淺析直角三角形中特殊角的三角函數(shù)值的記憶法

朵興智 韓潤柏

初中學生到了九年級就開始接觸直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的知識，這部分知識在計算物體的高度、寬度等實際問題中應用比較廣泛，學生在學習這部分知識時對公式的掌握較好，但在應用的過程中，往往對特殊角的三角函數(shù)值容易出現(xiàn)張冠李戴現(xiàn)象。究其原因是對特殊角的三角函數(shù)值的記憶不牢靠。現(xiàn)介紹幾種記憶特殊三角函數(shù)值的方法，供大家參考。

一、玩三角板法

此方法學生只需畫一副三角板即兩個直角三角形就可以了。如圖1、圖2

圖1是銳角為30°與60°的直角三角形。設三角形中30°角的對邊等于1，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，就可以推出直角三角形的斜邊長為2，再根據(jù)勾股定理算出另一條直角邊長為3，最后根據(jù)正弦；余弦；正切的定義公式計算30°與60°角的三種三角函數(shù)值即可。如：sin30°=對邊：斜邊=1：2；tan30°=對邊：鄰邊=1：3；其它幾種30°與60°角的三角函數(shù)值以此類推。

圖2是銳角為45°的直角三角形。設兩條直角邊的長為1、1，根據(jù)勾股定理推算出斜邊長為2。最后根據(jù)正弦；余弦；正切的定義公式計算45°角的三種三角函數(shù)值即可。如：sin45°=cos45°=22； tan45°=cot45°=1。學生在應用中只需記住這兩個圖形即可。這樣既可以鍛煉學生的動手能力，又可以培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；而且還減輕了學生記憶的負擔。

二、規(guī)律法

此方法先讓學生列如下所示的表，學生通過觀察表中三角函數(shù)值的變化規(guī)律，即可得到以下結(jié)論：正弦值隨角度變化，即0°→30°→45°→60°→90°變化；值從0→12→22→32→1變化，余弦值隨角度的變化規(guī)律：即0°→30°→45°→60°→90°變化；值從1→32→22→12→0變化；正切值隨角度的變化規(guī)律：即0°→30°→45°→60°→90°變化；正切值從0 →33→1→3→不存在。在此基礎上可以讓學生進一步歸納出每一種三角函數(shù)的增減性，且對于特殊角的三角函數(shù)值而言，數(shù)值無非就是0；1；12；22；32；這幾個，所以學生如果掌握利用三角函數(shù)的增減性歸納出每種三角函數(shù)特殊角的函數(shù)值的變化規(guī)律，就能很熟練的記住特殊角的三角函數(shù)值。

三、口訣記憶法

口訣是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根號不能刪.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分別是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根號內(nèi)的值.弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母為2，正切的分母為3.最后一句，講的是各函數(shù)值中分子都加上根號，不能丟掉.如tan60°=273=3，tan45°=93=1.這種方法有趣、簡單、易記。

例1tan30°的值等于（）

A. 12B.32C.33D. 3

分析：本題就是典型的考察特殊角的三角函數(shù)值的記憶，學生完全可以通過上述方法解決，比如，可以畫一副三角板就能把問題解決。

解：選C.

評注：設三角形中30°角的對邊等于1，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，就可以推出直角三角形的斜邊長為2，再根據(jù)勾股定理算出另一條直角邊長為3，再根據(jù)三角函數(shù)的定義公式就足矣。

例2如果∠α是等腰直角三角形的一個銳角，則 的值是（）

A.12B.22C.1D.2

解析：此題主要考察等腰三角形的性質(zhì)和特殊教的三角函數(shù)值的記憶，具有一定的綜合性，因為等腰直角三角形的銳角是45度，所以tanα=tan45°=1，故選C。

評注：對于45度角的正切值沒記住的學生可以采用玩三角板法，也可以采用口訣法和規(guī)律法，但這個題是綜合題，就有它獨特的解法，我們可以借助等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的有關(guān)知識就能解決問題。

例3已知 ，且∠A為銳角，則∠A=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

解析：此題主要考察學生的逆向思維30度角的正弦值是12，故選A.

評注：在銳角范圍內(nèi)，每一種三角函數(shù)值與角度是一一對應關(guān)系，所以二者可以互推。

例4計算tan60°+2sin45°-2cos30°的結(jié)果是（）

A.2B.3C.2D.1

分析：這個題主要考察學生對特殊教的三角函數(shù)值的記憶及有關(guān)實數(shù)的運算，三角函數(shù)值的記憶完全可借用上述三種方法。

解：tan60°+2sin45°-2cos30°=3+2×22-2×32= 2.故選C.

評注：特殊角的三角函數(shù)值的記憶在運用上述三種方法時要靈活應用，實數(shù)計算時要注意計算順序。

特殊角的三角函數(shù)值是解直角三角形中常用到的重要數(shù)據(jù)，只要能記住這些特殊數(shù)值，可以在解決實際問題中起到事半功倍的效果，但記憶的方法很多，在解決實際問題中強化記憶，熟練以上提到的記憶方法，不但可以記住特殊角的三角函數(shù)值，也能提高學生解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]劉瑞華.數(shù)學教師從哪兒入手指導學生“會學”[J].云南教育：中學教師，2010（6）：32-33.

【作者簡介：朵興智（1970-）男，藏族，甘肅肅南人，一級教師，研究方向：中小學教育與藏語教學?！?/p>

（作者單位：肅南裕固族自治縣祁豐學校）