基于NSCT的區(qū)域自適應(yīng)圖像插值算法

范清蘭 張?jiān)品?包芳勛 沈曉紅 姚勛祥

1(山東財(cái)經(jīng)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 濟(jì)南 250014) 2(山東省數(shù)字媒體技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 濟(jì)南 250014) 3(山東省高校經(jīng)濟(jì)運(yùn)行動(dòng)態(tài)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 濟(jì)南 250014) 4 (山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 濟(jì)南 250100) (fan_qinglan@163.com)

圖像插值是指將低分辨率(low resolution, LR)圖像通過(guò)某種算法處理獲得其對(duì)應(yīng)的高分辨率(high resolution, HR)圖像的一類圖像處理技術(shù).圖像插值一直以來(lái)都是圖像處理領(lǐng)域中的重要研究?jī)?nèi)容之一，在醫(yī)學(xué)、遙感、圖像識(shí)別、網(wǎng)絡(luò)傳輸、動(dòng)畫(huà)制作與合成等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.

目前，圖像插值仍然是國(guó)內(nèi)外學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，并且提出了許多高效的圖像插值算法.從插值思想的角度來(lái)看，插值算法大致可分為離散方法和連續(xù)方法2類.離散方法一般利用已知像素通過(guò)某種變換來(lái)直接確定插值點(diǎn)的像素值.在離散方法中，傳統(tǒng)的插值方法如最近鄰插值、雙線性插值比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，但重建后的圖像會(huì)產(chǎn)生模糊和失真現(xiàn)象.為了解決這些問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]提出了一種基于邊緣指導(dǎo)的插值(new edge-directed interpolation, NEDI)算法，基本思想是利用LR與HR協(xié)方差系數(shù)的幾何對(duì)偶性來(lái)確定插值函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)，從而求出未知點(diǎn)的像素值.此算法能夠有效地提高圖像的整體視覺(jué)效果，尤其在圖像的邊緣區(qū)域，但在處理紋理細(xì)節(jié)較多的區(qū)域時(shí)，會(huì)導(dǎo)致紋理扭曲、變形或產(chǎn)生噪點(diǎn).針對(duì)這一問(wèn)題，Wang等人[2]結(jié)合雙線性插值和NEDI方法提出了一種邊緣自適應(yīng)插值算法，在邊緣區(qū)域采用NEDI方法，其他區(qū)域使用雙線性插值.但這種算法得到的圖像在紋理細(xì)節(jié)保持方面效果不理想.與字典學(xué)習(xí)相結(jié)合，文獻(xiàn)[3]將非局部自回歸模型(nonlocal autoregressive modeling, NARM)嵌入稀疏表示模型提出了一種圖像插值算法.該算法可以有效降低樣本矩陣與稀疏表示字典的相關(guān)性，從而使得稀疏表示更加有效.雖然此算法取得了較好的視覺(jué)效果，但是時(shí)間復(fù)雜度較高.

與離散的插值方法相比，連續(xù)方法則需要構(gòu)造插值曲面，通過(guò)曲面確定插值點(diǎn)的數(shù)值，即把離散圖像采樣數(shù)據(jù)還原為連續(xù)的灰度曲面.早期的插值算法如雙三次插值、三次樣條插值等[4-5]因易于實(shí)現(xiàn)，得到廣泛應(yīng)用，但是獲得的圖像容易產(chǎn)生鋸齒、模糊等人工痕跡.為了解決這些問(wèn)題，基于小波變換的插值方法引起人們的關(guān)注，例如小波雙三次插值[6]、小波分形插值[7]等，盡管這些方法可以較好地消除模糊和失真現(xiàn)象，但重建后的圖像存在鋸齒現(xiàn)象.自然圖像具有非線性屬性，有理函數(shù)又是一種典型的非線性模型，因此，有理函數(shù)的插值模型能夠較好地刻畫(huà)圖像的非線性屬性.與理想核函數(shù)[8]接近的有理樣條插值函數(shù)[9-13]作為一種新的方法已被用于圖像處理中.文獻(xiàn)[14-16]以有理樣條插值函數(shù)為基礎(chǔ)，研究了圖像的放大和增強(qiáng)，取得了明顯的效果.Liu等人[15]構(gòu)造了一種有理函數(shù)的混合加權(quán)圖像插值模型，插值后的圖像能夠保持圖像原有的紋理.總的來(lái)說(shuō)，采用有理函數(shù)重構(gòu)出的圖像具有較好的視覺(jué)效果，不僅能有效保持圖像的細(xì)節(jié)信息，且時(shí)間復(fù)雜度較低.但是，一般的有理函數(shù)模型對(duì)圖像插值后，圖像邊緣區(qū)域容易出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象.

基于以上分析，可以看出在圖像插值研究中，既能有效保持圖像紋理細(xì)節(jié)又能使圖像邊緣區(qū)域不失真，且保證較低的時(shí)間復(fù)雜度，仍然是圖像插值技術(shù)的一個(gè)難題.

Fig. 1 Framework of the region adaptive image interpolation algorithm圖1 區(qū)域自適應(yīng)圖像插值算法框架

1 C2連續(xù)有理插值函數(shù)構(gòu)造

基于我們前期的研究工作[9-11]，本文構(gòu)造一種新的C2連續(xù)有理樣條插值函數(shù)模型.本節(jié)將介紹該模型的構(gòu)造過(guò)程及其性質(zhì).

首先，對(duì)每一個(gè)y=yj,j=1,2,…,m，創(chuàng)建x方向的插值曲線為

(1)

其中：

定義：

(2)

則式(1)定義的插值函數(shù)為在[a,b]區(qū)間內(nèi)C2連續(xù)，滿足:

在節(jié)點(diǎn)x1和xn，偏導(dǎo)數(shù)的值計(jì)算為

(3)

(4)

其中:

其中，βi,j>0.式(4)定義的插值函數(shù)Pi,j(x,y)稱作雙變量分段有理插值函數(shù)，滿足:

式(4)定義的有理插值函數(shù)Pi,j(x,y)可以表示為

(5)

其中:

其中，ar,s(θ,η)，br,s(θ,η)，cr,s(θ,η)，r=i,i+1；s=j,j+1被稱作插值函數(shù)的基函數(shù).

定理1給出了插值函數(shù)Pi,j(x,y)滿足C2連續(xù)的充分條件.其詳細(xì)證明見(jiàn)附錄A.

定理1. 如果變量x為等距節(jié)點(diǎn)，即hi=(b-a)/n,則對(duì)于插值函數(shù)Pi,j(x,y)，i=1,2,…,n-1;j=1,2,…,m-1.在整個(gè)插值區(qū)域[x1,xn;y1,yn]為C2連續(xù)的充分條件是：參數(shù)βi,j=βi,j+1.

本文提出的有理插值函數(shù)是對(duì)理想插值函數(shù)(被插函數(shù))的近似表達(dá)，定理2給出了插值函數(shù)Pi,j(x,y)的誤差估計(jì).

定理2. 設(shè)f(x,y)∈C2是被插函數(shù)(理想函數(shù))，Pi,j(x,y)為由式(4)定義的有理樣條插值函數(shù)，則不論αi,j和βi,j取得何正值，有:

其中:

我們構(gòu)造的有理插值函數(shù)可以很好地逼近被插函數(shù)，下面通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明逼近效果.

例1. 被插函數(shù)f(x,y)=cos(x2+y)，(x,y)∈[0, 0.8;0,0.8]，令hi=lj=0.2,xi=0.2(i-1),yj=0.2(j-1),i,j=1,2,3,4,5,αi,j=0.3+0.2i+0.1j,βi,j=0.6+0.1j.表1列出了插值數(shù)據(jù).在點(diǎn)(xi,yj)(i,j=1,2,3,4,5)處的局部偏導(dǎo)數(shù)di,j由式(2)(3)得出，并且有：

其中，j=2,3,…,m-1.

Table 1 Set of the Interpolating Data fi,j表1 插值數(shù)據(jù)fi,j

圖2給出了誤差曲面f(x,y)-P(x,y)，從圖2中可以看出，誤差范圍為[-8×10-3，6×10-3].

Fig. 2 Graph of surface cos(x2+y)-P(x,y)圖2 誤差曲面cos(x2+y)-P(x,y)

例2. 被插函數(shù)f(x,y)=ln(1+x2+y2)，(x,y)∈[0,0.4;0,0.4].圖3給出了誤差曲面f(x,y)-P(x,y)，從圖3中可以看出，誤差范圍為[-2×10-3，3×10-3].

Fig. 3 Graph of surface ln(1+x2+y2)-P(x,y)圖3 誤差曲面ln(1+x2+y2)-P(x,y)

例3. 被插函數(shù)f(x,y)=1/(1+x2+y2)，(x,y)∈[0,0.4;0,0.4].圖4給出了誤差曲面f(x,y)-P(x,y)，從圖4中可以看出，誤差范圍為[-6×10-3，6×10-3].

Fig. 4 Graph of surface 1/(1+x2+y2)-P(x,y)圖4 誤差曲面1/(1+x2+y2)-P(x,y)

算例說(shuō)明本文提出的有理插值函數(shù)模型應(yīng)用于圖像插值，其誤差分析可以保證插值圖像能夠很好地逼近原始圖像.

一般的有理函數(shù)模型圖像插值，在紋理區(qū)域和平滑區(qū)域保真度高，但是邊緣區(qū)域存在鋸齒現(xiàn)象.究其原因，有理函數(shù)模型的光滑性對(duì)圖像的插值效果有重要影響.為此，我們構(gòu)造了C2連續(xù)有理函數(shù)插值模型.該模型繼承了一般有理函數(shù)在紋理區(qū)域保真度高的優(yōu)點(diǎn)，在一定程度上又減少了插值圖像邊緣鋸齒的出現(xiàn).

2 本文算法

自然圖像具有非線性屬性，與多項(xiàng)式函數(shù)相比，有理函數(shù)作為一種典型的非線性模型，更適應(yīng)于圖像插值.因此，我們提出了C2連續(xù)有理函數(shù)插值模型，此模型對(duì)插值后的圖像細(xì)節(jié)保持方面有明顯的優(yōu)勢(shì)，但在處理圖像中的邊緣區(qū)域時(shí)，效果仍不夠理想.而NEDI算法在處理圖像的邊緣區(qū)域時(shí)，具有很好的視覺(jué)效果.基于此，利用NSCT捕獲到圖像的邊緣輪廓信息，將圖像劃分為邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域，提出一種符合區(qū)域特征的自適應(yīng)插值算法.1)圖像經(jīng)過(guò)NSCT，獲得高頻子帶信息，以此作為劃分邊緣區(qū)域與非邊緣區(qū)域的依據(jù);2)根據(jù)高頻子帶信息，計(jì)算出區(qū)域劃分閾值;3)基于圖像局部特征，不同區(qū)域采用不同插值模型.

2.1 基于NSCT的區(qū)域劃分

對(duì)于圖像插值問(wèn)題來(lái)說(shuō)，區(qū)域劃分是插值算法的關(guān)鍵步驟之一，區(qū)域劃分是否精確將直接影響圖像的插值質(zhì)量.基于此，我們利用NSCT能夠捕獲到圖像的邊緣輪廓信息及平移不變性的特性，將圖像劃分為邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域.閾值選取是區(qū)域劃分的關(guān)鍵，閾值選取的精確與否會(huì)直接影響區(qū)域的劃分，從而影響到圖像的插值效果.

2.1.1 非下采樣Contourlet變換

Contourlet變換(contourlet transform, CT)是Do等人[17]在2002年提出的一種有效表示圖像的方法，此方法可以很好地刻畫(huà)圖像的幾何結(jié)構(gòu).CT具有方向性、各向異性的特性，其主要原因是該變換采用的是類似于輪廓段的基結(jié)構(gòu)來(lái)逼近圖像，基的支撐區(qū)間是“長(zhǎng)條形”結(jié)構(gòu), 其長(zhǎng)寬比是隨尺度變化的.由于CT的基函數(shù)分布在多尺度多方向上，因此只需要少量Contourlet系數(shù)就能夠有效地獲取圖像的邊緣輪廓信息.換言之，CT對(duì)于圖像邊緣具有稀疏性表示.與之相比，二維小波變換基的支撐區(qū)間是正方形，因而缺乏方向性，且不具有各向異性.再者，正方形結(jié)構(gòu)在描述圖像邊緣時(shí)，采用不同大小的正方形對(duì)應(yīng)小波變換的多分辨率，在圖像分辨率較高的情況下，小波變換就變成用點(diǎn)來(lái)捕獲圖像的邊緣輪廓信息，難以做到對(duì)圖像邊緣的稀疏性表示.圖5給出了Wavelet和Contourlet逼近圖像邊緣輪廓的示意圖.但是，CT存在下采樣過(guò)程，這使得圖像經(jīng)過(guò)CT分解后不具有平移不變性，容易出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象.

Fig. 5 Wavelet versus Contourlet圖5 Wavelet和Contourlet逼近圖像邊緣輪廓示意

Fig. 6 Nonsubsampled contourlet transform圖6 非下采樣Contourlet變換示意圖

圖像經(jīng)過(guò)NSCT后，能夠檢測(cè)到圖像的邊界信息，因此本文將NSCT作為圖像劃分區(qū)域的依據(jù)，具體方法是：圖像經(jīng)過(guò)NSCT獲得各個(gè)方向的高頻信息，其系數(shù)反映的是圖像的邊界輪廓等細(xì)節(jié)信息，圖像的邊界越清晰，對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值越大，且NSCT具有平移不變性，因此，可通過(guò)選取合理的閾值將圖像自適應(yīng)的劃分為邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域.

2.1.2 自適應(yīng)閾值選取

利用NSCT高頻系數(shù)與圖像邊界信息對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們引入一種新的閾值選取方法，從而自適應(yīng)地將圖像劃分為邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域.

對(duì)于一般的自然圖像來(lái)說(shuō)，大部分區(qū)域是非邊緣區(qū)域(紋理區(qū)域和平滑區(qū)域)，邊緣區(qū)域只占小部分.從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析發(fā)現(xiàn)，高頻子帶系數(shù)近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布概率密度函數(shù)為

其中，μ是均值，σ是方差，曲線分布如圖7所示.以Lena，Barbara，Rail圖像一個(gè)方向的高頻信息為例，

直方圖分布情況如圖8所示，從圖8中可以看出，系數(shù)近似服從正態(tài)分布.我們采用K-S檢驗(yàn)[22]來(lái)檢驗(yàn)高頻子帶系數(shù)服從正態(tài)分布的置信度，經(jīng)檢驗(yàn)得置信度高于95%，因此，可將高頻子帶系數(shù)視為服從正態(tài)分布.

Fig. 7 Normal distribution curve圖7 正態(tài)分布曲線圖

Fig. 8 Test image and high frequency sub-band coefficient histogram圖8 測(cè)試圖像及其高頻子帶系數(shù)直方圖

由NSCT的性質(zhì)可知，圖像的邊界越清晰對(duì)應(yīng)的系數(shù)絕對(duì)值越大.基于以上分析，我們的目標(biāo)是選取合理的閾值將圖8中紅框標(biāo)注的系數(shù)檢測(cè)出來(lái).根據(jù)正態(tài)分布曲線特征，選取拐點(diǎn)μ+σ作為閾值.基于此，圖像經(jīng)過(guò)NSCT后獲得多個(gè)方向的高頻信息(本文選取4個(gè)方向)，如果系數(shù)的絕對(duì)值大于相應(yīng)方向的閾值則對(duì)應(yīng)圖像的邊緣區(qū)域.

我們提出的閾值計(jì)算方法，可有效地檢測(cè)到圖像的邊緣信息，如圖9所示.從而將圖像劃分為邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像分區(qū)域插值.

2.2 分區(qū)域插值

與傳統(tǒng)的利用NSCT將圖像變換到頻域進(jìn)行處理方式不同，我們利用NSCT檢測(cè)圖像的邊界信息，對(duì)圖像在空域進(jìn)行插值.通過(guò)以上步驟，整幅圖像被分成邊緣區(qū)域與非邊緣區(qū)域.在邊緣區(qū)域，采用NEDI算法；在非邊緣區(qū)域，則采用有理函數(shù)插值模型.NEDI算法在保持邊緣清晰度方面有明顯優(yōu)勢(shì)，C2連續(xù)有理函數(shù)插值模型能夠很好地保持圖像紋理細(xì)節(jié).

Fig. 10 Sketch map of C2 continuous rationalinterpolation model圖10 C2連續(xù)有理插值示意圖

2.2.1C2連續(xù)有理函數(shù)插值模型

對(duì)于非邊緣區(qū)域，插值模型為C2連續(xù)有理函數(shù)，構(gòu)造過(guò)程見(jiàn)第1節(jié).如圖10所示，4個(gè)黑點(diǎn)所圍成的區(qū)域定義為待插區(qū)域，星點(diǎn)是待插像素點(diǎn)，其余各點(diǎn)為插值點(diǎn)，一共12個(gè)點(diǎn)，該有理函數(shù)插值模型的基本思想是利用已知的12個(gè)像素點(diǎn)求出圖10中黑點(diǎn)所在面片的函數(shù)表達(dá)式，從而求出待插像素點(diǎn)的值.

插值效果如圖11(b)所示：

Fig. 11 The result of C2 continuous rational interpolation圖11 C2連續(xù)有理函數(shù)插值效果圖

2.2.2 NEDI模型

對(duì)于邊緣區(qū)域，插值模型為NEDI，NEDI算法的基本思想是根據(jù)幾何對(duì)偶性，用LR協(xié)方差估計(jì)HR協(xié)方差，調(diào)整插值系數(shù)對(duì)任意方向的邊緣進(jìn)行插值.如圖12所示，圓點(diǎn)為插值點(diǎn)，黑點(diǎn)為待插點(diǎn)，待插點(diǎn)的像素值是由周圍4個(gè)已知的像素點(diǎn)加權(quán)平均求得，其插值函數(shù)為

權(quán)重系數(shù)是由最小二乘法理論推導(dǎo)得出，即:

a=R-1r.

其中，R=(Rkl),0≤k,l≤3和r=(rk)(0≤k≤3)是HR局部協(xié)方差，根據(jù)幾何對(duì)偶性，可由LR協(xié)方差求出，從而求出權(quán)重系數(shù).

Fig. 12 Sketch map of NEDI圖12 NEDI示意圖

插值效果如圖13(b)所示.

Fig. 13 The result of NEDI圖13 NEDI插值效果圖

本文算法充分利用了有理函數(shù)插值模型和NEDI算法的優(yōu)勢(shì)，取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

把高分辨率圖像經(jīng)過(guò)下采樣得到對(duì)應(yīng)的低分辨率圖像，下采樣方法為隔行隔列下采樣.圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)時(shí)，將下采樣后的圖像插值恢復(fù)成原圖像大小，然后將其與原圖像比較.我們選取了8張圖像作為測(cè)試圖像，如圖14所示.比較的算法均是被諸多文獻(xiàn)引用且比較過(guò)的算法：NEDI[1]，DFDF[23]，RSAI[24]，NARM[3]，Lee’s[25].其中，NARM是目前插值效果比較好的算法.除此之外，也同在頻域插值效果作了對(duì)比，其頻域插值(frequency domain interpolation, FDI)方法是圖像經(jīng)過(guò)NSCT后得到一個(gè)低頻信息和4個(gè)方向的高頻信息.對(duì)低頻信息采用有理函數(shù)插值模型插值；對(duì)高頻信息，用相同的閾值計(jì)算方法，自適應(yīng)的選取NEDI和有理函數(shù)插值模型2種方法插值.最后，通過(guò)逆變換獲得目標(biāo)圖像.

本文主要從客觀數(shù)據(jù)、視覺(jué)效果以及時(shí)間復(fù)雜度3個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)本文算法的插值效果.

表2給出了不同插值算法的客觀評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，每一行數(shù)據(jù)從上到下分別是峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性(structural similarity index, SSIM).PSNR是對(duì)圖像平均的質(zhì)量評(píng)價(jià), SSIM是一種基于視覺(jué)感知的質(zhì)量評(píng)價(jià)方法，也廣泛應(yīng)用在圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)中.從表2可以看出，相對(duì)于比較算法，本文提出的算法擁有最高平均PSNR和SSIM值，具有較大的優(yōu)勢(shì).

Table 2 PSNR and SSIM Results of the Reconstructed HR Images表2 不同插值算法PSNR和SSIM值對(duì)比

Note: Bold type is used for maximum values.

Fig.15 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 15 Texture-regional results of Girl圖15 不同算法紋理區(qū)域Girl對(duì)比圖

圖15到圖18來(lái)自于圖14中矩形框標(biāo)注的部分，比較了Girl，Barbara，Rail圖像局部細(xì)節(jié)插值重建效果.圖16顯示了圖像邊緣區(qū)域插值效果，其余各圖顯示了圖像紋理細(xì)節(jié)區(qū)域的插值效果.從圖16中可以看出，RSAI算法和FDI算法在圖像的邊緣區(qū)域出現(xiàn)了嚴(yán)重的鋸齒現(xiàn)象，DFDF算法也出現(xiàn)了鋸齒現(xiàn)象，其余各算法在邊緣區(qū)域的插值效果相當(dāng), 都有效地抑制了鋸齒現(xiàn)象, 有較好的主觀視覺(jué)效果.對(duì)于圖15，從對(duì)頭發(fā)、毛衣等細(xì)節(jié)紋理區(qū)域的刻畫(huà)效果來(lái)看，本文算法插值效果優(yōu)于其他各算法.圖17是Barbara圖像局部重建效果比較，從圖17中可以看到，NEDI算法產(chǎn)生了嚴(yán)重的噪聲點(diǎn)，DFDF算法已經(jīng)使圖像的細(xì)節(jié)信息丟失，RSAI算法使圖像上的紋理發(fā)生扭曲變形，Lee’s算法出現(xiàn)了斑點(diǎn)噪聲，F(xiàn)DI算法出現(xiàn)了邊界模糊現(xiàn)象，本文算法與NARM算法視覺(jué)效果難分伯仲，但本文算法客觀質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)值要好.圖18是Rail圖像局部重建效果比較，從圖18中可以看到，NEDI 算法得到的圖像出現(xiàn)了斑點(diǎn)噪聲以及邊緣失真, DFDF 算法和FDI算法出現(xiàn)了邊界模糊現(xiàn)象，RSAI 算法和Lee’s算法產(chǎn)生了一些不連續(xù)的條紋, NARM算法與本文算法的插值效果最好.綜上所述，標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像的實(shí)驗(yàn)表明，本文算法與其他算法相比優(yōu)勢(shì)明顯，尤其是在包含紋理區(qū)域的高頻部分.

Fig.16 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 16 Edge-regional results of Girl圖16 不同算法邊緣區(qū)域Girl對(duì)比圖

Fig.17 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 17 Regional results of Barbara圖17 不同算法局部Barbara對(duì)比圖

Fig.18 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 18 Regional results of Rail圖18 不同算法局部Rail對(duì)比圖

在實(shí)際的應(yīng)用中，不僅要求獲得好的圖像質(zhì)量，同時(shí)，圖像的處理速度也是非常重要的，NARM算法與本文算法得到的插值效果相當(dāng)，但時(shí)間復(fù)雜度遠(yuǎn)大于本文算法，如表3所示，這在實(shí)際應(yīng)用中是非常不便的.NEDI和DFDF算法的時(shí)間復(fù)雜度與本文算法相當(dāng)，但其插值效果整體上不如本文算法.本文算法不僅可以獲得主客觀都滿意的插值效果，且時(shí)間復(fù)雜度較低(其實(shí)驗(yàn)環(huán)境為 Matlab2010 b、處理器為i3處理器、內(nèi)存為4 GB).

Table3RunningTimeComparisonofDifferentInterpolationAlgorithms

表3 不同插值算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比 s

基于以上分析，NEDI算法和Lee’s算法是基于邊緣指導(dǎo)的插值算法，此類方法可以保持圖像清晰的邊緣結(jié)構(gòu)，而在處理紋理細(xì)節(jié)較多的區(qū)域時(shí)，會(huì)導(dǎo)致紋理扭曲、變形或產(chǎn)生噪點(diǎn).DFDF算法可以獲得較高的客觀評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，但是視覺(jué)效果不理想，尤其在圖像的非邊緣區(qū)域容易出現(xiàn)細(xì)節(jié)信息丟失現(xiàn)象.RSAI算法在一定程度上保持了圖像的細(xì)節(jié)信息，而在圖像的邊緣區(qū)域容易產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象.FDI算法不會(huì)使圖像的紋理細(xì)節(jié)扭曲變形，但出現(xiàn)了邊界模糊現(xiàn)象.NARM算法將學(xué)習(xí)方法應(yīng)用到圖像插值，取得了較好的效果，但是該方法的時(shí)間復(fù)雜度高.相對(duì)于上述算法，在視覺(jué)效果上，本文算法保持了圖像原有的結(jié)構(gòu)信息，在客觀數(shù)據(jù)方面，PSNR平均提高了0.5～1.5 dB，且時(shí)間復(fù)雜度較低.本文的閾值選取方法是基于統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，因此閾值選取的精確性，還有進(jìn)一步提升空間.

4 結(jié) 論

本文構(gòu)造了一類新的C2連續(xù)有理函數(shù)插值模型，此模型可以有效保持圖像的細(xì)節(jié)信息，并且在一定程度上消除邊界鋸齒現(xiàn)象.為了既能保持圖像的細(xì)節(jié)信息，又具有清晰的邊緣結(jié)構(gòu)，我們提出一種基于NSCT的區(qū)域自適應(yīng)插值算法.該算法并非利用NSCT將圖像變換到頻域進(jìn)行處理的傳統(tǒng)模式，而是利用NSCT檢測(cè)圖像的邊界信息，通過(guò)其高頻信息的統(tǒng)計(jì)特性設(shè)定閾值，將圖像劃分為邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域，對(duì)不同的區(qū)域基于區(qū)域特征采用相應(yīng)的插值模型進(jìn)行圖像插值，進(jìn)而獲得目標(biāo)圖像.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，本文算法不僅具有較好的主觀、客觀效果，且時(shí)間復(fù)雜度較低.

[1] Li Xin, Orchard M T. New edge-directed interpolation[J]. IEEE Trans on image Processing, 2001, 10(10): 1521-1527

[2] Wang Xiaofeng, Ling Hefei. An edge-adaptive interpolation algorithm for super resolution reconstruction[C] //Proc of MINES-2010. Los Alamitos: IEEE Computer Society, 2010: 81-84

[3] Dong Weisheng, Zhang Lei, Lukac R, et al. Sparse representation based image interpolation with nonlocal autoregressive modeling[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2013, 22(4): 1382-1394

[4] Hou H, Andrew H. Cubic splines for image interpolation and digital filtering[J]. IEEE Trans on Acoustics, Speech and Signal and Processing, 1978, 26(6): 508-517

[5] Meijering E, Unser M. A note on cubic convolution interpolation[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2003, 12(4): 477-479

[6] Qu Youshan, Tian Weijian, Li Yingcai, et al. Improvement of the space resolution of the optical remote sensing image by the wavelet Bi-cubic interpolation[J]. Acta Photonica Sinica, 2004, 33(5): 601-604 (in Chinese)

(屈有山, 田維堅(jiān), 李英才, 等. 基于小波雙三次插值提高光學(xué)遙感圖像空間分辨的研究[J]. 光子學(xué)報(bào), 2004, 33(5): 601- 604)

[7] Zhang Chan, Tu Guofang, Liu Xiaozhou. Remote image processing using wavelet fractal interpolation[J]. Journal of Computer Research and Development, 2005, 42(2): 247-251 (in Chinese)

(張燦, 涂國(guó)防, 劉笑宙. 小波分形插值應(yīng)用于遙感圖像處理[J]. 計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展, 2005, 42(2): 247-251)

[8] Comes J, Velho L. Image Processing for Computer Graphics[M]. Berlin: Springer, 1997

[9] Zhang Yunfeng, Bao Fangxun, Zhang Caiming, et al. A weighted bivariate blending rational interpolation function and visualization control[J]. Journal of Computational Analysis and Applications, 2012, 14(1): 1303-1321

[10] Zhang Yunfeng, Bao Fangxun, Zhang Caiming, et al. Local shape control of a bivariate rational interpolating surface with mixing conditions[C] //Proc of the 8th Int Symp on Voronoi Diagrams in Science and Engineering. Los Alamitos: IEEE Computer Society, 2011: 200-205

[11] Sun Qinghua, Bao Fangxun, Zhang Yunfeng, et al. A bivariate rational interpolation based on scattered data on parallel lines[J]. Journal of Visual Communication and Image Representation, 2013, 24(1): 75-80

[12] Zhao Qianjin, Tan Jieqing. Block based Lagrange-Thiele-like blending rational interpolation[J]. Journal of Information & Computational Science, 2006, 3(1): 167-177

[13] Tan Jieqing, Zhao Qianjin, Successive newton-thiele’s rational Interpolation[J]. Journal of Information & Computational Science, 2005, 2(2): 295-301

[14] Zhang Yunfeng, Zhang Caiming, Liu Hui. Image noise removal based on image detail preserving[J]. ICIC Express Letters, 2010, 4(5): 1779-1784

[15] Liu Yifang, Zhang Yunfeng, Guo Qiang, et al. Image interpolation based on weighted and blended rational function [G] //LNCS 9009: Computer Vision - ACCV 2014 Workshops. Berlin: Springer, 2015: 78-88

[16] Hu Min, Tan Jieqing, Zhao Qianjin. Adaptive rational image interpolation based on local gradient features[J]. Journal of Information and Computational Science, 2007, 4(1): 59-67

[17] Do M N, Vetterli M. Contourlets: A directional multiresolution image representation[C] //Proc of Int Conf on Image Processing. Piscataway, NJ: IEEE, 2002: I-357-I-360

[18] Cunha A L, Zhou Jianping, Do M N. The nonsubsampled contourlet transform: theory, design, and application[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2006, 15(10): 3089-3101

[19] Zhao Gang, Zhang Kai, Shao Wei, et al. A study on NSCT based super-resolution reconstruction for infrared image[C] //Proc of 2013 IEEE Int Conf of IEEE Region 10 (TENCON 2013). Piscataway, NJ: IEEE, 2013: 1-5

[20] Bai Tangbo, Zhang Laibin, Duan Lixiang, et al. NSCT-based infrared image enhancement method for rotating machinery fault diagnosis[J]. IEEE Trans on Instrumen-tation and Measurement, 2016, 65(10): 2293-2301

[21] Zhou Yong, Wang Jin. Image denoising based on the symmetric normal inverse gaussian model and non-subsampled contourlet transform[J]. IET Image Processing, 2012, 6(8): 1136-1147

[22] Millard J, Kurz L. The Kolmogorov-Smirnov tests in signal detection[J]. IEEE Trans on Information Theory, 1967, 13(2): 341-342

[23] Zhang Lei, Wu Xiaolin. An edge-guided image interpolation algorithm via directional filtering and data fusion[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2006, 15(8): 2226-2238

[24] Hung K W, Siu W C. Robust soft-decision interpolation using weighted least square[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2012, 21(3): 1061-1069

[25] Lee S J, Kang M C, Uhm K H, et al. An edge-guided image interpolation method using Taylor series approximation[J]. IEEE Trans on Consumer Electronics, 2016, 62(2): 159-165

FanQinglan, born in 1992. Master candidate. Her main research interests include image/video processing, image interpolation.

ZhangYunfeng, born in 1977. PhD, professor, master supervisor. His main research interests include computer aided geometric design, digital image processing, computational geometry, function approxi-mation.

BaoFangxun, born in 1968. PhD, professor, master supervisor. His main research interests include function approximation, computation geometry, computer aided geometric design and compute.

ShenXiaohong, born in 1977. PhD, associate professor. Her main research interests include multiscale geometric analysis and image processing.

YaoXunxiang, born in 1988. Master. His main research interests include image/video processing, fractal interpolation.

附錄A. 插值函數(shù)Pi,j(x,y)滿足C2連續(xù)證明

通過(guò)第1節(jié)的分析可知，為了證明正文中式(4)定義的插值函數(shù)Pi,j(x,y)的連續(xù)性，對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)(i,j)，1≤i≤n-1,1≤j≤m-1，我們只需證明:

根據(jù)正文中式(4)可以得出：

因此，由正文中式(5)可以得到：

由正文中式(4)可以得出：

(A1)

證畢.