寓美于教，構(gòu)建高中數(shù)學“生本課堂”

蘭淋海

福建省古田縣玉田中學 (352200)

在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，學生對于美的事物總是比較容易接受的.數(shù)學和所有美的事物都存在著一定的聯(lián)系，數(shù)學蘊含的美能夠帶給人們一種美的享受，能夠全面培養(yǎng)人們的思辨能力以及理性思維.數(shù)學不但是一種趣味的推理演算，而且數(shù)學還有著嚴密的辯證性和邏輯性、高度的抽象性以及廣泛的應用性等.從審美角度上看，數(shù)學中充滿著大量的美，教學中運用恰當將收到事半功倍的教學效果.因此，每位數(shù)學教師都要將數(shù)學美展示給學生，以期達到數(shù)學學習目標.

一、數(shù)學美在高中數(shù)學教學中的地位和作用

數(shù)學中蘊含著豐富的美.圖形的優(yōu)美，計算公式的簡潔美就能直接給人以美的享受.數(shù)學方法的靈巧(簡潔、類比、歸納、靈活等)、數(shù)學思想的精煉與抽象、邏輯思維的嚴謹及數(shù)學與其它學科的多種聯(lián)系，等等，都無不呈現(xiàn)數(shù)學美的魅力！在高中數(shù)學教學中合理地挖掘和利用數(shù)學美的內(nèi)容，符合新課標下“生本課堂”的要求，對于當前高中數(shù)學的教學改革將起到推動的作用.在新課標下，把數(shù)學美的欣賞同學生學習的態(tài)度情感、信心的培養(yǎng)有效結(jié)合起來，必然會對當前的高中數(shù)學教學起到“潤滑”的效果.總的來說，數(shù)學美在高中數(shù)學教學中占據(jù)著重要的地位，是一種全新的教學理念.

數(shù)學美在高中數(shù)學教學中具有重要的作用和意義，單就下面幾點可見一斑.

1.揭示數(shù)學美是學習高中數(shù)學的一種動力.

愛美之心人皆有之，學生對美的事物總是比較感興趣的.“培養(yǎng)學生的學習興趣是長期以來許多教育工作者普遍關(guān)注的一個話題.興趣是一種不竭的動力，它能激發(fā)人全身心地投入到一件事物當中而樂此不?！?高中數(shù)學的內(nèi)容是小學初中無可對比的，其廣度與深度的提升是質(zhì)的飛躍.為了適應高中的學習需要，教師引導高中學生通過對于數(shù)學美的認識，領(lǐng)悟到數(shù)學美的真諦，激發(fā)起對于美的追求和欣賞，培養(yǎng)其學習數(shù)學知識的積極的情感行為，將學習轉(zhuǎn)化成為一種主動的行為，有利于激發(fā)學生努力學好高中數(shù)學.

2.數(shù)學美在高中數(shù)學教學中具有文化功能，體現(xiàn)在數(shù)學的精神觀.

數(shù)學美的文化功能是數(shù)學歷史發(fā)展中積淀下來的，具有繼承性和傳遞性，是一種經(jīng)驗感受的累積.在高中數(shù)學教育中，引導高中生們感受數(shù)學美，能夠產(chǎn)生一種特殊的經(jīng)驗，積累起良好的數(shù)學解題經(jīng)驗，有助于推動對于數(shù)學知識的良好掌握.

3.“以美啟真”是數(shù)學美方法功能的核心.

運用美的思維啟發(fā)人們探索數(shù)學真理，運用美的方式去找尋數(shù)學規(guī)律、解答數(shù)學問題.高中生們通過對數(shù)學美的感悟，形成固定的數(shù)學思維方法，是當前高中數(shù)學教學的重要目標.

4.在新課標中，明確指出要在教學中構(gòu)建起生本課堂，營造出美好的人文課堂環(huán)境.

在中學數(shù)學教學中，引入數(shù)學美恰恰是生本課堂的具體體現(xiàn)，有助于啟迪他們的智慧，開發(fā)出潛在的能動性和創(chuàng)造力，對于課堂教學有著非常重要的意義.學生通過追求數(shù)學美，發(fā)揮幾何想象能力，開創(chuàng)思維方向，增強創(chuàng)新能力；學生敢于打破思維定勢，另辟蹊徑，找到最佳解題方案.

二、“生本課堂”下的數(shù)學美

生本課堂要求“以學生的發(fā)展為本”，全面構(gòu)建起和諧、美好的人文課堂.作為數(shù)學教師，要善于發(fā)掘數(shù)學中的美，加強數(shù)學的理性與感性的融合，積極地培養(yǎng)學生對于數(shù)學的審美意識，引導學生主動體會數(shù)學的美，從而提高學生數(shù)學學習的興趣.

1.數(shù)學內(nèi)容和諧美

早在兩千多年前，畢達哥拉斯就提出了這樣的觀點：美是和諧與比例，這恰恰符合了數(shù)學當中的一些規(guī)律.在數(shù)學內(nèi)容龐大的知識體系內(nèi)部，數(shù)學的和諧美始終貫穿其中，具體體現(xiàn)在各個定理和定義以及數(shù)、式、形之間，多個知識塊之間既自成體系、互相獨立，又由于一定的邏輯關(guān)系而互相派生、互相貫通，具體體現(xiàn)為高度的和諧統(tǒng)一.以元素與集合的關(guān)系為例：x∈A?x?UA，x∈UA?x?A，??A≠?.這些公式之間不但體現(xiàn)出知識的結(jié)構(gòu)美，更加蘊含著高度的和諧統(tǒng)一美，引導學生們發(fā)覺數(shù)學中的和諧美，能夠更好地幫助他們接受公式，幫助他們更好地記憶.

2.數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)美

不同的數(shù)學問題之間往往存在著某種關(guān)聯(lián)，它們是能夠?qū)崿F(xiàn)溝通及化歸的.在日常解答一些數(shù)學問題中，采用單一的常規(guī)方法往往難以有效解決，然而，充分地運用各種方法就能夠使得問題的條件以及結(jié)論在新的協(xié)調(diào)形式下實現(xiàn)互相溝通，將復雜問題簡單化，進而快速地解決問題.以下面這個數(shù)學題目為例.

已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+1)=f(x-1)；②當x∈[-1,1]時，f(x)=x2，則方程f(x)=lgx解的個數(shù)是( ).

A.5B.7C.9D.10.

解析：由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0，1]的函數(shù).又f(x)=lgx，則x∈(0，10]，畫出兩函數(shù)圖像如圖1，則交點個數(shù)即為解的個數(shù).由圖像可知共9個交點.故選C.

圖1

解題過程中遇到復雜函數(shù)(如指數(shù)、對數(shù)、根式、三角)討論方程解的個數(shù)，其基本解題途徑是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，圖像的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).

上面這個例題是依照題目自身所呈現(xiàn)出的結(jié)構(gòu)美而產(chǎn)生出解題思路，運用線段圖，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學知識，讓高中生們欣賞到了問題的形式美，也由此產(chǎn)生出的數(shù)學美感激發(fā)起新的解題思路即常用的數(shù)形結(jié)合方法；運用不同的方法解答數(shù)學難題，開發(fā)出一種創(chuàng)造性的思維.

3.數(shù)學思維活力美

生本課堂教學的目標就是培養(yǎng)并拓展高中生的思維能力，提升數(shù)學素質(zhì).解答數(shù)學問題的過程中，就是將豐富的數(shù)學知識應用到現(xiàn)實世界中，培養(yǎng)起高中生們的探究能力，猜測及試驗解題思路的過程，高中生的數(shù)學思維能力能夠得到全面的發(fā)展.所以一個數(shù)學問題能夠成功地得到解決，需要運用數(shù)學思維，對問題實施解剖和分析，對豐富的數(shù)學知識進行總結(jié)歸納，由普遍性推向特殊性，或由特殊到一般，對于多種數(shù)學信息實施篩選、加工及構(gòu)造，最后將知識連接起來，運用獨特的方法，構(gòu)建起富有活力及生機的全新方法體系，是一種充滿活力的創(chuàng)造性思維過程，真正體現(xiàn)數(shù)學思維的活力美.例如，筆者在人教A版《數(shù)學必修3》的循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖教學中，引導學生設計1+2+…+100的程序框圖后，提出了以下變式：12+22+32+…+1002；2+4+6+…+200；1×2×3×…×100；④1+2+3+…+n.讓學生學會開動腦筋，由個案的循環(huán)結(jié)構(gòu)的設計推廣到一類的設計，需要學生對循環(huán)體、變量的初始值以及控制循環(huán)條件作縝密的思考，最后到一般性的設計(n的未確定)需在終端框后增加輸入n的輸入框，學生的思維活躍了起來，對于布置的類似的循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖：(n>2且n∈N),1×3×5×…×99等，學生躍躍欲試進行嘗試完成作業(yè)，思維火花迸發(fā)出光芒.

三、構(gòu)建“生本課堂”，在高中數(shù)學教學中滲透數(shù)學美

“生本課堂”是新課標下對于教育提出的更高要求，是對全新教學理念的一種貫徹.在當前的高中數(shù)學教學中，要全面構(gòu)建起人文和諧的課堂環(huán)境，不斷滲透數(shù)學美的理念，幫助高中生們感受到數(shù)學美的同時更好地掌握到豐富的數(shù)學知識.

1.展示凸顯外在美

在高中數(shù)學當中，外在美具體表現(xiàn)在一些數(shù)學概念、公式以及幾何圖形的簡單性、統(tǒng)一性、對稱性上，具有令人悅目的美.結(jié)合當前的教材及情境，積極發(fā)掘圖形的變換、圖形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的外在美.此外，生活當中的一些實物也體現(xiàn)出了數(shù)學外在美，如圓柱形筆筒，長方體紙盒，精致藝術(shù)品，宏偉建筑等等，都是數(shù)學中的一些幾何圖形和立方體.這些都是展開數(shù)學美教育的最好素材.

2.挖掘數(shù)學內(nèi)在美

數(shù)學自身存在著內(nèi)在美，具體表現(xiàn)為完備的體系、嚴謹?shù)倪壿?、奇異的思維、巧妙的解題方法、精髓的思想.數(shù)學的內(nèi)在美令人賞心悅目.

在高中數(shù)學教育中，應當主動引導高中生感悟數(shù)學思想方法，領(lǐng)略數(shù)學方法和數(shù)學命題的美學價值；在具體的解題過程中，從多個角度找尋解答難題的方法，讓高中生們感受到數(shù)學方法的優(yōu)美、靈活和精巧，充分地向他們展示出數(shù)學的內(nèi)在美.

3.打造出美的教學情境

生本課堂最根本的要求就是打造出美的教學情境，讓學生們能夠在一個輕松的環(huán)境中自由地學習.美的教學情境包含物質(zhì)環(huán)境和心理環(huán)境.物質(zhì)環(huán)境比如整潔的教室環(huán)境，它們有助于高中生保持良好的心態(tài)，進入到數(shù)學學習狀態(tài)并美化心靈；心理環(huán)境比如師生間、同學間的和諧關(guān)系，有助于構(gòu)建起一個美的“數(shù)學學習共同體”.

此外，還可以安排一些很好的數(shù)學游戲，從游戲中體會到數(shù)學的思維方式，感悟到數(shù)學的美，學習到更多的數(shù)學知識.

4.解題中體會數(shù)學美

數(shù)學題包含著豐富的數(shù)學知識，體現(xiàn)出數(shù)學解題的思維方式，展現(xiàn)出了數(shù)學中蘊含的美.通過多種形式的數(shù)學解題，讓學生從中領(lǐng)悟到：數(shù)學結(jié)構(gòu)和諧美和統(tǒng)一美，進而培養(yǎng)起高中生對于數(shù)學的鑒賞能力以及崇高的審美情操.

在解題中，充分地利用圖形，找到突破口.

圖2

例如，如圖2，在等腰直角△ABC中，M是腰AC的中點，過直角頂點C作CD⊥BM于D，CD的延長線交AB于E.求證:∠AME=∠CMB.

證法一:過點A作AF⊥AC，交CE的延長線于F，如圖所示.

∵在ΔBCM中，∠BCM=90°，CD⊥BM，∴∠1=∠2=90°-∠ACD.在ΔBCM與ΔCAF中，∵∠1=∠2，BC=CA，∠BCM=∠CAF=90°，∴ΔBCM?ΔCAF(ASA)，∴MC=FA，∠CMB=∠F.∵MC=MA，∴MA=FA.∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°,且∠CAF=90°,∴∠MAE=∠FAE=45°.又AE=AE，∴ΔAEM?ΔAEF(SAS)，∴∠AME=∠F，∴∠AME=∠CMB.

點評：證明中充分地利用圖形的特征，巧妙地構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對應邊、對應角分別相等的性質(zhì)，完美地通過角的等量代換得到結(jié)論.體現(xiàn)了圖形的美的變換，學生無不為之拍案叫好！

證法二：如圖3，設∠AME=α，∠CMB=β，則∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=180°-(∠ACE+∠A)=45°+β.在△AEM和△ACE中，由正弦定理，得AE∶sinα=AM∶sin(135°-α)①,AE∶sin(90°-β)=AC∶sin(45°+β)②,

圖3

點評：證明中利用圖形的特殊角和邊的數(shù)量關(guān)系，在包含待證相等角的兩個三角形中分別應用正弦定理，轉(zhuǎn)化為只含這兩個角的正弦的關(guān)系式，再通過化簡式子得到這兩角的正切關(guān)系式，而其中一個角的正切值是可以直接計算出的，這樣就會算出另一個角的正切值，從而發(fā)現(xiàn)它們相等，再由正切值相等及角的取值范圍，充分得證結(jié)論.由此感受到應用數(shù)學公式和掌握好三角函數(shù)的運算帶來的直截了當?shù)拿篮玫臄?shù)學解題思路，學生心中美滋滋的.

圖4

證法三：以直角頂點C為原點，兩條直角邊CA、CB所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標系，如圖4所示.設直角邊長為2a(a>0)，則C(0,0)，A(2a，0)，M(a，0)，B(0，2a).

由以上各點坐標，得下列向量的坐標：

點評：證明中通過建立直角坐標系，設出直角邊長，則A、B、C、M四點的坐標都可由已知給出，只要求出點E的坐標就可以利用向量求出待證相等的角的余弦值，從而發(fā)現(xiàn)它們的余弦值相等，故得證.其中建立兩直線CD與AB的方程是求點E的坐標的首要任務.顯然，學生已具備求直線方程及解方程組的能力及運用向量工具的本領(lǐng)，證法中反映了數(shù)學綜合性的內(nèi)在美，學生從中也獲得了思維的拓展?jié)M足感.

通過這一不同方法的證題過程中，充分地將數(shù)學的多種解法展現(xiàn)給學生，讓他們感悟到數(shù)學思維的角度美、解題方法的多樣美、數(shù)學公式的潛在美和數(shù)形結(jié)合的和諧美等.這樣必然會激發(fā)起學生學習數(shù)學的興趣.通過數(shù)學美的教學，全面構(gòu)建起生本課堂，促進學生全面發(fā)展.

高中數(shù)學“課標”明確指出數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的美學價值.數(shù)學是一門蘊含了豐富美學的學科，幾乎覆蓋了所有的美學知識，數(shù)學中的美形式多樣，如圖形和曲線的對稱美、數(shù)學內(nèi)容和諧美、數(shù)學思維的活力美、解題途徑簡潔美等等，都令人賞心悅目.在高中數(shù)學中注重數(shù)學美的教學，有利于培養(yǎng)學生們對美的感知，樹立起良好的審美觀念，在美中接受到豐富的數(shù)學知識，有助于教師更好地完成新課標的教學目標.