射彈發(fā)數(shù)N的關(guān)系式:

ΔL=5.478×10-8N3-7.692×10-6N2+0.015 75N-0.174 8

(4)

內(nèi)徑磨損量Δd與射彈發(fā)數(shù)N的關(guān)系式:

Δd=1.936×10-9N3-6.171×10-6N2+0.010 3N+0.119 9

(5)

把回歸結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)繪成曲線,如圖9(a)和圖9(b)所示。從圖中可以看出:離散點與回歸曲線符合很好;此外由相關(guān)系數(shù)可知,圖9(a)的相關(guān)系數(shù)ra=0.999 8,圖9(b)的相關(guān)系數(shù)rb=0.999 1,即擬合曲線很接近真實情況。

圖9 藥室長度增長量、內(nèi)徑磨損量與射彈數(shù)關(guān)系回歸曲線

文獻[16]提到瑞典M3無后坐炮的設(shè)計壽命為500發(fā),但是美軍靶場測試中曾經(jīng)發(fā)射2 360發(fā)炮彈仍然完好。據(jù)此,將某無后坐炮的設(shè)計壽命取為1 000發(fā)?？筛鶕?jù)式(7)和式(8)計算出130 mm加農(nóng)炮在發(fā)射1 000發(fā)射彈后的內(nèi)徑磨損量Δd=5.43 mm和藥室長度增長量ΔL=62.66 mm。在沒有無后坐炮磨損量實驗數(shù)據(jù)的背景下,現(xiàn)假設(shè)在相同射擊炮彈數(shù)下,磨損量與最大膛壓成正比。因此,可得某無后坐炮的最大設(shè)計內(nèi)徑磨損量Δdmax=0.62 mm和最大設(shè)計藥室長度增長量ΔLmax=8.00 mm,進而由藥室容積計算公式得到最大設(shè)計藥室容積磨損量。由于在105次隨機模擬下,無后坐炮藥室容積已磨損到極限,因此,可取最大設(shè)計藥室磨損量下的藥室容積進行內(nèi)彈道隨機模擬。

2.6 分析與討論

綜上所述,發(fā)射藥藥厚的隨機變化對膛壓曲線分布區(qū)域的影響最大,且在整個內(nèi)彈道過程中影響整個身管的膛壓,其中最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為5.247 3 MPa;發(fā)射藥藥量的隨機變化對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響較小,且發(fā)射藥藥量的隨機變化影響整個內(nèi)彈道過程的膛壓,發(fā)射藥藥量標準差σmw=1 g時,其最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為1.255 7 MPa;隨機彈質(zhì)量對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響較小,且隨機彈質(zhì)量主要影響炮口附近壓力值,其最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為0.775 3 MPa;隨機發(fā)射藥火藥力對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響較小,發(fā)射藥火藥力的變化影響整個身管的膛壓,且對最大膛壓附近的影響相對較大,其最大膛壓附近的膛壓跳動最大值為4.490 6 MPa;隨機藥室容積(不考慮藥室使用磨損)的隨機變化對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響很小,可忽略不計,但是必須考慮在多次隨機模擬下藥室容積的擴張,此時應(yīng)取最大設(shè)計磨損量下的藥室容積進行解算。

3 不同溫度下4種裝填參量隨機模擬

由文獻[17]知,火炮在作戰(zhàn)條件下使用時,裝藥溫度受環(huán)境溫度影響很大。為了保證安全,在設(shè)計身管時,膛內(nèi)壓力必須考慮裝藥溫度的變化。目前,常用的溫度設(shè)定是:常溫為15 ℃,高溫為+50 ℃,低溫為-40 ℃。

設(shè)裝藥溫度為θ,裝藥溫度改變量Δθ=(θ-15) ℃。當θ=50 ℃時,Δθ=35 ℃;當θ=-40 ℃時,Δθ=-55 ℃。裝藥初溫變化,最大膛壓也要變化,其變化值為

式中:cθ為最大壓力修正系數(shù)。

初步計算時可以采用如下的關(guān)系式:硝化棉系火藥,cθ=0.002 7cθk;硝化甘油系火藥,cθ=0.003 5cθk。其中,cθk為壓力全沖量修正系數(shù),隨裝填密度Δ及最大壓力pc的不同而變化,查閱文獻[9]可得到系數(shù)cθk的值。

由此可計算出“溫度影響系數(shù)”:J=1+cθΔθ。

只要在第2節(jié)所提的內(nèi)彈道的燃速方程中乘以相對應(yīng)的“溫度影響系數(shù)”,就可得相對應(yīng)溫度下的膛壓曲線。

綜上所述,單個隨機因素對內(nèi)彈道膛壓曲線包絡(luò)線影響較大的有彈質(zhì)量 、藥量、火藥力和藥厚。

現(xiàn)取最大設(shè)計藥室磨損量下的藥室容積,并在高溫(50 ℃)、常溫(15 ℃)和低溫(-40 ℃)下,隨機模擬各影響因素,得到膛壓曲線包絡(luò)線。

根據(jù)文獻[1]可知,影響膛內(nèi)射擊過程的因素是一個多維的問題。為了簡單起見,假定藥溫為15 ℃,不考慮點火過程的隨機因素,考慮彈質(zhì)量、裝藥量(σmw=1 g)、發(fā)射藥藥厚和發(fā)射藥火藥力等4個裝填參量的隨機變化。

四維正態(tài)隨機變量(Y1Y2Y3Y4)的協(xié)方差矩陣為

(6)

式中:Kij=E[(Yi-μi)(Yj-μj)]。

(7)

記

則

Σ=CCT

(8)

由式(8)得:

(9)

隨機變量Y1,Y2,Y3,Y4分別代表彈質(zhì)量、發(fā)射藥火藥力、發(fā)射藥藥量和發(fā)射藥藥厚的隨機值。根據(jù)它們已知的分布可抽樣一組隨機值,帶入內(nèi)彈道方程組,得到一條膛壓曲線,如此循環(huán),可得大量內(nèi)彈道膛壓曲線,并得到其包絡(luò)線。

高溫、常溫和低溫下的解算結(jié)果如圖10～圖12所示。

圖10 高溫(50 ℃)下4種隨機因素對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖11 常溫(15℃)下4種隨機因素對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

圖12 低溫(-40 ℃)下4種隨機因素對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線分布區(qū)域的影響

由圖10～圖12可知,最大膛壓附近的膛壓跳動最大值和炮口附近的膛壓跳動最大值,在高溫時分別為14.088 8 MPa,6.352 6 MPa;在常溫時分別為7.749 8 MPa,10.832 2 MPa;在低溫時分別為5.660 3 MPa,2.614 7 MPa。

4 結(jié)論

在高溫(50 ℃)、常溫(15 ℃)和低溫(-40 ℃)下,考慮藥厚、火藥力、藥量和彈質(zhì)量4個隨機因素同時對某無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線輪廓的影響,隨機模擬各影響因素,得到膛壓曲線包絡(luò)線。在不同溫度下,4個隨機因素對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響都較大,且影響整個身管和內(nèi)彈道的膛壓分布,同時比單個隨機因素對無后坐炮內(nèi)彈道膛壓曲線的分布區(qū)域影響更為明顯,其中高溫、低溫和常溫下最大膛壓附近的膛壓跳動最大值分別為14.088 8 MPa,5.660 3 MPa,7.749 8 MPa。因此,高溫下膛壓曲線的上包絡(luò)線可用來對某無后坐炮身管和彈體進行強度校核,低溫下膛壓曲線的下包絡(luò)線可用來分析某無后坐炮引信的解除保險性能。

本文在考慮藥厚、火藥力、藥量和彈質(zhì)量的隨機性基礎(chǔ)上,應(yīng)用蒙特卡洛方法,結(jié)合無后坐炮內(nèi)彈道經(jīng)典模型,對不同隨機因素對彈道性能造成的影響進行了隨機模擬,計算結(jié)果能較好地反映出膛內(nèi)射擊過程的變化規(guī)律,并對某無后坐炮的系統(tǒng)設(shè)計有一定的指導(dǎo)意義。同時,在制造生產(chǎn)無后坐炮時,必須將發(fā)射藥和彈丸的制造誤差控制在令人滿意的范圍內(nèi),這樣某后坐炮的膛壓跳動會相對較小,有利于提高某無后坐炮的射擊精度和使用壽命。

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