關(guān)于焦點(diǎn)弦的一個(gè)重要結(jié)論分析

李中朝 李連國(guó)

摘 要?圓錐曲線內(nèi)容是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，而焦點(diǎn)弦又是圓錐曲線的重點(diǎn)。高中所學(xué)的圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的焦點(diǎn)弦有許多重要共同的性質(zhì)。本文介紹一個(gè)有關(guān)焦點(diǎn)弦的重要結(jié)論。

關(guān)鍵詞?焦點(diǎn)弦;圓錐曲線;結(jié)論

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）23-0233-01

圓錐曲線的焦點(diǎn)弦是指經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦，筆者在教學(xué)中歸納出與其有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論，有助于進(jìn)一步加深對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

結(jié)論一：已知點(diǎn)F是離心率為的圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的弦AB與C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，且且。（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí)，有;（2）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有。

證明：設(shè)直線是焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)A，B在直線上的射影分別為，點(diǎn)B在直線上的射影為M。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，，又因?yàn)?img alt="" height="20" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml2332＼wps45.png" width="86"/>，所以。

（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦AB時(shí)，如圖1，，所以。

圖1 ????圖2

（2）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），

如圖2，

，所以。

說明：結(jié)論一要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，且，下面我們研究一下情況。

當(dāng)A，B兩點(diǎn)互換時(shí)，此時(shí)，第一種情況的結(jié)論變?yōu)?img alt="" height="28" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml2332＼wps58.jpg" width="62"/>。

第二種情況的結(jié)論變?yōu)?img alt="" height="27" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml2332＼wps59.png" width="59"/>（形式上相當(dāng)于替代了結(jié)論一中的）。

于是，有了如下結(jié)論。

結(jié)論二：已知點(diǎn)F是離心率為的圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的弦AB與C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，且，且。（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí)，有;（2）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有。

結(jié)論二中的范圍擴(kuò)大了，擴(kuò)大到了，下面進(jìn)一步對(duì)范圍探討。

如果用向量來定義，設(shè)=（）時(shí)，結(jié)論二中的（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí)，結(jié)論依然成立，即

結(jié)論二中的（2）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。

結(jié)論變?yōu)?img alt="" height="33" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml2332＼wps77.png" width="72"/>（形式上相當(dāng)于用替代式子中得到）。

又考慮到為夾角變?yōu)?img alt="" height="16" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml2332＼wps81.png" width="10"/>為傾斜角。于是，有了如下結(jié)論。

結(jié)論三：已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線C，經(jīng)過其焦點(diǎn)F的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，直線AB的傾斜角為，=（），則曲線C的離心率e滿足等式：=

推論：圓錐曲線C焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，則=，證明省略。

例1：設(shè)橢圓（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線L的傾斜角為60°，，則橢圓C的離心率為________

解析：此題答案為

例2：過拋物線=2p（p>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則=__________

解析：由對(duì)稱性知，設(shè)=，由推論可得sin=，所以=。

由此可見，本文的結(jié)論在解決與圓錐曲線焦點(diǎn)弦相關(guān)的問題時(shí)還是非?？旖莸模央x心率，傾斜角（斜率），焦點(diǎn)分弦之比聯(lián)系起來了，是一個(gè)很有用的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]王鋒峰，戚有建.關(guān)于2013年山東卷理科壓軸題的思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（11）：122.