“多邊形的內(nèi)角和”教學的前思后想

◇朱學堯

最近聽了幾節(jié)“多邊形的內(nèi)角和”的課，其基本思路都是：先復習剛學過的三角形內(nèi)角和是多少度，以及是如何發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和是180度的；然后，出示四邊形、五邊形、六邊形等多邊形，并提出多邊形內(nèi)角和是多少度的問題，進而明確用探究三角形內(nèi)角和的方法求多邊形的內(nèi)角和不可行。在教師的引導下，提出用“分一分”的方法，并以四邊形為例，連接對角線，把四邊形分成兩個三角形，明確用這種方法來研究其他多邊形，最后填寫教材中的表格，發(fā)現(xiàn)多邊形的邊數(shù)與分成的三角形個數(shù)之間的關系，從而得出多邊形內(nèi)角和的計算公式。

筆者在聽課時發(fā)現(xiàn)，在分割三角形時，大部分學生不知如何來分，更不會填寫多邊形內(nèi)角和的算式。在組織教師研討時，我們把問題的視角聚焦在學生真問題和學生的疑點上。一是，學生真能想到把多邊形分成幾個三角形嗎？二是，可以怎樣分？為什么要這樣分？這樣就可以突破教材的“束縛”，讓探索活動成為發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的抓手。

教學片段：

師：前面我們學習了三角形內(nèi)角和，你知道三角形內(nèi)角和是多少度嗎？你們是怎樣研究的？

生：我們用的是“量”“折”“撕拼”的方法。

師：在研究問題的時候，把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，這是一種研究問題的視角和策略。

師：如果讓你研究四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和是多少度，你還會用上面的方法嗎？

生：不會的，因為多邊形邊多了，內(nèi)角就多了，量起來、拼起來都不方便。

師：是的，測量五邊形、六邊形等各個內(nèi)角是多少度，不同的同學可能會測量出不同的結果，這樣就不利于我們研究問題了。

師：要研究多邊形內(nèi)角和，你準備從幾邊形開始研究？為什么？

生：從四邊形入手比較簡單。

師：那你們覺得四邊形內(nèi)角和可能是多少度？為什么？

生：360°，長方形和正方形的內(nèi)角和都是360°。

師：如果不用90°×4的方法，你也能推斷出長方形的內(nèi)角和是360°嗎？

（課件呈現(xiàn)如圖1把長方形分成三角形的過程）

圖1

生：把長方形分成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是180°，兩個三角形的內(nèi)角和就是180°×2=360°。

師：憑什么說兩個三角形內(nèi)角的和就是這個長方形的內(nèi)角和呢？

（教師根據(jù)學生的發(fā)言，課件動態(tài)演示角的變化過程。師小結，把長方形分成兩個三角形，其目的是把長方形中的四個內(nèi)角轉(zhuǎn)變成兩個三角形的內(nèi)角）

師：還可以怎么分呢？

（學生遲疑。教師相機用課件呈現(xiàn)如下兩種分割方法。如圖2）

圖2

師：比較一下，上面三種方法不同點在哪里？

生：第一種是從頂點連接；第二種是從長方形內(nèi)部取一點，再連接長方形的各個頂點；第三種是在長方形的一條邊上取一點，再連接長方形的各個頂點。

師：第二種和第三種分割方法，為什么180°×4、180°×3 后要分別減去 360°和 180°？

生：因為 180°×4，會多出來一個周角；180°×3會多出來一個平角。

（教師根據(jù)學生發(fā)言，相機在圖上標出多出來的周角和平角）

師：通過上面三種分割方法，你覺得把長方形分成幾個三角形的目的是什么？在分割時要注意什么？

生：把長方形分成幾個三角形，這樣可以利用三角形內(nèi)角和來推出長方形的內(nèi)角和。

生：不管哪種方法，都要和長方形的頂點連接。

師：（相機出示圖3，八邊形分割方法）你覺得下面兩種分割方法，哪一種便于我們研究？

圖3

生：第一種，因為簡單，一眼就可以看出分成了幾個三角形。

師：在分割三角形時，你有沒有好的經(jīng)驗？

生：要固定一個頂點，有序地連接，這樣就不會重復。

生：分成的三角形個數(shù)越少越好。

師：我們就以上面的八邊形為例，用三種方法來分一分。

（教師根據(jù)學生發(fā)言相機進行演示）

師：小組內(nèi)四個同學的作業(yè)紙上，分別有一個四邊形、五邊形、六邊形和七邊形。請你們把自己作業(yè)紙上的多邊形，用三種方法分割成幾個三角形，并把計算多邊形內(nèi)角和的算式寫在作業(yè)紙上，然后，小組交流一下。

思考：

從學生的學來考慮，備課時我著眼于以下兩個問題：一是，學生是否知道把多邊形分割成幾個三角形？由于學生在研究三角形內(nèi)角和時，是通過“量一量”“折一折”“拼一拼”，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180°的，此節(jié)課，若教師提出類似“用什么方法來研究多邊形的內(nèi)角和是多少度”這一問題，估計大多數(shù)學生都會沿用上節(jié)課的方法。這樣既量不出準確的多邊形內(nèi)角和，也不容易發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關系。由此引出，怎樣讓學生順其自然地想到把多邊形分割成若干個三角形呢？我想到，讓學生借助已知的長方形內(nèi)角和的度數(shù)，來“逼出”分割的 方法。實際教學中，發(fā)現(xiàn)不少學生都能想到或認同把長方形分割成兩個三角形的方法。二是，是否僅按教材提供的分割方法來處理？教材提供的是以頂點連頂點的方式，把這個多邊形分成最少個數(shù)的三角形，這是基于學生好計算、易觀察和發(fā)現(xiàn)規(guī)律來考慮的。但是，基于“活動課”課型教學目標來考慮，我認為可以給學生提供更大的探索空間，讓學生體驗分割的方法不一樣，得出在計算多邊形內(nèi)角和的算式形式上也不一樣的原因。然后通過最后的比較，發(fā)現(xiàn)三種計算方法之間是有聯(lián)系的，是“殊途同歸”的?？紤]到學生在分割多邊形時會出現(xiàn)奇異的分法，于是，突出了分割方法上的對比和指導，讓學生“知其然，知其所以然，規(guī)避其不然”，為后面的自主探究環(huán)節(jié)提供了足夠的時間。