“推理”教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析

◇設(shè)計(jì)/劉 穎 評(píng)析/李鐵安

在小學(xué)階段，學(xué)生接觸的數(shù)學(xué)更多的是與計(jì)算和圖形有關(guān)的，推理在學(xué)生心中是不同于“常態(tài)”數(shù)學(xué)存在的。學(xué)生接觸的推理，關(guān)注的往往是結(jié)果。本課除了著重介紹假設(shè)推理法，還推出了推理問(wèn)題的多元解法。

一、教學(xué)流程

【環(huán)節(jié) 1】

問(wèn)題：什么是推理？

2.教師提問(wèn)：你能用推理的方法分析一下這樣算為什么不對(duì)嗎？引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)加數(shù)的大小、和的大小。（根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，所以

3.通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生感知推理：像剛才這樣，同學(xué)們不計(jì)算也能判斷這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤答案，就是用推理得出的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有推理，生活中也有推理。

【環(huán)節(jié) 2】

問(wèn)題：某學(xué)校舉行了一次推理比賽，在比賽中有這樣一道題。有三個(gè)盒子，其中只有一個(gè)盒子里放有獎(jiǎng)?wù)?，每個(gè)盒子上面都有一句話：（如圖1）

圖1

這三句話中只有一句是真話。你能推理出獎(jiǎng)?wù)略谀膫€(gè)盒子里嗎？

1.自主解決：同學(xué)們可以寫一寫、畫一畫，也可以跟同桌或在小組里交流，看有什么辦法能推理出結(jié)果。（教師巡視時(shí)，滲透假設(shè)推理，引導(dǎo)學(xué)生去假設(shè)）

2.引導(dǎo)探索：怎么能知道這個(gè)假設(shè)是否成立呢？根據(jù)什么判斷呢？（只有一句真話）。

3.全班交流：如何進(jìn)行假設(shè)？（可以假設(shè)獎(jiǎng)?wù)略诩缀欣?，然后根?jù)這個(gè)條件，分析盒子上的三句話是真還是假）

4.學(xué)生匯報(bào)：

（1）假設(shè)獎(jiǎng)?wù)略诩缀欣?，那么甲盒上的是假話，乙盒和丙盒上的都是真話。（教師追?wèn)：兩真一假，說(shuō)明什么呢）有兩句真話，與題中的“這三句話中只有一句是真話”矛盾，說(shuō)明該假設(shè)不成立，也就是說(shuō)，獎(jiǎng)?wù)虏辉诩缀欣?。（教師追?wèn)：接下來(lái)如何假設(shè)呢）

（2）繼續(xù)假設(shè)：假設(shè)獎(jiǎng)?wù)略谝液欣?，那么乙盒上的是假話，甲盒和丙盒上的是真話。有兩句是真話，說(shuō)明該假設(shè)也不成立，也就是說(shuō)，獎(jiǎng)?wù)虏辉谝液欣铩?/p>

5.要求學(xué)生獨(dú)立嘗試第三次假設(shè)：請(qǐng)同學(xué)們自己試一試，推一推，有了結(jié)果以后，可以和同桌交流，注意說(shuō)清楚自己的推理過(guò)程。

6.總結(jié)：剛才是怎么推理出來(lái)的？（先假設(shè)，然后判斷每句話的真假，最后看是否只有一句真話，判斷假設(shè)是否成立）

7.介紹假設(shè)推理：同學(xué)們，你們剛才用的這種推理方法在數(shù)學(xué)上就叫假設(shè)推理。推理中如果遇到幾種情況同時(shí)存在，先假設(shè)一個(gè)前提正確，以此為起點(diǎn)，如果推理出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立；再重新提出假設(shè)，直到找到符合要求的結(jié)論。

【環(huán)節(jié) 3】

問(wèn)題：假設(shè)推理是推理中很常見(jiàn)的一種方法，假設(shè)的情況也不盡相同，在這個(gè)問(wèn)題中，你還能想出其他的假設(shè)方法嗎？

1.引導(dǎo)學(xué)生思考：除了可以假設(shè)獎(jiǎng)?wù)碌奈恢?，還可以假設(shè)什么呢？

2.學(xué)生獨(dú)立思考后，小組交流，然后匯報(bào)：還可以假設(shè)哪句話是真話，因?yàn)檎嬖捴挥幸痪?。（教師追?wèn)：我們?cè)趺茨苤雷约旱募僭O(shè)對(duì)不對(duì)呢？根據(jù)什么判斷呢）只有一個(gè)盒子里放有獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

3.引導(dǎo)學(xué)生分析：如果甲盒上的是真話，那么乙盒和丙盒上的必定是假話。在這種情況下，獎(jiǎng)?wù)聲?huì)在什么地方呢？

4.請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)紙上寫一寫，推一推。

5.學(xué)生匯報(bào)。

（1）假設(shè)甲盒上的是真話，那么乙盒和丙盒上的一定是假話。乙盒上的是假話，說(shuō)明獎(jiǎng)?wù)略谝液欣?；丙盒上的是假話，說(shuō)明獎(jiǎng)?wù)略诒欣铩＿@樣獎(jiǎng)?wù)录仍谝液欣?，又在丙盒里，與題意矛盾。所以該假設(shè)不成立，也就是說(shuō)，甲盒上的是假話。

（2）假設(shè)乙盒上的是真話……

6.再次經(jīng)歷推理過(guò)程：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)紙上，獨(dú)立地用假設(shè)推理再一次推理獎(jiǎng)?wù)略谀睦?，力?zhēng)讓自己的推理過(guò)程完整，思路清晰。

【環(huán)節(jié) 4】

問(wèn)題：剛才，同學(xué)們?cè)谕坏李}中，從兩種不同的角度進(jìn)行假設(shè)，最后推理出獎(jiǎng)?wù)略诒欣?。我們解決同一個(gè)問(wèn)題，有時(shí)候會(huì)有很多不同的方法，對(duì)于這道題，你還有其他方法嗎？

1.引導(dǎo)提問(wèn)：在假設(shè)的過(guò)程中，可能產(chǎn)生矛盾。如果你仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)，就算不假設(shè)，題中也出現(xiàn)了矛盾，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)甲盒和乙盒上的話相互矛盾）

2.進(jìn)一步引導(dǎo)：雖然我們無(wú)法判斷誰(shuí)說(shuō)了真話，可是我們能不能找出誰(shuí)說(shuō)了假話呢？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)由于甲盒和乙盒上的話相互矛盾，所以這兩句話必定為一真一假，由于只有一句真話，所以丙盒上的必定為假話，所以獎(jiǎng)?wù)略诒欣铮?/p>

3.總結(jié)：推理是很特別的，可能沒(méi)有數(shù)字和圖形，也可能不需要運(yùn)用計(jì)算，而是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷，推導(dǎo)出一個(gè)未知的結(jié)論，這個(gè)思維過(guò)程就是推理。生活中有很多這樣的推理故事，有興趣的同學(xué)可以尋找這方面的書籍來(lái)看，老師也為你們準(zhǔn)備了幾個(gè)推理問(wèn)題（略），課后同學(xué)們可以研究一下。

【環(huán)節(jié) 5】

問(wèn)題：在某個(gè)城市中有一個(gè)理發(fā)師，他定了這樣的規(guī)則：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉”，那么，這個(gè)理發(fā)師究竟給不給自己刮臉呢？

1.學(xué)生思考后，獨(dú)立完成推理過(guò)程。

2.介紹悖論：這就是赫赫有名的羅素悖論，由英國(guó)數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素教授于20世紀(jì)初提出。這條悖論證明了19世紀(jì)的集合論是有漏洞的，幾乎改變了數(shù)學(xué)界20世紀(jì)的研究方向。

3.總結(jié)：同學(xué)們，推理的樂(lè)趣在于探究真相，而真相往往只有一個(gè)。數(shù)學(xué)本身就是一種理性的探索，希望同學(xué)們?cè)谖磥?lái)的學(xué)習(xí)和生活中，勇于探索，追求真相。

二、課例評(píng)析

全課圍繞一個(gè)問(wèn)題情境展開，著重讓學(xué)生經(jīng)歷假設(shè)推理的過(guò)程，從不同的思維角度切入，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行二次分析，充分展示了推理的多元化，也彰顯了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

1.數(shù)學(xué)充滿無(wú)限挑戰(zhàn)。

在學(xué)生經(jīng)歷第一次假設(shè)，已經(jīng)得出結(jié)論的情況下，讓他們拋棄自己原有的思路，進(jìn)行第二次、第三次的思維歷程，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑是巨大的挑戰(zhàn)。學(xué)生開始不停地反復(fù)理解題意，深刻解讀假設(shè)推理，一次又一次從頭開始，每次都是不一樣的思維歷程。這種挑戰(zhàn)，不可謂不激烈。

2.數(shù)學(xué)需要獨(dú)立思考。

獨(dú)立思考是數(shù)學(xué)課中特別重要的學(xué)習(xí)方式。本課的一個(gè)特點(diǎn)就是學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)特別多。對(duì)每一次假設(shè)，學(xué)生都要不斷分析假設(shè)后的情況，一直處于思考的狀態(tài)?？雌饋?lái)波瀾不驚，實(shí)際上學(xué)生經(jīng)歷了一次又一次頭腦風(fēng)暴。

3.數(shù)學(xué)旨在提升素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)不僅是解決問(wèn)題的學(xué)科，更是提升思維品質(zhì)、形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)的學(xué)科。本課不僅在邏輯推理中反復(fù)深化假設(shè)推理，而且先進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，再進(jìn)行思維抽象，鼓勵(lì)學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論，強(qiáng)調(diào)真相的唯一性。整個(gè)推理過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)、有序，不把解決問(wèn)題當(dāng)作唯一目標(biāo)，而是不斷提升思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。