貝葉斯電流分解：利用單個傳感器感知家用電器電流

劉晶杰 聶 磊

(計算機體系結(jié)構(gòu)國家重點實驗室(中國科學(xué)院計算技術(shù)研究所) 北京 100190) (中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049) (liujingjie09@hotmail.com)

普適計算中一個重要的應(yīng)用場景是通過無處不在的傳感設(shè)備感知用戶在家庭中的用電行為[1].為了減少感知系統(tǒng)對用戶正常用電的影響，僅利用單個固定傳感器獲取到家庭中各個電器的用電行為是普適計算的一個研究熱點[2-12].在基于總電流的單點感知系統(tǒng)中[4-10]，電流分解是核心問題.

電流分解問題是給定多個電器的總電流波形和這些電器的運行狀態(tài)，估計各個電器各自的電流.對于電流分解問題，目前有2類方法：穩(wěn)態(tài)估計方法與線性分解方法.

1) 穩(wěn)態(tài)估計方法.此類方法基于Hart[4]提出的穩(wěn)態(tài)耗電假設(shè)，認為電器在特定的運行狀態(tài)下，其消耗的功率是在一個常數(shù)值附近變化.對于每個確定工作狀態(tài)的電器，可以通過一個穩(wěn)定電流波形對電器實際消耗的電流進行估計[5-6].對于非線性電器，也可以用電流波形在頻域上的均值估計實際的電流波形[7].此類方法的優(yōu)點是不需要復(fù)雜的計算，其分解結(jié)果的誤差由電器本身在此運行狀態(tài)下的電流變化幅度決定.對于同時工作的多個電器，穩(wěn)態(tài)方法獨立地對這些電器的電流進行估計，因此可以避免電器之間的相互影響.

2) 線性分解方法.此類方法利用物理模型約束或者是數(shù)據(jù)約束對各個電器的頻域中的電流向量進行線性降維，通過線性回歸將總電流分解到各個電器的低維表示中.物理模型約束和數(shù)據(jù)約束可以通過不同的方式得到，例如通過物理知識構(gòu)造諧波電流需要滿足的線性約束[8]、通過對電流波形的形態(tài)分析建立線性約束[9]、通過聚類分析將電器電流向量的變化范圍縮減至一維[10]、通過主成分分析方法將電器的電流限制在主成分構(gòu)成的低維空間[11].此類方法的優(yōu)點是使用的模型能夠有效地刻畫電流的變化情況，使其分解結(jié)果能夠反映總電流的實時變化.

這2類方法都能夠在一定條件下解決電流分解問題，但都各自存在一些問題.穩(wěn)態(tài)估計方法中給出的估計值僅依賴于電器的運行狀態(tài)，對于在給定運行狀態(tài)下電流波動較大的電器，其分解結(jié)果不能較為準確地反映電器電流的實時變化情況.線性分解方法一般不能無損降維，降維造成的誤差會對分解結(jié)果的精度造成影響；更重要的是，線性分解方法不能處理相似電器[11]，其適用范圍受到限制.

為了將2種方法的優(yōu)點結(jié)合起來，本文從貝葉斯統(tǒng)計的視角分析上述2類方法對電器行為的假設(shè)，建立了電流在低維空間中的位置向量先驗分布和噪音先驗分布.利用貝葉斯公式，本文將2個分布結(jié)合起來，并給出一種貝葉斯電流分解方法.此方法同時具備穩(wěn)態(tài)估計方法和線性分解方法2類方法的優(yōu)點，能夠取得較良好的分解結(jié)果，并在所有情況下，完成總電流的分解.

1 電流分解問題和2類基本方法

1.1 電流分解問題定義

家庭用電感知應(yīng)用中2類場景如圖1所示.圖1(a)中給出了使用多點傳感設(shè)備完成電器用電行為感知的示意圖，對于每個需要感知的電器，使用單獨的傳感器進行感知[12].圖1(b)中給出了單點傳感器完成電器用電行為感知的示意圖，傳感器僅在電路入口處接入家庭電路，只能得到整個家庭的總電流波形和電壓波形，需要通過一個計算過程得到每個電器的用電行為[3].對于每個獨立工作的電器，其在工作中產(chǎn)生的電流波形均是隨時間變化的波形，而其電壓波形與傳感器得到的電壓波形相同，因此，計算其用電行為的關(guān)鍵是確定其電流波形.

Fig. 1 Two typical scenarios for household electricity usage sensing圖1 家庭用電感知的2類典型場景

根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電流定律：在任何時刻，電流傳感器得到的多個電器的總電流的瞬時值是等于各個電器的電流瞬時值之和.電流分解問題就是要根據(jù)此關(guān)系以及電器的先驗知識計算各個電器的實際通過的電流波形.為了完成電流分解問題的形式化定義，首先對問題中的各個物理量進行形式化表述.

在家庭用電場景中，電壓是220V,頻率是50 Hz的正弦交流電，而通過電器的電流是對此電壓的響應(yīng).因此，在多數(shù)情況下，電流電壓波形中的主要頻域成分是50 Hz的整數(shù)倍頻率.通過傅里葉級數(shù)展開能夠?qū)⑷我怆娏麟妷翰ㄐ蜪(t)寫成：

(1)

其中，I(t)是時刻t的波形，f是交流電頻率，在中國是50 Hz，而n是每個周期中采樣點的數(shù)目.式(1)中的系數(shù)aj和bj是根據(jù)離散傅里葉變換得到的傅里葉系數(shù)的實部和虛部.根據(jù)式(1)可以知道對于任何一個頻率小于nf/2的電流電壓波形，都可以通過一個由系數(shù)aj和bj構(gòu)成的向量唯一表示.對于給定的電流波形I(t)，我們可以通過一個n維的列向量i進行表示，我們將i稱作一個電流向量：

i=[ij]n×1=[a1,a2,…,an /2,b1,b2,…,bn /2]T.

(2)

在圖1所示的電路中，由基爾霍夫節(jié)點電流定律可知，對任意時刻都有總電流等于各個子電流之和.所以有：

(3)

其中，m是總電流對應(yīng)的電器數(shù)目，Ia是總電流對應(yīng)的波形，Ik是第k個電器的電流對應(yīng)的波形.將式(1)和式(2)代入式(3)中可知總向量中所有元素都等于各個電器電流向量中對應(yīng)元素之和.用矩陣形式進行表述，有：

(4)

其中，En是一個n階的單位矩陣，ia是總電流向量，ik是第k個電器的電流向量.

電流分解問題就是要在給定的總電流向量ia以及各個電器的運行狀態(tài)時，利用式(4)給出的線性關(guān)系，估計各個電器的電流向量ik，并使得計算得到的m個電流向量與真實的電流向量之間的誤差盡可能小.

若每個電器的波形向量的取值范圍都是整個n維實數(shù)空間n，那么對應(yīng)式(4)中，給定一個總電流ia，存在無數(shù)多個解.無法通過對式(4)的求解直接計算各個電器的電流向量.

1.2 穩(wěn)態(tài)估計方法及其特點

因為式(4)給出的信息不足以完成對電器電流的估計，要求解電流分解問題首先需要對電器的耗電行為建立約束.一種廣泛使用的假設(shè)是在文獻[4]中提出的穩(wěn)態(tài)耗電假設(shè).當(dāng)電器處于特定工作狀態(tài)時，其上消耗的功率處在一個常數(shù)值附近.從該假設(shè)出發(fā)，可以導(dǎo)出特定工作狀態(tài)下的電器電流在每個周期中均是相同的波形，能夠使用平均電流波形估計實際電流波形.例如在文獻[5-6]中就直接將電器在各個工作狀態(tài)下的波形視作定值.對電流分解問題的求解過程就是直接用各個電器的電流向量的均值估計當(dāng)前的電流向量ik.我們將此類分解方法稱為穩(wěn)態(tài)估計方法.對第k個電器，此方法給出電流向量

ik=μk.

(5)

其中，μk是第k個電器的電流向量的均值.由此穩(wěn)態(tài)估計方法的關(guān)鍵是獲取每個電器的電流均值μk，通過預(yù)先的訓(xùn)練階段得到的訓(xùn)練集合能夠得到此向量.

顯然對于一次分解而言，式(5)得到的估計電流向量與真實電流向量可能存在較大差異，同時不保證多個電器的分解結(jié)果滿足式(4).但是對于多次電流分解，通過均值估計電流向量能夠保證平均誤差逼近于0，而標準誤差逼近于電器在當(dāng)前狀態(tài)下電流向量的標準差.

使用穩(wěn)態(tài)估計方法求解電流分解問題的優(yōu)點在于各個電器的分解結(jié)果的計算過程相互獨立，多次分解的標準誤差具有一個確定的期望，等于電器電流向量的標準差.無論家庭中同時工作的電器數(shù)目和種類如何變化，對于特定的一個電器，穩(wěn)態(tài)估計方法的計算結(jié)果始終是確定的，不會受其他電器的影響.而此類方法的缺點是在計算電器電流時完全沒有利用總電流的信息，僅依賴于電器的穩(wěn)態(tài)耗電假設(shè).對于電流向量的標準差較大的電器，此方法的計算結(jié)果的誤差隨之增加.

1.3 基于線性降維的電流分解方法及其特點

穩(wěn)態(tài)估計方法基于一種簡單的假設(shè)，對電流分解問題進行求解，在其求解過程中，總電流向量所包含的信息沒有任何使用.而考慮利用此信息則需要對電器的電流向量建立另外一套約束.文獻[13]中觀察變速電機類負載的諧波電流譜包絡(luò)特征，發(fā)現(xiàn)不同階諧波的譜包絡(luò)線之間存在線性關(guān)系.而文獻[8]針對變速驅(qū)動馬達的電源結(jié)構(gòu)的研究，在其基頻電流和諧波成分之間建立了一個近似線性的函數(shù)關(guān)系，在文獻[10]中假設(shè)家庭中存在多個電器類型，同類型電器的電流向量之和分布在整個諧波空間中的一條直線上，通過聚類方法得到直線方程.

上面3個工作都試圖通過簡單的數(shù)學(xué)模型對電器的電流變化規(guī)律進行抽象，其中的共同點是假定了不同頻率的諧波之間存在線性關(guān)系.假設(shè)這種相關(guān)性是加在第k個電器的電流向量ik上的一組線性約束.根據(jù)一般的線性約束的性質(zhì)，能夠?qū)k限制在一個維度為r的低維線性空間中.令ik的均值μk作為低維空間的原點，此線性空間中位置向量為ck的一個點對應(yīng)于電器的一個電流向量ik，兩者之間的關(guān)系可以表示為

ik=Φkck+μk.

(6)

其中，Φk是由r個基向量組成的n×r的矩陣，ck則是在低維空間中的位置向量.式(6)是對第k個電器的電流向量的線性降維方程，由電器上的物理模型約束或者數(shù)據(jù)約束構(gòu)造得到.在文獻[8-9]中，降維方程是通過對電器物理模型和波形特征進行分析得到此降維方程.而在文獻[10]中假定基矩陣是一個一維列向量，通過理論模型或者聚類方法可以得到此方程.而在我們之前一個工作中[11]，通過主成分分析(PCA)計算得到此方程.

將式(6)代入到式(4)中，能夠改寫基爾霍夫節(jié)點電流定律，得到：

(7)

其中，矩陣Φ是各個電器的基矩陣Φk拼接起來得到的一個系數(shù)矩陣，向量μ是各個電器的均值之和，而向量c由所有電器在低維空間的位置向量拼接而成.通過求解式(7)中表示的線性方程，能夠得到各個電器在低維空間中的位置向量，進而得到電流分解問題的解.我們將此類分解方法稱為線性分解方法.文獻[11]給出了普通最小二乘法求解式(7)的必要條件，即矩陣Φ列滿秩.當(dāng)條件滿足時，根據(jù)普通最小二乘法(OLS)計算能夠得到所有電器的位置向量：

c=(ΦTΦ)-1ΦT(ia-μ),

(8)

其中,向量c按照其電器劃分后能夠得到各個電器對應(yīng)的位置向量ck，分別代人式(6)，能夠得到各個電器的電流向量的估計值ck.文獻[11]中分析了此結(jié)果中的誤差情況，誤差由2個要素決定：矩陣Φ的狀態(tài)數(shù)和總電流中的噪音項.而此矩陣的狀態(tài)數(shù)由待分解電器的組合決定，而總電流中的噪音項不但包括測量誤差還包括在各個電器降維時引入的噪音.

線性分解方法的優(yōu)點在于有效利用了總電流向量中的信息以及電器的電流向量變化的特點，在大部分情況下能夠取得優(yōu)于穩(wěn)態(tài)估計方法的分解效果.其分解結(jié)果能夠有效的反映總電流的變化.而此方法的缺點也同樣明顯，即線性分解方法不是在任意情況下可用的.當(dāng)矩陣Φ不滿足列滿秩條件時，式(8)中的項(ΦTΦ)-1不存在，原方程存在無數(shù)個解.同時電器降維會引入額外噪音，在某些情況下，其分解結(jié)果中的誤差可能大于穩(wěn)態(tài)估計方法.

2 貝葉斯電流分解方法及其實現(xiàn)

第1節(jié)分別討論了電流分解問題和2類計算方法的形式化表示以及2種方法的優(yōu)缺點.從中我們發(fā)現(xiàn)2種方法具有一定的互補性：線性分解方法的精度容易受電器組合影響，相似電器會極大降低其分解精度.而穩(wěn)態(tài)估計方法能夠避免電器之間的相互影響，每個電器的估計結(jié)果中的誤差僅由電器本身決定；穩(wěn)態(tài)估計方法無法刻畫電器的電流變化信息，而線性分解方法的基本假設(shè)便是電器的電流向量在線性約束下發(fā)生變化.

我們希望能夠有效地將2種方法的優(yōu)點結(jié)合到一種統(tǒng)一的分解方法中，但是在上述2種方法中使用的基礎(chǔ)假設(shè)相互沖突：穩(wěn)態(tài)耗電假設(shè)要求電器的電流向量等于穩(wěn)定值，而線性降維的基礎(chǔ)是電流在線性空間中不斷變化.為了能夠在統(tǒng)一框架中調(diào)和二者的沖突，我們從貝葉斯統(tǒng)計的觀點進行討論.

2.1 貝葉斯電流分解方法

從統(tǒng)計的角度重新考慮電流分解問題，可以將整個過程看作一個隨機過程.每個電器相互獨立地在各自的低維空間中隨機產(chǎn)生電流向量，所有電器的電流向量可以用一個位置向量c表示.用于電流分解的總電流ia不但包括了根據(jù)式(7)得到的總電流，同時還包括一個隨機噪音ε.針對這個隨機過程，由貝葉斯定律可以得到：

(9)

其中，P(c)是電器產(chǎn)生位置向量c的先驗概率分布，此概率在電流分解開始前就已經(jīng)確定.P(ia|c)是一個條件概率分布，它是給定了所有電器的位置向量時，測量得到的總電流向量的概率分布.P(c|ia)是后驗概率分布，表示的是給定一個總電流向量時，各個電器的位置向量的概率分布.

結(jié)合式(9)分別討論穩(wěn)態(tài)估計方法和線性分解方法中的關(guān)鍵假設(shè)的統(tǒng)計意義.對于穩(wěn)態(tài)估計方法，其使用每個電器的電流向量的均值作為分解結(jié)果.根據(jù)穩(wěn)態(tài)耗電假設(shè)，可知在確定狀態(tài)下，電器的電流向量在均值附近浮動.我們可以將此假設(shè)描述為以均值為中心的正態(tài)分布.那么對于所有電器的位置向量的先驗分布可以寫作：

P(c)=N(μc,Ψ)，

(10)

其中，μc是所有電器的位置向量的均值.根據(jù)式(6)的描述可知，構(gòu)造電器低維空間時，其原點落在原空間中的電流均值上，每個電器在低維空間中的位置向量的均值為0，因此分布P(c)是一個0均值分布.矩陣Ψ是各個電器的低維坐標的協(xié)方差矩陣.各個電器獨立運行，任何2個不同電器的低維坐標之間是相互獨立的.而對于單個電器，若降維方法是通過PCA方法進行，得到的各個主成分之間統(tǒng)計無關(guān)，且每個主成分的方差不為0.因此各個電器的低維坐標的協(xié)方差矩陣Ψ是一個對角陣且對角線元素均大于0.

對于穩(wěn)態(tài)估計方法而言，其分解結(jié)果已經(jīng)在式(5)中給出，存在于原向量空間中.若將其代入式(6)中可知此分解方法估計電器的低維坐標恒為0，即：c=0.此結(jié)果是坐標先驗P(c)的協(xié)方差矩陣Ψ中所有元素為0時，后驗分布P(c|ia)中唯一的非0項的位置向量.

在對線性分解方法進行分析前，向式(7)中引入一個總電流向量上的噪音項ε.因為此噪音項是多個0均值的隨機變量之和，根據(jù)中心極限法則，不妨假定此噪音項服從0均值多維正態(tài)分布N(0,Θ).通過引入噪音的先驗分布，能夠?qū)⑹?7)所示的線性方差縮放成為P(c|ia)表示的條件分布.此時，總電流向量ia和各個電器低維坐標c之間的一個隨機關(guān)系：ia-μ-Φc=N(0,Θ).將此關(guān)系化簡為P(ia|c)的形式，有：

P(ia|c)=N(μ+Φc,Θ).

(11)

其中，矩陣Θ是噪音先驗分布的協(xié)方差矩陣，由多個相互獨立的噪音之和.其中測量引入的噪音通常可以視作一個時域上白噪音，因此在電流向量這樣一個頻域表示下各個維度方差相等且獨立，而每個電器因為降維引入的噪音均相互獨立且數(shù)目極多.為了簡化后續(xù)計算，可以近似假設(shè)此噪音的協(xié)方差矩陣Θ是一個對角矩陣且對角線元素均大于0.

對于線性分解方法而言，其分解結(jié)果在式(8)中給出，代入式(11)中可知，此結(jié)果是令分布P(ia|c)最大的電器電流向量.而矩陣Φ不滿足列滿秩時，對應(yīng)的在分布P(ia|c)中，使得概率最大的電流向量c有無數(shù)個，無法確定唯一解.

至此，我們將穩(wěn)態(tài)估計方法和線性分解方法的關(guān)鍵假設(shè)松弛為式(10)和式(11)所示的2個正態(tài)分布.利用貝葉斯公式可以將這2個分布融入到統(tǒng)一的計算框架中.將二者代入式(9)中，能夠得到后驗概率的分布.因為式(10)和式(11)所述的概率分布都是多維正態(tài)分布，所以后驗分布存在解析解，而且也是一個多維正態(tài)分布，有：

P(c|ia)=N(γ,Σ).

(12)

其中，后驗分布的均值γ和方差Σ分別為

Σ=(Ψ-1+ΦTΘ-1Φ)-1，

(13)

γ=ΣΦTΘ-1(ia-μ).

(14)

通過給出均值和方差，能夠唯一地確定一個后驗分布.而基于此后驗分布，我們可以在其中找到后驗概率最大的位置向量作為分解的結(jié)果.因為這是一個正態(tài)分布，所以最大后驗在均值γ處取得.最大后驗估計得到的位置向量代入式(6) 能夠得到各個電器在原始向量空間中的電流向量.

此分解方法的關(guān)鍵在于利用訓(xùn)練集構(gòu)造低維坐標的先驗分布以及總電流中噪音項的先驗分布.若使用主成分分析進行降維，那么前一個分布可以利用降維后的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)得到.而后一個分布由多個分布疊加得到，包括測量噪音的分布以及每個電器降維時舍棄的非主成分的噪音.測量噪音由測量方法確定，而每個電器的降維噪音可以通過用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)減去降維后能夠保留的數(shù)據(jù)得到.我們將此分解方法稱為貝葉斯電流分解(Bayesian current disaggregating, BCD)方法.

對于BCD方法，與線性分解方法類似，存在分解結(jié)果的必要條件是式(13)和式(14)計算過程中的求逆計算可行，其中關(guān)鍵是要求協(xié)方差矩陣Ψ和Θ以及矩陣之和Ψ-1+ΦTΘ-1Φ可逆.根據(jù)基本的線性代數(shù)知識可知，矩陣Ψ和Θ是一個對角矩陣且對角線元素均大于0，同時ΦTΘ-1Φ為半正定矩陣，顯然3個矩陣均可逆.對于BCD方法，在幾乎所有情況下都能夠?qū)傠娏鬟M行分解，不需要考慮類似文獻[11]中給出的滿秩條件.

Fig. 2 Current disaggregating problem and the relation between three computational methods圖2 電流分解問題及3種計算方法之間的聯(lián)系

將電流分解問題以及3類方法重新整理可以得到圖2，圖2中將電流分解問題描述成為其在線性降維后的等價表示，并給出3種方法分別得到的位置向量的解析表達式.從圖2中可以看到，BCD方法的解在特定條件下會退化成另外2個方法的結(jié)果之一.當(dāng)噪音先驗的協(xié)方差矩陣Θ中所有項均趨于0時，BCD方法會退化成線性分解方法.當(dāng)坐標先驗的協(xié)方差矩陣Ψ中所有項均趨于0時，BCD方法會退化成穩(wěn)態(tài)估計方法.而在一般情況下，BCD方法同時考慮了噪音先驗和坐標先驗，此方法得到的分解結(jié)果能夠結(jié)合之前2種方法的優(yōu)點.對于貝葉斯電流分解方法的分解效果的驗證將放在本文第3節(jié)中進行.

2.2 算法實現(xiàn)

BCD方法對總電流向量進行分解的核心公式是式(13)和式(14).而為了計算這2個公式，需要得到2個關(guān)鍵分布的值以及各個電器的低維空間基的矩陣表示.而在2.1節(jié)中，我們假定了2個分布的協(xié)方差矩陣均為對角矩陣，所以計算中可以用對角線元素的向量進行表示.為此，BCD算法分為2個階段：1)訓(xùn)練算法.用于從電器的訓(xùn)練集合中得到電器的低維空間表示以及其先驗分布的信息；2)分解算法.在給定總電流和電器集合的情況下，利用訓(xùn)練算法給出的信息，對總電流向量進行分解.

在給定第k個電器的訓(xùn)練算法中，其輸入是此電器的電流波形I和同步采集到的電壓波形V，而輸出則包括電器低維空間的基矩陣Φk，電流向量均值μk，電器的電流向量在各個低維基上的方差向量Ψk，以及此電器降維引入的噪音的協(xié)方差矩陣Θk.具體算法如下：

算法1. 訓(xùn)練算法.

輸入：I，V；

輸出：Φk，μk，Ψk，Θk.

① 對輸入電流電壓波形進行預(yù)處理.根據(jù)電壓波形的正向過零點將整個波形劃分到各個周期中.對于每個周期的電流電壓波形分別進行快速傅里葉變換，得到其對應(yīng)的電流向量和電壓向量.利用電壓向量中50 Hz成分的相位信息對電流向量的相位進行修正.最后將得到的多個電流向量ia組成一個電流矩陣T，其中每一個列向量對應(yīng)一個周期的電流波形.

② 主成分降維.首先對電流矩陣T計算電器的電流向量的均值μk，對電流矩陣T計算閾值為0.95的主成分，這些主成分的構(gòu)成基矩陣Φk.

④ 計算因為電器降維引入的噪音.利用步驟②③中得到的基矩陣Φk和位置矩陣C，可以得到降維引入的噪音矩陣R=T-μk-ΦkC.對于此矩陣中的列向量計算協(xié)方差矩陣能夠得到矩陣Θk.

在給定m個電器同時工作的場景下，分解算法的輸入是m個電器運行時產(chǎn)生的總電流波形I和同步采集到的電壓波形V,m個電器各自的基矩陣Φk、電流均值μk、位置向量的方差向量Ψk以及降維噪音協(xié)方差矩陣Θk以及測量噪音的協(xié)方差矩陣e.而其輸出是各個電器的電流波形Ik.具體算法如算法2：

Fig. 3 The data acquisition devices and the scenario圖3 電路信息的采集設(shè)備與采集場景

算法2. 分解算法.

輸入：I，V，e，Φk，μk，Ψk，Θk，對每個k∈[1,m]；

輸出：Ik.

① 對輸入電流電壓波形進行預(yù)處理.預(yù)處理方法與算法1中步驟①相同，得到電流矩陣T.

③ 計算所有電器的位置向量c.將步驟②中得到的信息代入式(13)，計算得到后驗分布的協(xié)方差矩陣，有：Σ=(Ψ-1+ΦTΘ-1Φ)-1.再利用式(14)，將第1步得到的電流矩陣T代入，能夠得到需要計算的位置向量c=ΣΦTΘ-1(ia-μ).

④ 計算電器的電流波形.將步驟③中得到的位置向量c按照其對應(yīng)的電器進行分解，得到各個電器的位置向量ck，代入式(6)能夠得到電器的電流向量ik.對于每一個電流向量，執(zhí)行與步驟①預(yù)處理過程相反的計算過程，能夠得到對應(yīng)周期中的波形，最后拼接起來可以得到各個電器的電流波形Ik.

3 實驗結(jié)果與分析

本節(jié)通過仿真實驗對貝葉斯電流分解算法進行驗證.因為電流分解問題對數(shù)據(jù)精度要求較高，本文并沒有構(gòu)建多個高精度傳感器對同時工作的多個電器進行采樣.而是分別對不同電器的電流波形進行采樣，利用采樣得到的真實數(shù)據(jù)構(gòu)造多個仿真場景對我們的方法進行評測.在這些場景中，我們根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電流定律將不同電器的真實電流疊加起來作為理論上的總電流.得到的總電流將作為分解方法的輸入，而分解結(jié)果將和原始電流進行比較，從而對分解效果進行評估.因為總電流是由真實電流直接疊加而成，所以算法2中輸入的測量噪音e的取值為0.

3.1 數(shù)據(jù)采集環(huán)境與被測電器

實驗中使用的數(shù)據(jù)均是來自實驗室環(huán)境下采集的由電器產(chǎn)生真實用電數(shù)據(jù).為了獲取到精確的電流數(shù)據(jù)，我們使用一個創(chuàng)研高科公司生產(chǎn)的ETRC030高精度鉗形漏電流傳感器作為電流傳感器安裝在電路的主電源斷路器附近的火線上(圖3中左上圖).而電壓的測量是使用擇明電子的ZMPT01B電壓互感器作為電壓傳感器(圖3中右下圖).而數(shù)據(jù)采集時，我們使用阿爾泰科技的12 b數(shù)據(jù)采集器USB2831完成數(shù)據(jù)采集工作(圖3中右上圖)，通過USB接口將數(shù)據(jù)存入電腦.實驗時采集數(shù)據(jù)的頻率為6 400 Hz，保證了在中國市電50 Hz的環(huán)境下，每個周期有128個采樣數(shù)據(jù).在本實驗中，我們選取了5個不同的電器，這5個電器的基本信息在表1中給出.其中平均功率信息能夠顯示出電器之間電流強度的差異.主成分的數(shù)目顯示了電器上受到的線性約束的強度.電流波形標準差給出的是各個電器電流波形與其均值波形的偏離程度，同時也能夠估計通過均值估計得到的分解誤差.圖4中給出了20 s中這些電器50 Hz電流分量的變化情況.

從圖4中，我們可以看到電器A1，A3，A5的電流峰值在多數(shù)時間中是處在一個穩(wěn)定值附近的，在少數(shù)時間會有較大變化； A2的電流峰值基本一直在162 mA附近小幅度震蕩；而A4的電流峰值在圖4中始終有較大的變化幅度.A5有最大的標準差是因為其電流的絕對強度最高.而標準差和均值的比例最高的是A4，這也與圖4中顯示出的趨勢一致.

Table1 The List of Five Appliances表1 實驗中使用的5個電器的基本信息

*The dimension of position vectors is 128.

Fig. 4 The curve of current amplitude versus time for five appliances圖4 5個被測電器在20 s內(nèi)電流峰值(50 Hz)隨時間變化情況

后續(xù)的實驗中，我們將整個分解得到的波形與真實波形比較得到的標準誤差作為分解方法的評價指標.在每個場景下，待分解的波形由4 000個周期的電流波形連接而成.作為參考，穩(wěn)態(tài)估計方法、線性分解方法的分解誤差將同BCD方法的分解誤差一起給出.所以對于每一個分解場景，我們均給出了會給出3個不同的誤差，分別來自穩(wěn)態(tài)估計方法(Mean)、線性分解方法(Linear)以及貝葉斯電流分解方法(BCD).

3.2 2個電器電流分解場景

首先對2個電器分解的仿真場景中的分解結(jié)果進行分析，表2中列出了5個電器兩兩組合的10種不同的分解場景下的分解結(jié)果.

表2中給出了2個電器場景中3種不同算法的分解結(jié)果.在給出的10個場景中，本文提出的BCD方法的分解結(jié)果都顯著優(yōu)于另外2種算法.以A3&5的情況為例進行討論，A5電冰箱固有的電流波形標準差是603 mA，而A3只有10 mA.在2個電器分解時，A5的波形上的劇烈波動，容易對A3的分解結(jié)果造成影響.線性法在此場景中得到的A3的誤差顯著大于穩(wěn)態(tài)法.而本文給出的BCD方法中，依靠位置向量先驗對分解結(jié)果的約束，A3受到A5的影響被限制到了一個可以接受的程度，BCD方法得到A3和A5的誤差均小于前2種分解方法.

Table 2 The Disaggregating Results for Two Appliances表2 2個電器場景中電流分解結(jié)果 mA

Fig. 5 The result comparison for a special case圖5 特殊情況下2種方法的結(jié)果比較

下面我們討論2個電器分解場景中的一個極端情況：我們選取了2個主成分數(shù)目超過總維度50%的電器，主成分數(shù)目分別為87和88.這2個電器受到線性約束較弱，降維后仍然不滿足文獻[11]提出的分解條件，線性法無法運行.在此情況下，通過穩(wěn)態(tài)法和BCD方法能夠給出分解結(jié)果.其結(jié)果在表3中列出：

Table 3 The Disaggregating Results for a Special Case

從表3中可以看到，在這一特場景下BCD方法的分解誤差比穩(wěn)態(tài)法小了30%.我們選取了此場景下離散的400個周期，給出其分解結(jié)果中的50 Hz的波形峰值構(gòu)成的曲線，如圖5所示：

從圖5中可以看到，穩(wěn)態(tài)法和BCD方法給出的結(jié)果都在真實值附近.而其中BCD方法的結(jié)果能夠反映電器波形的實時變化，而穩(wěn)態(tài)法僅是給出均值的估計.

3.3 3個電器電流分解場景

下面在3個電器同時工作的仿真場景中，對3種方法進行測試，我們將分解結(jié)果列在表4中.對于每一種方法，我們將3個電器的標準誤差的方均根值作為總體誤差放在表4中.

表4給出的實驗結(jié)果與2個電器的分解結(jié)果類似，在10種不同電器組成的場景下，本文提出的BCD方法給出的分解結(jié)果的標準誤差是最低的.

Table 4 The Disaggregating Results for Three Appliances表4 3個電器場景中電流分解結(jié)果 mA

3.4 更多電器分解場景

進一步展示本文給出的BCD方法與原有2類方法在更多電器的分解場景中的效果，表5中給出了4個電器和5個電器分解場景中3類方法的分解結(jié)果.與3個電器分解場景類似，我們在表5中列出了全部電器的分解結(jié)果的標準誤差的方均根值.在這些場景中，本文給出的BCD方法的分解結(jié)果仍然顯著地優(yōu)于原有2類方法.

Table 5 The Disaggregating Results for More Appliances表5 多電器場景中電流分解結(jié)果 mA

4 結(jié)束語

本文針對單點家庭用電感知場景的電流分解問題，提出了一種貝葉斯電流分解(BCD)方法.為了同時具備穩(wěn)態(tài)估計方法和線性分解方法的優(yōu)點，本文將無法同時滿足的2個假設(shè)同時進行松弛，得到2個先驗分布，并結(jié)合貝葉斯公式，將2個分布統(tǒng)一的放入一個計算方法中，通過最大化后驗概率的方法完成電流分解.

本文使用實驗環(huán)境下電器的真實用電數(shù)據(jù)構(gòu)造仿真實驗，對3種分解方法進行評測和比較.利用5個不同電器的用電數(shù)據(jù)，我們構(gòu)造了26個不同的仿真場景，每個場景下對4 000個周期的電流波形進行分解.在全部的場景中，BCD方法的分解結(jié)果均優(yōu)于線性分解方法和穩(wěn)態(tài)估計方法.相對于線性分解方法，在2電器分解場景下，總體誤差降低了2.5%～44.4%；在3電器分解場景下，總體誤差降低了11.5%～46.5%.而相比穩(wěn)態(tài)估計方法，在2電器分解場景下，總體誤差降低了73.5%～94.3%；在3電器分解場景下，總體誤差降低了71.3%～94.5%.而在本文構(gòu)造的一個極端情況中，線性分解方法無法運行，BCD方法的分解誤差比穩(wěn)態(tài)估計方法降低了30%.

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