中學(xué)數(shù)學(xué)的目標(biāo)單元教學(xué)設(shè)計(jì)

高媛

傳統(tǒng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，知識(shí)的傳授非常清晰，單元與單元之間的邊界看上去也非常清晰，但教師的注意力往往集中在知識(shí)上，忽略思維方法和情感態(tài)度價(jià)值觀的培養(yǎng)。因此，在一個(gè)知識(shí)單元中，很難甚至不可能完成對(duì)學(xué)生的某種思維方法或某種態(tài)度的培養(yǎng)。本文所講的單元，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的相對(duì)完整的過(guò)程，是教學(xué)過(guò)程的質(zhì)的基本單位，也是衡量教師教學(xué)和教材駕馭能力的基本單位，是課程螺旋式上升的基本單位，也是課程設(shè)計(jì)的基本單位。

在近兩年的研究中，我們所設(shè)計(jì)的單元存在著不斷擴(kuò)大的三個(gè)層次：一節(jié)課內(nèi)的調(diào)整；章節(jié)內(nèi)的重組；跨越章的整合。針對(duì)每一個(gè)層次，我們都進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，并摸索出了一些在該層次內(nèi)進(jìn)行目標(biāo)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的方法。

一、課內(nèi)的調(diào)整

以“不等式的基本性質(zhì)”一課為例。這節(jié)課原本的設(shè)計(jì)思路是：先復(fù)習(xí)等式性質(zhì)，然后請(qǐng)學(xué)生類(lèi)比及猜想不等式的性質(zhì)，進(jìn)而借助數(shù)驗(yàn)證關(guān)于不等式性質(zhì)的猜想，得出性質(zhì)，再利用不等式的性質(zhì)解一些簡(jiǎn)單的不等式。經(jīng)思考與重新設(shè)計(jì)，我們讓學(xué)生先自己嘗試去解不等式，然后說(shuō)出自己為什么會(huì)認(rèn)為用這樣的步驟可以解不等式。這其實(shí)是引導(dǎo)學(xué)生覺(jué)察到自己是在類(lèi)比解方程的步驟、等式的性質(zhì)。其間，不要關(guān)注學(xué)生解的結(jié)果對(duì)錯(cuò)，而要關(guān)注解的過(guò)程。

在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生果然能夠直接解簡(jiǎn)單的不等式，而通過(guò)對(duì)解集對(duì)錯(cuò)的分析，最終自然地將問(wèn)題集中到算理上，即對(duì)不等式性質(zhì)的探討。其中，和等式性質(zhì)類(lèi)似的幾條自然不會(huì)有異議，矛盾最集中的就是“不等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向是否改變”這一問(wèn)題。學(xué)生在解釋自己的做法正確時(shí)用了多種思路，如枚舉、利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合地去看、分類(lèi)討論甚至用字母證明。這種充分的論證過(guò)程，讓學(xué)生印象更加深刻，難點(diǎn)的突破顯得很自然，證明中思想方法的使用更是超出教師預(yù)料。

這種設(shè)計(jì)最大的調(diào)整，是把教學(xué)過(guò)程“倒過(guò)來(lái)”，也就是將傳統(tǒng)的先講不等式的性質(zhì)、再解不等式的教學(xué)順序，調(diào)整為先解不等式，再?gòu)闹惺崂沓霾坏仁降男再|(zhì)。而這種調(diào)整的本質(zhì)，是以學(xué)生研究問(wèn)題、解決問(wèn)題以及對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的反思作為教學(xué)的基本線(xiàn)索。期間，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行研究，根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)組織教學(xué)，這種教學(xué)模型叫做“基于學(xué)生研究的數(shù)學(xué)教學(xué)”模型（見(jiàn)圖1）。

在“基于學(xué)生研究的數(shù)學(xué)教學(xué)”模型中，知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)部分包括兩個(gè)階段。

第一階段為解決具體問(wèn)題階段，即“做數(shù)學(xué)”?！白鰯?shù)學(xué)”就是學(xué)生憑借自己已有的基礎(chǔ)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，如解簡(jiǎn)單不等式、解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題等。這一階段需要放手讓學(xué)生去做，不規(guī)定方法，而是讓學(xué)生充分展示自己面對(duì)問(wèn)題時(shí)的各種想法，包括困難。

第二階段為反思階段，也就是讓學(xué)生對(duì)“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程進(jìn)行分析。例如，解不等式的過(guò)程運(yùn)用了哪些步驟，是怎么想到這些步驟的，覺(jué)得每個(gè)步驟可靠嗎，為什么，是否有其他的方法等。反思階段就是讓學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程中的智慧或者困難進(jìn)行展示，師生共同將“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)作為素材進(jìn)行分析，找到通性通法，概括為知識(shí)。

基于學(xué)生研究的教學(xué)模型重視“問(wèn)題解決”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，力求為學(xué)生設(shè)計(jì)具有吸引力、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，為學(xué)生提供通過(guò)自主解決問(wèn)題從而帶來(lái)更多思想方法的可能。由于解決問(wèn)題的過(guò)程會(huì)涉及更多的知識(shí)，特別是有可能會(huì)用到傳統(tǒng)的教學(xué)計(jì)劃中日后才要求掌握的知識(shí)，這就要求教師調(diào)整自己的教學(xué)設(shè)計(jì)單位，除了課時(shí)內(nèi)的調(diào)整，還需要將章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行重組，或者實(shí)施跨章節(jié)的整合。

二、章節(jié)內(nèi)容的重組

在“二次函數(shù)”單元的起始課，我們選擇的是非常常見(jiàn)的一道實(shí)際問(wèn)題：如圖2，用24米的籬笆靠墻（限寬10米）圍矩形菜地，中間用籬笆截成左、右兩部分，問(wèn)所圍菜地的最大面積為多少平方米？

不同的是，以往這一問(wèn)題是單元知識(shí)學(xué)習(xí)完后，在二次函數(shù)的應(yīng)用一節(jié)中出示，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題的解決幾乎用到二次函數(shù)的全部重要知識(shí)：配方法求最值，且最大值在頂點(diǎn)處不能取到的情況，學(xué)生容易不考慮x的取值范圍而出錯(cuò)，直接回答最值為48m2。但是我們?cè)诔鍪具@個(gè)問(wèn)題后，放手讓學(xué)生去解決。

學(xué)生果然有行動(dòng)、有想法，他們的方法很樸素，也出現(xiàn)了意料之中的錯(cuò)誤。方法1：選擇枚舉求解二元不定方程，發(fā)現(xiàn)取值具有對(duì)稱(chēng)性，得到48m2。方法2：通過(guò)列代數(shù)式，利用配方法也求得48m2。在驗(yàn)證答案時(shí)，有人想到了10m限寬，如果x=4m，則不能?chē)霾说亍?/p>

那么，到底菜地最大的面積是多少？用什么方法去求呢？通過(guò)對(duì)寫(xiě)在黑板上的x與S間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生逐漸意識(shí)到，自己正面對(duì)一個(gè)新的函數(shù)問(wèn)題。而函數(shù)問(wèn)題關(guān)注的是S隨著x在符合要求內(nèi)的變化而變化的關(guān)系，因此，首先要確定x的變化范圍，然后可以借助表格、圖像等方式刻畫(huà)變化關(guān)系，通過(guò)分析，得到了x最小取值為14/3，最大為140/3。通過(guò)分析數(shù)表、圖像和配方后的解析式，看到在x的取值范圍內(nèi)，S隨著x取值變大，于是，確定當(dāng)x=14/3時(shí)，面積達(dá)到最大140/3m2。

在對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程的反思中，拋去具體情境，聚焦到這里出現(xiàn)的新函數(shù)的特征，根據(jù)解析式特征命名為二次函數(shù)，分析二次函數(shù)的定義以及定義帶來(lái)的定義域的特點(diǎn)，從列表中，發(fā)現(xiàn)表格數(shù)據(jù)的對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出圖像后，同樣驗(yàn)證了其對(duì)稱(chēng)性的特點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)圖像有最高點(diǎn)，函數(shù)存在最值，進(jìn)而提出：是不是所有的二次函數(shù)的數(shù)值和圖像都有這種特征？為后面系統(tǒng)、細(xì)致的研究播下了問(wèn)題的種子。

從解決體現(xiàn)知識(shí)價(jià)值的實(shí)際問(wèn)題入手，由于問(wèn)題的解決可能需要較多的知識(shí)，甚至可能需要用到按照原有教學(xué)計(jì)劃還未曾學(xué)習(xí)的知識(shí)，這就需要擴(kuò)大教學(xué)設(shè)計(jì)單位?！岸魏瘮?shù)”單元就是一個(gè)典型。這一單元的起始課中的實(shí)際問(wèn)題的解決，實(shí)際上用到了這章的許多重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)，然而，考慮到學(xué)生一次函數(shù)、一元二次方程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生是可以面對(duì)這樣的問(wèn)題的。

在章節(jié)內(nèi)以問(wèn)題解決為線(xiàn)索開(kāi)展教學(xué)，帶來(lái)的是教學(xué)內(nèi)容的整合，教給學(xué)生的是知識(shí)結(jié)構(gòu)而不是一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)。這樣，知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程就會(huì)具有遷移性，而一些深層次問(wèn)題的思考、提出與解決，則進(jìn)一步要求跨越章、跨越年級(jí)的知識(shí)整合。

三、跨越章的整合

以“包裝盒的設(shè)計(jì)”一課為例，從具體知識(shí)的角度看，主要是“正方體的展開(kāi)圖”，而一般的教學(xué)也都是以“正方體的展開(kāi)圖”作為課題名稱(chēng)，教學(xué)的過(guò)程則是為學(xué)生提供正方體盒子，請(qǐng)學(xué)生剪開(kāi)、展平，得到各種形狀的展開(kāi)圖，再通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行演示、補(bǔ)充，得到所有的展開(kāi)圖，教給學(xué)生記憶的方法，然后進(jìn)行辨析練習(xí)。其中，用于教學(xué)的正方體盒子，經(jīng)常是教師提前根據(jù)圖紙糊出來(lái)的。

我們則采用了一種新的設(shè)計(jì)思路：請(qǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)圖紙，使之能夠折成一個(gè)正方體。這樣的設(shè)計(jì)思路，背后是我們?nèi)缦聨c(diǎn)考慮。

第一，揭示知識(shí)的實(shí)用價(jià)值。知識(shí)的價(jià)值在于解決問(wèn)題，特別是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。在現(xiàn)實(shí)中，正方體的展開(kāi)圖并非用于剪開(kāi)正方體盒子并將其展平，而是為了得到正方體的包裝盒的設(shè)計(jì)圖紙，因此，本節(jié)課先向?qū)W生展示一個(gè)精美包裝盒，提出“這個(gè)包裝盒是怎樣得到的”這一問(wèn)題，經(jīng)分析學(xué)生認(rèn)識(shí)到其中的關(guān)鍵是圖紙，接下來(lái)明確學(xué)生需要解決的問(wèn)題：還原設(shè)計(jì)師的設(shè)計(jì)過(guò)程，設(shè)計(jì)一個(gè)可以折成正方體的圖紙。

第二，展開(kāi)初中幾何核心問(wèn)題與概念的全景圖。一個(gè)班40名學(xué)生至少能設(shè)計(jì)出40張圖紙，但這些設(shè)計(jì)圖有很多是相同的，那么，在什么情況下是相同的？這就涉及幾何中的全等、相似概念，而判斷全等、相似的方法，則涉及旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)、平移等概念，所以，通過(guò)“我們到底設(shè)計(jì)出了多少個(gè)方案”的問(wèn)題的探討，學(xué)生思維深處的這些概念被激活，關(guān)于幾何研究的主要問(wèn)題的全景圖也在教師的引導(dǎo)下被打開(kāi)。

第三，體會(huì)研究幾何問(wèn)題的基本方法。40名學(xué)生未必能夠產(chǎn)生全部的正方體的展開(kāi)圖，而在將重復(fù)的方案拿出后，對(duì)余下的方案進(jìn)行認(rèn)識(shí)的最基本的步驟就是分類(lèi)。通過(guò)分類(lèi)，這些方案變得有了一定的關(guān)系、秩序和規(guī)律，新的問(wèn)題也自然涌現(xiàn)：是否我們找全了所有的設(shè)計(jì)方案？為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要借助分類(lèi)后的方案系統(tǒng)思考每種類(lèi)型是否還有其他可能。從簡(jiǎn)到繁，逐步走向完善。期間，又必須借助分析推理、空間想象、實(shí)驗(yàn)操作等方法。

這樣，“正方體的展開(kāi)圖”這一并非很重要的具體知識(shí)就成為了讓學(xué)生整體認(rèn)識(shí)幾何研究的對(duì)象、問(wèn)題、方法的載體，在初中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的其他諸如三角形、四邊形、圓等對(duì)象的學(xué)習(xí)中，這些問(wèn)題與方法將被反復(fù)應(yīng)用。學(xué)生在積累越來(lái)越多的幾何具體知識(shí)的同時(shí)，也會(huì)不斷深化對(duì)“幾何到底研究什么問(wèn)題、應(yīng)用什么研究方法”的認(rèn)識(shí)與理解。

（作者單位：北京市第十三中學(xué)分校；指導(dǎo)教師：北京教育學(xué)院頓繼安）

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