數(shù)學(xué)歸納法之我見

戰(zhàn)逸耕

【摘 要】數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有重要地位，它對中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大幫助，本文就在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過程中出現(xiàn)的困難及怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法，進(jìn)行了深入的剖析和講解，以幫助同學(xué)們更加科學(xué)的認(rèn)識和應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；命題；遞推

數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有重要地位，在一些數(shù)學(xué)命題的證明中是一種重要方法，對于很多呈現(xiàn)規(guī)律性的命題，一般都可以采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，很多同學(xué)經(jīng)常對數(shù)學(xué)歸納法存在一些疑惑：一方面是它的方法本質(zhì)不容易掌握，另一方面是歸納證明的步驟有時很難切入。一般用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題時，必須包括兩個基本程序：

第一：證明當(dāng)取第一個值時命題成立；

第二：假設(shè)當(dāng)取第個值時命題成立，證明當(dāng)取第個值時命題也成立。

這兩個步驟證明完畢，即可判定定此命題對成立。這里的第一步是論證命題的基礎(chǔ)；第二步是證明過程的核心，稱為歸納步驟，第二步是證明命題的正確性是否能否從特殊情況推廣到一般情況的依據(jù)。這兩個證明步驟相輔相成，密切相關(guān)。缺少哪一步都會使得證明不完整。如果只有基礎(chǔ)步驟而沒有歸納步驟，那就失去了一般性，從而使得論斷的普遍性是不可靠的相反，假如只有歸納的步驟而沒有基礎(chǔ)步驟，則使得歸納中的假設(shè)步驟就會失去了依據(jù)，也會使歸納步驟的證明失去意義，即使歸納步驟得到證明，證明的結(jié)果也失去了可靠的依據(jù)，所以還是不能證明原命題的正確正確性。剛接觸數(shù)學(xué)歸納法的同學(xué)對于證明的過程和步驟往往會缺少深刻的理解，只是照搬書中和老師所教的方法，在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，總感覺不知為何如此，只知其然不知其所以然，以為這種方法只是流于形式，證和不證好像沒什么不同，這種思想是進(jìn)一步學(xué)好其他數(shù)學(xué)知識的的絆腳石，同學(xué)們只有認(rèn)清原理，理解方法的本質(zhì)，才能學(xué)好用好數(shù)學(xué)歸納法，才能有信心學(xué)好其他數(shù)學(xué)知識。

下面我們深入分析同學(xué)們在學(xué)習(xí)中所產(chǎn)生的疑惑。一種疑惑是：對基礎(chǔ)步驟中只須證明時命題成立感到不可理解，認(rèn)為應(yīng)多證明幾個自然數(shù)，才會呈現(xiàn)規(guī)律性。這種想法反映了對基礎(chǔ)步驟的證明目的沒有本質(zhì)的理解。實(shí)際上，證明時命題成立，就說明命題有了遞推的基礎(chǔ)，待歸納步驟得證后，就可判定命題對一切自然數(shù)都成立另一種疑惑是：對歸納步驟中的歸納假設(shè)感到迷惑，認(rèn)為時命題的成立既然是假設(shè)的，那么即使證出時命題成立，似乎也沒有什么實(shí)際意義，產(chǎn)生這一疑惑大致有兩個原因：一是沒有把基礎(chǔ)步驟和歸納步驟結(jié)合起來考察；二是對歸納步驟的證明目的認(rèn)識模糊。我們先來分析一下，究竟是否允許假設(shè)當(dāng)時命題成立？解答這個問題的關(guān)鍵是明確的含義這里的是任意的，所有能夠使命題成立的自然數(shù)都可以作為而且，這樣的是存在的。由基礎(chǔ)步驟可知，當(dāng)時命題成立，所以至少自然數(shù)就是一個例子。由此可見，歸納假設(shè)初始的實(shí)際根據(jù)，在基礎(chǔ)步驟中是已經(jīng)證明了的。證明歸納步驟的目的，則在于確立遞推的根據(jù)，使命題得以按基礎(chǔ)步驟所提供的初始根據(jù)，逐個進(jìn)行遞推，從而得出命題對一切自然數(shù)都成立的結(jié)論。第三種疑惑是：既然歸納假設(shè)中的是任意的，那么將代以，馬上便可推得為任意自然數(shù)時命題成立了，為什么還要花那么多時間去證明歸納步驟呢？這種想法是由于對的任意性理解不正確而造成的。的任意性，只在作歸納假設(shè)時可以任意，既假設(shè)以后，在推導(dǎo)時命題成立的時候它便只能固定而不能在任意取值。事實(shí)上，和永遠(yuǎn)是兩個不同的自然數(shù)，是那些使命題成立的自然數(shù)集合（記作）中的任一個，而是的后繼數(shù)，所以從證到是必不可少的。

通過以上討論，我們可以進(jìn)一步體會到，用數(shù)學(xué)歸納法解題時，兩個步驟是缺一不可的。用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵，又在于合理應(yīng)用歸納假設(shè)因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。在我們所學(xué)習(xí)的內(nèi)容中，采用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題一般有兩種形式：一種是能直接運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的，證明這類問題時，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過適當(dāng)變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中是比較常見的，不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的這類命題解題時，一般可以考慮利用其它數(shù)學(xué)知識，建立某命題與所證明命題的聯(lián)系，間接得以證明。對于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，特別是在高考大題中的出現(xiàn)概率是比較高的。

上面我們對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了剖析，同學(xué)們可以結(jié)合實(shí)例，認(rèn)真體會數(shù)學(xué)歸納法的解題思路。數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種非常重要的方法，尤其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用是運(yùn)用很廣的，同時它也是近年來中學(xué)數(shù)學(xué)高考中的一個比較熱的考點(diǎn)，因此，進(jìn)一步的學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法，深刻理解其中的含義從而更加靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以對中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有很大的幫助，也可為我們提高成績打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué).數(shù)學(xué)[M].人民教育出版社，2007：92-97.