數(shù)學(xué)“童畫”：讓兒童的思維“看得見”

周菲

摘 要：數(shù)學(xué)“童畫”是一種基于兒童的可視化學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)中，教師通過數(shù)學(xué)“童畫”的形式進(jìn)行表達(dá)、示范、解釋、構(gòu)建等教學(xué)活動(dòng)，不斷優(yōu)化兒童的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的問題解決能力和思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)“童畫”；思維；經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 收稿日期：2017-12-09

作者簡(jiǎn)介：周 菲，女，浙江省杭州市學(xué)軍小學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，浙江省杭州市西湖區(qū)學(xué)科帶頭人。

時(shí)下，變革學(xué)習(xí)方式的研究與討論頗熱。筆者嘗試用數(shù)學(xué)“童畫”的方式引導(dǎo)學(xué)生開展可視化學(xué)習(xí)，收到了較好的效果。所謂數(shù)學(xué)“童畫”，就是引導(dǎo)兒童用自己理解和親近的畫圖方式，將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)量關(guān)系、公式規(guī)律等直觀地表達(dá)出來，并主動(dòng)進(jìn)行觀察、比較、猜想、推理、分析、綜合等思維活動(dòng)。斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題?！比绾巫尅巴嫛睆摹敖?jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”？筆者以求“原來有多少個(gè)”為例來闡述自己的粗淺認(rèn)識(shí)。

一、“畫個(gè)圖就行了” ——體驗(yàn)畫圖的優(yōu)越

數(shù)學(xué)“童畫”，因其直觀、形象的特點(diǎn)頗受低年級(jí)學(xué)生的青睞。如一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)加減法時(shí)，判斷做什么運(yùn)算很重要。通過直觀圖示（見圖1），學(xué)生看到需要相加或相減的是兩個(gè)部分，比關(guān)注這兩個(gè)數(shù)是幾更重要。通過觀察合并的過程，學(xué)生更容易理解加法的意義。

結(jié)構(gòu)比方向更重要。因此，在解決問題過程中，學(xué)生若能將問題的結(jié)構(gòu)畫出來，問題也就解決了一大半。因?yàn)?，學(xué)生直接讀題后，發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)說不清、道不明，于是“畫個(gè)圖就行了”。他們可以用關(guān)鍵字、圖形或符號(hào)表示題目中的意思，學(xué)生通過操作和記錄，不僅很好地完成任務(wù)，而且清晰地呈現(xiàn)解決問題中思考的過程與路徑。

二、“圖，可以這么畫” ——積累畫圖的技巧

為了解學(xué)生是如何在讀懂圖意基礎(chǔ)上理解其數(shù)量關(guān)系，探尋解決問題的基本方法，檢驗(yàn)所選擇方法的正誤，我們進(jìn)行了二次試教的對(duì)比。

【一次試教】

課后研討中，對(duì)這節(jié)課的缺點(diǎn)，聽課教師達(dá)成如下共識(shí)：一是學(xué)生對(duì)算法的理解不夠深刻。課后訪談發(fā)現(xiàn)，近七成學(xué)生對(duì)“原來有多少個(gè)”算法的理解停留在形式化層面。二是對(duì)學(xué)生思維發(fā)展的脈絡(luò)把握不準(zhǔn)。如果能夠注重解題方法多樣化，讓學(xué)生經(jīng)歷自主選擇方法解決問題，通過交流優(yōu)化畫圖的過程，也許學(xué)生就能夠形成深刻的體驗(yàn)，思維得到提升。帶著以上的思考，我進(jìn)行了第二次的教學(xué)嘗試。

【二次試教】

“求原來有多少”的問題，對(duì)于學(xué)生來說需要逆向思考，這樣的問題對(duì)于一年級(jí)學(xué)生來說有一定難度，其難度主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)：一是問題情境比較復(fù)雜，需要學(xué)生弄清條件與問題的關(guān)系；二是學(xué)生可能受原有的定勢(shì)影響，見到“剩下”二字，就用減法來計(jì)算，出現(xiàn)錯(cuò)誤列式為12-7=5。因此二次教案中呈現(xiàn)了畫圖策略的指導(dǎo)，使學(xué)生體會(huì)到：當(dāng)問題不好理解時(shí)，可以采用畫圖幫助理解，找出信息和問題之間的關(guān)系，確定解答方法。

二次教學(xué)，是溫度與深度的有機(jī)融合。一堂課的氣氛生動(dòng)活潑，學(xué)生積極參與，我稱之為“有溫度”；一堂課里學(xué)生發(fā)展扎實(shí)有效，參與質(zhì)量高，我稱之為“有深度”。本次設(shè)計(jì)，教學(xué)中抓住“部分與整體”的關(guān)系，通過有效的畫圖展示交流，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系加法運(yùn)算的意義，逐步從實(shí)際問題敘述的情境語言中抽象出基本的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算。

通過對(duì)二次試教的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，一次試教只是教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行題目的語言指導(dǎo)，二次試教則增加了對(duì)畫圖的指導(dǎo)。我們對(duì)二次試教結(jié)果進(jìn)行了數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生用自己的方式表示對(duì)例題意思的理解，調(diào)研結(jié)果如下表。

基于以上的學(xué)情調(diào)研，我們發(fā)現(xiàn)：有畫圖指導(dǎo)的課堂學(xué)生對(duì)圖像表征題意正確的占84%，而且對(duì)圖意的理解也能多樣化表示。如果是單純的語言指導(dǎo)，在解決容易的問題時(shí)，學(xué)生們不愿意采用畫圖來分析，遇到困難時(shí)，常常想到畫圖來思考，但苦于平時(shí)沒有掌握基本的畫圖技巧，就沒法用起來。因此，教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師要給予適切的畫圖指導(dǎo)。如學(xué)生剛萌發(fā)畫圖的意識(shí)時(shí)，我們對(duì)于他們的畫圖要求不可過高，只要基本符合問題的數(shù)量關(guān)系即可。在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于每個(gè)學(xué)生理解水平的不同，我們要因材施教，鼓勵(lì)學(xué)生用便于自己理解、能夠表達(dá)的方式來畫圖表征題意。

三、“你能看懂這圖嗎？”——促進(jìn)看圖的思考

通過畫圖，能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象。但有的學(xué)生畫了圖，卻依然看不出隱含的數(shù)量關(guān)系。這就需要教師在畫圖的同時(shí)關(guān)注學(xué)生的讀圖分析能力，將學(xué)習(xí)的視角在畫圖與看圖間靈活轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生積累看圖的經(jīng)驗(yàn)。二次試教中幫助學(xué)生梳理歸納了以下幾類圖示。

1. “童畫”抽象，讓特征“抓得準(zhǔn)”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的不是記住多少知識(shí)，而是從題目中看出數(shù)量關(guān)系。學(xué)生畫出的每一個(gè)簡(jiǎn)圖（見圖2）都形象地表征了原來有多少個(gè)哨子，為他們理解概念提供了生動(dòng)的表象。

2. “童畫”示例，讓思路“看得見”

數(shù)學(xué)“童畫”具有兒童化的直觀示例作用，其抽象出的典型特征可以用特定的示例加以表征，清晰地呈現(xiàn)出指向問題解決的“思維地圖”。

在教師啟發(fā)下，學(xué)生通過畫一畫、算一算、議一議，獨(dú)立探索出了多種方法。學(xué)生根據(jù)圖示也能發(fā)現(xiàn)：“領(lǐng)走了7個(gè)哨子，還剩下5個(gè)哨子，原來有12個(gè)?！苯處熥穯枺骸翱梢杂檬裁此闶接?jì)算呢？”學(xué)生答：“7+5=12（個(gè)），因此原來有12個(gè)哨子?！备鶕?jù)簡(jiǎn)圖直觀演示很容易就能計(jì)算出原來的哨子。還有學(xué)生想到把兩部分合起來用加法計(jì)算等方法。通過簡(jiǎn)圖示例和教師啟發(fā)，學(xué)生很容易就能找到用加法來解決實(shí)際問題的路徑。見圖3。

3. “童畫”解釋，讓發(fā)現(xiàn) “說得通 ”

解釋是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法。依托數(shù)學(xué)“童畫”的可視性指示對(duì)輸入的信息進(jìn)行解釋，有助于學(xué)生把握問題的關(guān)鍵，看清知識(shí)的來龍去脈，明晰知識(shí)的聯(lián)系和規(guī)律，使問題迎刃而解。如圖4：在列式的時(shí)候，有小部分學(xué)生寫出了12-7=5（個(gè)）。根據(jù)圖示，教師做了以下引導(dǎo)：有兩位小黃人他們是這樣畫的，你能從圖中找出兩部分嗎？劃掉（虛線）的部分就是領(lǐng)走的7個(gè)，這里表示剩下的5個(gè)。結(jié)合“童畫”通過不斷追問，讓學(xué)生解釋每部分的意思，就會(huì)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的意義構(gòu)建。

圖4 錯(cuò)誤算式舉例

4. “童畫”聯(lián)系，讓推論 “想得到 ”

學(xué)習(xí)是一種自主、自覺的活動(dòng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與知識(shí)探索、大膽推理與預(yù)測(cè)，使他們能清晰地表達(dá)自己的想法，再造數(shù)學(xué)知識(shí)生長的過程。

由于問題簡(jiǎn)單，學(xué)生往往模仿列式，并沒真正理解 7+5=12（個(gè)）的意義。 教師在小結(jié)板書（如圖5）的時(shí)候，可以溝通算式和圖的聯(lián)系，讓學(xué)生根據(jù)算式說說算式中每個(gè)數(shù)在各圖中所表示的部分及其意義，弄清7表示拿走的哨子，5表示剩下的哨子，兩部分合起來就是原來的哨子。

這樣，在學(xué)生親身感悟的基礎(chǔ)上，溝通各種直觀圖和算式間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考并把自己的新發(fā)現(xiàn)、新方法和新體會(huì)在組內(nèi)進(jìn)行討論、交流、思辨，逐步構(gòu)建起具有意義的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、“你是怎么解決的？”——提升畫圖的經(jīng)驗(yàn)

畫圖經(jīng)驗(yàn)的積累，需要學(xué)生對(duì)解題方法進(jìn)行多次的感悟、優(yōu)化、抽象與概括，在解決問題過程中用畫圖經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行積淀、內(nèi)化、總結(jié)與升華，同時(shí)體會(huì)畫圖的價(jià)值。

1. 契合“思”的規(guī)律，發(fā)揮“點(diǎn)”的作用

在教學(xué)中，筆者緊扣“三點(diǎn)”，即鋪墊知識(shí)的生長點(diǎn)、提供思考的支撐點(diǎn)、用好思維的發(fā)散點(diǎn)，給學(xué)生思維發(fā)展提供有力的幫助和發(fā)散的空間。練習(xí)的設(shè)計(jì)中，畫圖既可以幫助學(xué)生理解題意，又能幫助學(xué)生一起梳理歸納解決問題的幾大類型，讓學(xué)生通過在頭腦中畫圖的形式將思維發(fā)散開去，在想象畫圖的指導(dǎo)下得到多途徑解決實(shí)際問題的方法，不讓具體完整的示意圖成為學(xué)生發(fā)散思維的“絆腳石”。 借助實(shí)物圖或圓圈圖來尋求突圍，自主“補(bǔ)”出圖來解釋、驗(yàn)證自己的思路，才能真正發(fā)揮畫圖的效用。

2. 激發(fā)“問”的意識(shí)，增強(qiáng)“做”的能力

在用畫圖策略解決問題的學(xué)習(xí)中，我精心設(shè)問，讓學(xué)生在問題“航標(biāo)”的指引下明確探尋的目標(biāo)，從而進(jìn)行積極有效的探索。

數(shù)學(xué)“童畫”作為一種兒童化、可視化、數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)方式，既能優(yōu)化教師的“教”，又能激發(fā)學(xué)生的“學(xué)”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感，使他們自主構(gòu)建新知識(shí)，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)地思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]成尚榮.讓學(xué)習(xí)看得見[N].中國教師報(bào)，2013-10-23.

[2]朱良學(xué).學(xué)習(xí)可視化的意義與內(nèi)涵研究[J].軟件導(dǎo)刊（教育技術(shù)版），2013（5）：86-87.

[3]劉 堅(jiān)，等，義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.