無壓六圓弧蛋形斷面隧洞正常水深的簡化計(jì)算

滕 凱

(齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江省齊齊哈爾市 161006)

由于蛋形斷面與其他斷面形式 (馬蹄形、門洞形、圓形及矩形等)相比具有受力條件好、過流能力強(qiáng)、適應(yīng)地質(zhì)環(huán)境能力突出、節(jié)省空間及材料顯著等優(yōu)點(diǎn)，因此，隨著水利機(jī)械化施工技術(shù)及工藝的不斷提高，該種斷面正在越來越廣泛地應(yīng)用于水利水電供排水工程［1，2］。隨著工程綜合技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，該種斷面必將以其突出的優(yōu)越性在未來的輸配水工程中發(fā)揮越來越重要的作用。

由于該種斷面由六個(gè)圓心三個(gè)不同半徑的六段連續(xù)的圓弧曲線構(gòu)成，幾何圖形復(fù)雜，正常水深計(jì)算不但涉及四個(gè)區(qū)間的分段函數(shù)而且需完成超越方程求解，常規(guī)的解析法不能直接獲解，試算法［3，4］由于公式分段、表達(dá)形式為繁復(fù)的超越方程，大量的重復(fù)計(jì)算不但過程繁索，且易出錯(cuò)、精度差、效率低，不便實(shí)際應(yīng)用，利用微機(jī)編程求解又不便于實(shí)際工作。因此，研究提出一種方便實(shí)際工程應(yīng)用的簡化近似計(jì)算方法具有重要的意義，而將六圓弧蛋形斷面正常水深計(jì)算的分段函數(shù)統(tǒng)一由一個(gè)近似計(jì)算公式表示并直接解算，到目前為止尚未見到相關(guān)研究成果。

為了解決常規(guī)算法及目前現(xiàn)有研究成果所存在的問題，本文依據(jù)優(yōu)化擬合原理，取目標(biāo)函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小，經(jīng)逐次逼近擬合計(jì)算，獲得了在工程實(shí)用范圍內(nèi)用一個(gè)計(jì)算通式直接完成求解計(jì)算的簡化解析式，使求解計(jì)算過程更加簡捷、直觀，便于實(shí)際應(yīng)用。

1 蛋形斷面正常水深的基本計(jì)算公式

根據(jù)明渠均勻流基本方程［5］，六圓弧蛋形過水?dāng)嗝嬲Ｋ顟?yīng)按下式計(jì)算:

式中 Q——渠道通過流量，m3/s;

A——過水?dāng)嗝婷娣e，m2;

χ——濕周，m;

i——隧洞底坡降;

n——隧洞內(nèi)壁糙率系數(shù)。

1.1 蛋形斷面水力要素

六圓弧蛋形過水?dāng)嗝?(見圖1)是由三種不同長度的半徑分別在六個(gè)圓心位置通過弧線構(gòu)成的閉合曲線，其半徑分別為r1、r2和r3。各圓弧段所對應(yīng)的圓心角分別為 α1、α2、α3和 α4。其數(shù)值關(guān)系為:

圖1 六圓弧蛋形斷面

圖2 六圓弧蛋形斷面計(jì)算圖

由圖1的幾何關(guān)系可以求得:h1=0.096478r1，h2=0.195651r1，其水力要素為［6］

以上式中 h——洞內(nèi)水深，m;

φ、β、β1、β2——與 α1、α4、α3、α2同圓心的不同區(qū)段水深所對應(yīng)的圓心角 (見圖 2)，rad。

1.2 蛋形斷面正常水深基本計(jì)算公式

將蛋形斷面四個(gè)區(qū)段所對應(yīng)的水力要素式式(2)～式 (4)分別代人式 (1)，并設(shè)

式中 k——已知綜合參數(shù);

h0——蛋形斷面的正常水深，m;

x——無量綱正常水深，m。

經(jīng)進(jìn)一步整理即可獲得求解六圓弧蛋形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕竟綖?/p>

式 (6)為對應(yīng)自變量x四個(gè)區(qū)間的四個(gè)超越方程，利用式 (6)即可根據(jù)已知的k值采用相應(yīng)區(qū)間的計(jì)算公式通過非解析法完成無量綱正常水深x的求解，進(jìn)而由下式求得正常水深，即

由式 (6)可見，x的取值范圍為四個(gè)連續(xù)區(qū)間，值域?yàn)?［0，1］，而在實(shí)際工程中，x＜0.09情況極為少見;同時(shí)，考慮為避免洞內(nèi)產(chǎn)生不穩(wěn)定的半有壓流現(xiàn)象，《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》［7］規(guī)定，洞內(nèi)水面線以上的富余空間面積不宜小于隧洞斷面積的15%，且凈空高度不應(yīng)小于0.4m，由此可以求得x＜0.775，因此，本文將x的取值范圍確定為 ［0.09，0.8］，相應(yīng)參數(shù)k的取值范圍為 ［0.012，0.360］。

2 蛋形斷面正常水深的近似公式及精度分析

2.1 近似公式的建立

由式 (6)可見，該方程為含未知量x的不連續(xù)分段超越方程，無法直接獲解。為解決這一復(fù)雜方程的求解問題，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi) (即0.09≤x≤0.8，0.012≤k≤0.360)，假定函數(shù)x=f(k)可以替代式 (6)，依據(jù)式 (6)即可通過設(shè)定不同的x求得k，并展繪x－k關(guān)系曲線 (限于篇幅，本文曲線圖略)，根據(jù)曲線圖形關(guān)系，經(jīng)多組備選函數(shù)的數(shù)值擬合分析及回歸計(jì)算，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為最終希望目標(biāo)函數(shù)［8-15］，即

n——擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù)。經(jīng)逐次逼近擬合［16，17］即可獲得如下替代函數(shù)，即

利用式 (8)即可根據(jù)已知的k值直接求解無量綱正常水深x，進(jìn)而完成正常水深h0計(jì)算。

2.2 近似公式的精度分析

式 (8)與式 (7)擬合精度的高低，將直接關(guān)系到利用式 (8)計(jì)算正常水深的成果精度。為比較近似公式 (8)與由四個(gè)分段函數(shù)構(gòu)成的公式 (7)的擬合精度，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，選取不同的xi，并根據(jù)xi所在區(qū)間代入式 (7)與其相對應(yīng)的區(qū)段函數(shù)即可分別計(jì)算出與之相對應(yīng)的ki，再將ki代入式(8)求得與之相對應(yīng)的，并由式 (9)完成擬合相對誤差計(jì)算。計(jì)算結(jié)果見表1。

式中 zi——擬合相對誤差，%;

i——在擬合計(jì)算中所選取的第i個(gè)數(shù)據(jù)。

表1 式 (8)擬合精度比較

由表1可見，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，用本文式(8)替代由四個(gè)區(qū)段函數(shù)組成的式 (7)的最大擬合替代相對誤差僅為0.887%，且位于常用區(qū)域邊緣，平均相對誤差為－0.019%，且擬合相對誤差小于0.5%的點(diǎn)占總計(jì)算點(diǎn)數(shù)的83.3%?？梢?，本文式(8)具有較高的擬合替代精度，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

3 應(yīng)用舉例

已知某輸水隧洞為六圓弧蛋形斷面，最大半徑r1=1.5m，洞底設(shè)計(jì)坡降i=1/2500，洞內(nèi)壁糙率系數(shù)n=0.014。試求當(dāng)設(shè)計(jì)流量Q=0.1～1.2m3/s時(shí)隧洞內(nèi)相應(yīng)的正常水深h0值。

當(dāng)設(shè)計(jì)流量為Q=0.5m3/s時(shí)，根據(jù)已知參數(shù)即可求得k值為

將參數(shù)k=0.11871代人式 (8)即可求得無量綱水深為

則可求得正常水深h0為

通過微機(jī)編程可求得該斷面正常水深的精確解為h0=0.4787m，本文簡化公式的計(jì)算相對誤差為－0.355%。

采用同樣方法即可完成隧洞在通過其他流量情況下的正常水深計(jì)算，并進(jìn)行精度比較，成果見表2。

表2 正常水深計(jì)算成果

由表2可見，在上述參數(shù)計(jì)算范圍內(nèi)，本文式(8)計(jì)算值與理論計(jì)算值的最大正、負(fù)相對誤差分別為0.796%和－0.513%，式 (8)具有較高的計(jì)算精度。

4 結(jié)語

六圓弧蛋形過水橫斷面幾何圖形比較復(fù)雜，采用常規(guī)計(jì)算方法求解正常水深不便實(shí)際應(yīng)用。本文依據(jù)優(yōu)化擬合理論，經(jīng)逐次逼近計(jì)算，獲得了可直接完成該斷面正常水深求解的近似計(jì)算通式，其主要優(yōu)點(diǎn)如下:

(1)所建立的簡化公式在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)不分段，可使正常水深計(jì)算將四個(gè)分區(qū)函數(shù)由一個(gè)表達(dá)通式完成，避免了分段公式在求解計(jì)算中所帶來的諸多不便。

(2)公式僅用一個(gè)簡單的復(fù)合冪函數(shù)即完成了擬合替代，表達(dá)形式簡單明了，便于工程技術(shù)人員記憶，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算簡單、快捷 (僅借助計(jì)算器即可)，有效提高了工作效率，具有實(shí)際應(yīng)用推廣價(jià)值。

(3)該近似計(jì)算公式為通過多組函數(shù)優(yōu)化比選所得，具有較好的擬合精度。分析及算例計(jì)算結(jié)果比較表明:在實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，本文公式具有較高的計(jì)算精度，其最大計(jì)算相對誤差不超過0.887%，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

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