空間機械臂動力學(xué)特性的仿真分析研究

韓東宇，陳歡龍，余春華

(1. 南京理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210094；2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

0 引言

航天飛行器的研發(fā)設(shè)計中，往往無法全面考慮外太空惡劣工況下所出現(xiàn)的突發(fā)狀況，在航天器在軌運行中，也容易發(fā)生表面結(jié)構(gòu)脫離，燃料不足，模塊單元分離或預(yù)設(shè)性動作失諧等情況，這些通常需要空間機器人的協(xié)助操作。特別是遇到大型空間組裝及搬運任務(wù)時，這些在失重環(huán)境下的程序性動作顯得復(fù)雜而難以滿足功能性需求。因此空間機器人的研制對于在軌操作有重要的意義。

為實現(xiàn)航天器研發(fā)及運行過程中所需的維修、加注、回收等有效利用，同時為減少突發(fā)勞損等航天器非自然破壞而引發(fā)的高昂成本，以及減小未來宇航員可能發(fā)生的艙外作業(yè)的危險性，空間機械臂的研究逐漸進入各個國家航天領(lǐng)域的視野[1-2]。

圖2 平移關(guān)節(jié)鎖定時的機械臂D-H坐標(biāo)系Fig.2 D-H coordinate system of manipulator with translational joint locking

空間多自由度機械臂的研究除了需要克服失重條件，另一個難點在于漂浮基座空間位置的不確定性，即基座的可移動性，使機械臂的運動多了移動導(dǎo)軌或者氣浮平臺這個冗余自由度，在完成規(guī)定動作的目標(biāo)任務(wù)時，如何分配運動指令到各個關(guān)節(jié)和移動基座，成為核心的技術(shù)指標(biāo)[3]。另外，衛(wèi)星基座的運動還要考慮到多種非確定性擾動因子。這就使通常的數(shù)學(xué)解析或全物理實驗都受到限制[4]。數(shù)學(xué)解析或純數(shù)字仿真無法真實還原太空環(huán)境，尤其是瞬間碰撞的數(shù)據(jù)無法通過建模準(zhǔn)確測出；而全物理實驗中的重力補償與完全失重區(qū)別較大不能準(zhǔn)確模擬，所以國際上目前最新的方法多是采用數(shù)學(xué)仿真加實驗平臺的半物理方法[5]。

用數(shù)學(xué)仿真完成動力學(xué)過程，將運動指令直接賦給實驗平臺的電機驅(qū)動，將接觸碰撞的力學(xué)數(shù)據(jù)反饋給仿真控制平臺，進行運動補償，從而實現(xiàn)空間機械臂移動路徑的跟蹤規(guī)劃。而數(shù)學(xué)仿真的主要困難在于多剛體系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析。目前機械臂的研究分析一般從結(jié)構(gòu)學(xué)、運動學(xué)及動力學(xué)三方面展開[6]，運動學(xué)方程和動力學(xué)方程是機械臂運動規(guī)劃的基礎(chǔ)。

對多關(guān)節(jié)運動機構(gòu)的研究，通常方法是分別在每個坐標(biāo)系上建立空間坐標(biāo)系，利用齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法，求解出每個關(guān)節(jié)的位置和姿態(tài)，直到末端執(zhí)行機構(gòu)的位姿[7]，即Denavit-Hartenberg方法，但是建立坐標(biāo)系方案的細(xì)節(jié)也有很多種[8-9]。

本實驗研究的對象為星體基座帶三臂的空間機械臂系統(tǒng)，即給定各個關(guān)節(jié)值求末端操作器的物理量。主要困難仍然是由于自由飄浮基座的位置在關(guān)節(jié)角變化過程中同時變化，不能簡單用地面固定基座的方法求解，需要綜合考慮基座位姿變化帶來的影響[10]。在研究空間或移動基座機械臂問題上，較為通行的方案是在固定基座機械臂的運動學(xué)方程基礎(chǔ)上，乘以一個基座隨移動導(dǎo)軌運動的參數(shù)矩陣，從而全面反映整體自由度坐標(biāo)系的運動特性[11-12]。但此方法易出現(xiàn)冗余自由度，難以實現(xiàn)運動指令分配的自動化[13]。而這一問題的解決主要依靠閉環(huán)控制系統(tǒng)完成，通過機械臂的動力學(xué)仿真反饋運動數(shù)據(jù)，進行運動補償，以實現(xiàn)運動分配自動化。

本文將探討運用SimMechanics工具搭建動力學(xué)系統(tǒng)平臺，進而封裝成子模塊，嵌入到控制系統(tǒng)中調(diào)試，進行路徑規(guī)劃，并加載到仿真機中運行。并應(yīng)用Matlab和ADAMS作聯(lián)合仿真[14]，進行動力學(xué)特性的對比分析。

1 機械臂移動路徑系統(tǒng)的原理模型

1.1 參數(shù)化多臂系統(tǒng)建模

機械臂抓捕系統(tǒng)動力學(xué)建模主要包括三個部分：多機械臂系統(tǒng)的建模、操控飛行器平臺的建模以及操作目標(biāo)飛行器的建模。機械臂抓捕系統(tǒng)的動力學(xué)模型示意圖如圖1所示。

圖1 機械臂抓捕系統(tǒng)動力學(xué)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the dynamic model of robotic arm arresting system

空間操控機械臂共有9個關(guān)節(jié)，采用3-1-1-1-3的偏置式布局方式，9個關(guān)節(jié)中包含7個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和2個移動關(guān)節(jié)，其中各轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量分別為θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6，θ7。當(dāng)機械臂執(zhí)行抓捕任務(wù)時，需將兩個平移關(guān)節(jié)鎖定，此時坐標(biāo)系定義如圖2所示。將機械臂的展開狀態(tài)定義為初始參考構(gòu)型。

利用機構(gòu)動力學(xué)仿真分析商業(yè)軟件ADAMS，建立全參數(shù)化的多機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型。利用Matlab/Simulink與ADAMS聯(lián)合仿真，進行運動學(xué)、動力學(xué)以及平臺和多臂系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制分析。其核心問題在于核驗仿真結(jié)果的正確性，所以要基于數(shù)學(xué)動力學(xué)方程的推算與對比。參數(shù)化機械臂動力學(xué)模型的展開和收攏效果示意如圖3所示。

圖3 機械展開和收攏效果示意圖Fig.3 Schematic diagram of mechanical unfolding and folding

1.2 機械臂抓捕動力學(xué)仿真分析

機械臂動力學(xué)仿真分析主要包括以下幾個部分：機械臂位姿反解、關(guān)節(jié)空間的路徑規(guī)劃、笛卡兒空間的路徑規(guī)劃、飛行器的平臺控制、機械臂與平臺的協(xié)同控制、末端工具位姿調(diào)整等。

機械臂路徑規(guī)劃、位姿反解程序、平臺姿態(tài)控制在Matlab/Simulink中編寫程序?qū)崿F(xiàn)，機械臂動力學(xué)模型在ADAMS中實現(xiàn)，通過ADAMS/Control模塊與Simulink控制程序進行信息交互，Simulink向ADAMS輸入機械臂每個關(guān)節(jié)的運動指令和操控飛行器平臺的控制力矩，ADAMS向Simulink反饋狀態(tài)量，完成聯(lián)合仿真。

1.3 機械臂的路徑規(guī)劃與抓捕及其主要問題

對機械臂進行路徑規(guī)劃時，機械臂的基座坐標(biāo)系與抓捕目標(biāo)坐標(biāo)系是相對固定的，因此需要將操控飛行器平臺與大地固定連接，而且需要鎖定機械臂的兩個平移關(guān)節(jié)，并鎖定第二個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。

考慮單臂的路徑規(guī)劃。機械臂處于初始構(gòu)型時，7個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)相對于D-H坐標(biāo)系下的關(guān)節(jié)角為[180° 0° 70° 90° -70° 0° 45°]。

由此可實現(xiàn)以下全過程的仿真分析：機械臂末端工具由起始位置到目標(biāo)特定點的各個關(guān)節(jié)的空間路徑規(guī)劃；機械臂末端到達預(yù)期位置和姿態(tài)時，末端執(zhí)行機構(gòu)接收指令開始工作，實施抓捕動作。

其中主要問題在于核驗仿真分析的正確性，首先對仿真所基于的數(shù)學(xué)原理進行分析，之后再運用兩套仿真系統(tǒng)的結(jié)果數(shù)據(jù)作對比。

2 機械臂系統(tǒng)動力學(xué)建模

2.1 算法原理模型

通過對比國內(nèi)外常用機械臂建模方法的優(yōu)劣，結(jié)合研究方向，采用基于Lagrange的建模方法。

基本假設(shè)：本實驗研究的機械臂系統(tǒng)為剛體系統(tǒng)，且各零件之間彼此剛性連接；機械臂與載體及每條機械臂的臂與臂之間只有一個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)；忽略重力梯度影響。

2.2 運動學(xué)方程

采用基于D-H參數(shù)法的正運動學(xué)建模，正運動學(xué)方程可以描述相鄰連桿坐標(biāo)系之間的相對空間關(guān)系，從而可以根據(jù)每個連桿之間的相互關(guān)系，由基坐標(biāo)系遞推到末端坐標(biāo)系的表達式，即可推導(dǎo)出正運動學(xué)方程。

考慮基座慣性姿態(tài)由俯仰角θb、滾動角φb和偏航角ψb給出，則從慣性坐標(biāo)系到基座坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(1)

三條剛性臂的D-H參數(shù)一致，其中O0-x0y0z0坐標(biāo)原點與安裝坐標(biāo)系原點轉(zhuǎn)換矩陣為固定值。

對于任意一個滿足前述假設(shè)的多自由度運動體系，定義各種運動學(xué)參數(shù)如下。

R安裝坐標(biāo)系原點Oc關(guān)于大地坐標(biāo)系O0x0y0z0的位置矢徑。

v0安裝坐標(biāo)系原點Oc關(guān)于大地坐標(biāo)系O0x0y0z0的瞬時速度。

基于上述定義，可以給出多自由度上任一關(guān)節(jié)點的角速度和角加速度，以及任一點的位置，進一步可以求出其速度和加速度。

第i組機械臂中第j節(jié)臂的質(zhì)心位置為

(2)

第i組機械臂中第j節(jié)臂的質(zhì)心線速度為

(3)

第i組機械臂中第j節(jié)機械臂的質(zhì)心角速度為

(4)

2.3 動力學(xué)方程

三臂多自由度機械臂系統(tǒng)的拉格朗日公式為

(5)

系統(tǒng)的動能為

(6)

為計算方便將T寫成如下形式

T=T0+T1+T2

(8)

(9)

(10)

(11)

系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)選為

(12)

式中：θT為角位移矩陣。

根據(jù)需要改寫為

式中：δ0為本體的歐拉角，q(m)表示第m臂的關(guān)節(jié)角，系統(tǒng)動力學(xué)方程的形式為

(16)

式中：C為一個N×1維矢量，包含了微重力環(huán)境下所有的非線性速度項；Q為一個N×1維廣義力矢量。H,C和Q為線位移σ0和角位移θ以及其一次求導(dǎo)的方程式。如除本體外，施加在系統(tǒng)其他部分的外力為零，則Q可以表示為

(17)

式中：0fs和0ns為施加在飛行器本體上的靜力；JQ為一個N×N的雅克比矩陣；τK×1為施加在各個臂的每個關(guān)節(jié)的控制力矩。為了獲得多臂多自由度空間機械臂的顯式動力學(xué)表達形式，且減小計算的復(fù)雜度，在求解質(zhì)量矩陣H、非線性速度項C和廣義力Q之前，需要做一些預(yù)計算處理。

質(zhì)量矩陣H是加速度項的系數(shù)，經(jīng)過計算得到的Hij為

(18)

此處左上標(biāo)代表的是進行微分的坐標(biāo)系，如果缺省表示慣性坐標(biāo)系。

式中的非線性速度項為

(19)

式中：C1為廣義位移一次求導(dǎo)的系數(shù)矩陣；C2為廣義位移的常量矩陣；而

(20)

(21)

如果除了本體，施加在系統(tǒng)其他部分的外力為零，雅克比矩陣JQ由下式?jīng)Q定，即

(22)

式中：T0為本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，S0為歐拉角速率到角速度的轉(zhuǎn)換矩陣；Ik×k為k階單位陣。定義如下

(23)

0ω0為本體坐標(biāo)系下的角速率矩陣。

至此，便完成了完整的動力學(xué)求解過程。

3 基于Matlab與SimMechanics模塊的動力學(xué)算法驗證

3.1 動力學(xué)模型的構(gòu)建

這里利用Matlab中的Simulink和SimMechanics作機械系統(tǒng)的建模和仿真分析，并將其模型的實時處理結(jié)果加載到仿真機中做硬件在回路的仿真。

SimMechanics內(nèi)嵌于Simscape中，并擴展了其三維機械系統(tǒng)建模的能力，并應(yīng)用sensor和source模塊將其拓?fù)淠Ｐ偷奈锢硇畔⒎答佊诳刂葡到y(tǒng)，實現(xiàn)對閉環(huán)控制算法的開發(fā)。

由于每一個支鏈的結(jié)構(gòu)都是相同的，并且支鏈內(nèi)部的各個參數(shù)涉及轉(zhuǎn)動方向和移動方向的計算。坐標(biāo)系以模型的初始狀態(tài)為基礎(chǔ)，根據(jù)D-H參數(shù)，為方便調(diào)試，每條支鏈在實體模塊中建立一個過渡坐標(biāo)系CS3,并用變量名表示。

Position標(biāo)簽下的CS1、CS2、CG、CS3根據(jù)初始狀態(tài)計算，CG為每個實體初始重心，CS1為該桿與固定平臺或上一實體連接的鉸點坐標(biāo)，CS3為初始狀態(tài)下該桿的長度，CS2為理論上與移動副連接的點坐標(biāo)，因此，把它和CS1的Show Port勾選。方括號中的實際坐標(biāo)值根據(jù)參考的坐標(biāo)系，結(jié)合D-H參數(shù)實際測量后填寫。變量采用結(jié)構(gòu)體(Struct)形式。Orientation下的CG、CS1、CS2和CS3，主要是運動副坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)方式，具體參數(shù)值的設(shè)置主要根據(jù)D-H參數(shù)定義的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。同時將每個臂節(jié)的質(zhì)量慣量參數(shù)設(shè)計成變量輸入到對話窗的Mass和Inertia一欄中。

定義好一個臂節(jié)的參數(shù)后，就將其封裝成一個子模塊，嵌套進一個七自由度機械臂的模塊，最后一個臂節(jié)的實體中CS2的參數(shù)涉及到末端位置姿態(tài)數(shù)據(jù)輸出，要添加額外的關(guān)節(jié)傳感器接口。

圖4為單只機械臂一個臂節(jié)的內(nèi)部模塊選用及構(gòu)架圖，相應(yīng)的英文名稱為具體選取的模塊類型，主要包括actuator(驅(qū)動模塊)，用于傳輸外部驅(qū)動數(shù)據(jù)如速度、力、力矩等，通過圖中的接口drivermo由外部控制系統(tǒng)輸入；sensor(實體傳感器模塊)測出revolute(關(guān)節(jié)模塊)的運動數(shù)據(jù)包括角度angle、角速度avelocity，并通過該名稱的接口反饋給外部控制系統(tǒng)，eye為用戶對相應(yīng)實體的定義，因末端抓捕器含手眼視覺，所以定義為“eye_00”，實體內(nèi)部參數(shù)的定義上面已經(jīng)說明，當(dāng)勾選“Show Port”時，將作為接口連接其他臂節(jié)，CS3未勾選，只作為過渡坐標(biāo)系統(tǒng)，便于不同型號下D-H參數(shù)的輸入。

圖4 單只臂節(jié)的內(nèi)部架構(gòu)Fig.4 Internal structure of single arm

圖5 一條機械臂的內(nèi)部架構(gòu)Fig.5 Internal structure of a mechanical arm

圖6 整個平臺動力學(xué)的架構(gòu)Fig.6 Architecture of the whole platform dynamics

圖5為七個臂節(jié)通過名為“conn”的接口首尾相接構(gòu)成一個完整的機械臂arm，并和其余三個機械臂共同接于ground坐標(biāo)系下的星體安裝接口。其中每一個模塊為一個臂節(jié)，由圖4的臂節(jié)詳圖縮合而成，其輸入端口需從控制系統(tǒng)取得每個臂節(jié)的驅(qū)動參數(shù)，由driver接口輸入，并通過鍵標(biāo)指號“D_A～D_G”引導(dǎo)，其輸出端口由“avelocity”“angle”端口向控制系統(tǒng)反饋每一個關(guān)節(jié)的角速度和角度運動參量，通過“A1～G1”“A_2～G_2”引導(dǎo)。

最后將完全相同的三條七自由度機械臂根據(jù)接口位置定義連接到操控飛行器平臺上，如圖6所示。將機械環(huán)境變量中的重力輸入選項勾掉，設(shè)置固定基座的中心坐標(biāo)默認(rèn)為零，平臺與其連接的關(guān)節(jié)選用Six-Dof 六自由度連接，表示飛行器完全不受約束，其中“Env”代表機械環(huán)境變量，ground為慣性坐標(biāo)系，XY_MoForce為控制系統(tǒng)傳入的飛行器平臺的驅(qū)動數(shù)據(jù)，CS1接口為要向控制系統(tǒng)輸出星體各項運動參量的接口，包括位置p，速度v，角速度ω，姿態(tài)矩陣R和加速度a；并可通過顯示器將其數(shù)據(jù)顯示為隨時間變化的運動曲線。對于其他各條機械臂，除了關(guān)注各個關(guān)節(jié)運動數(shù)據(jù)外，還特別關(guān)注末端的運動數(shù)據(jù),包括位置、姿態(tài)、移動速度、角速度。

SimMechanics模塊最好由每個模塊本身功能及原始英文加編號定義，便于Simulink中的控制系統(tǒng)以及和其他軟件的聯(lián)合調(diào)用，切不可譯成中文，否則會出現(xiàn)調(diào)用失敗。

將整個平臺動力學(xué)SimMechanics模塊搭建好后，就可以設(shè)置輸入輸出接口，然后串行到控制系統(tǒng)中，接收外部輸入的驅(qū)動信號、輸出位置、速度、姿態(tài)等反饋信號，進行控制調(diào)試。

3.2 正逆運動學(xué)以及正動力學(xué)的驗算

將正逆運動學(xué)方程由3.2節(jié)推導(dǎo)的公式編入程序，寫成m文件，或?qū)懭隕mbeded函數(shù)中，輸入不同的關(guān)節(jié)角指令，查驗每個關(guān)節(jié)的位置姿態(tài)矩陣，并將運行結(jié)果輸出到workspace，和SimMechanics每個實體的傳感器sensor檢測到的運動參數(shù)作比對，監(jiān)視其輸出結(jié)果，核驗動力學(xué)模型的正確性。

為核驗動力學(xué)模型的正確性，將ADAMS和SimMechanics搭建的動力學(xué)模型的運算結(jié)果進行比對，在第一個關(guān)節(jié)角處輸入一個正弦力矩驅(qū)動，查驗各關(guān)節(jié)角度、角速度以及角加速度10 s內(nèi)運行的變化曲線，仿真結(jié)果如圖7～9所示。

圖7 單只機械臂各個關(guān)節(jié)角10 s內(nèi)的變化Fig.7 Variation of each joint angle of the single arm in 10 s

圖8 單只機械臂各個關(guān)節(jié)角角速度10 s內(nèi)的變化Fig.8 Variation of angular velocity of each joint angle of the single arm in 10 s

圖9 單只機械臂各個關(guān)節(jié)角角加速度10 s內(nèi)的變化Fig.9 Variation of acceleration of each joint angle of the single arm in 10 s

經(jīng)過核驗，發(fā)現(xiàn)在不同關(guān)節(jié)輸入不同驅(qū)動下，其運算后的角度、角速度及角加速度曲線與ADAMS驗算的仿真曲線基本一致。圖10～11為在星體上的第一安裝坐標(biāo)系原點上輸入一個正弦驅(qū)動后，其末端的工況曲線，包括機械臂末端相對于本體基座的姿態(tài)角(圖10)，相對于平臺的角速度(圖11)。從而驗證了兩種動力學(xué)模型構(gòu)建的正確性。

圖10 機械臂末端相對于平臺的姿態(tài)角Fig.10 Attitude angle of the manipulator relative to the platform

圖11 機械臂對于平臺的相對角速度Fig.11 Relative angular velocity of the manipulator to the platform

4 結(jié)束語

本文首先應(yīng)用拉格朗日公式推導(dǎo)了空間平臺帶3個機械臂的運動學(xué)方程和動力學(xué)方程，并利用SimMechanics工具箱以及ADAMS軟件分別實現(xiàn)了對空間操控飛行器帶三個七自由度機械臂的動力學(xué)模型的搭建，然后通過算法程序計算了末端執(zhí)行器的靜位姿態(tài)，核驗了運動學(xué)理論方程的正確性，再通過在不同的關(guān)節(jié)處輸入不同的關(guān)節(jié)驅(qū)動，觀察各個自由度的工況曲線，核查動力學(xué)模型的正確性。

動力學(xué)模型的搭建，實現(xiàn)了對空間機械臂在軌操作和抓捕等的仿真和運動模擬，為研究空間機器人問題奠定基礎(chǔ)，并可嵌入到控制系統(tǒng)中，實現(xiàn)閉環(huán)聯(lián)合仿真測試，也可以為進一步半物理實驗做好基礎(chǔ)準(zhǔn)備工作。

該多自由度機械臂動力學(xué)特性的理論分析和數(shù)學(xué)仿真是機器人學(xué)應(yīng)用的核心問題。在多體動力學(xué)的諸多領(lǐng)域，該多自由度機械臂有廣泛的應(yīng)用前景：航天領(lǐng)域如在軌操作、艙外維修等；醫(yī)學(xué)、建設(shè)、機械、生活領(lǐng)域，如醫(yī)用助力臂、車間沖壓機械手、自動焊接設(shè)備、吊車抓捕、家用洗碗機等，建立模型時只需在機械環(huán)境變量中設(shè)置重力慣性環(huán)境。

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