淺談重積分的應(yīng)用

摘要：高等數(shù)學(xué)是大學(xué)一年級的一門基礎(chǔ)課程，而重積分是高等數(shù)學(xué)積分學(xué)的教學(xué)中的重要內(nèi)容。如何讓學(xué)生理解和掌握好這部分的知識點，是高校數(shù)學(xué)教學(xué)中一個非常值得探討的課題。在本文中，討論了怎樣利用重積分求解物體的質(zhì)心問題。結(jié)合實際應(yīng)用，使學(xué)生更好地理解所學(xué)的知識。

關(guān)鍵詞：重積分；元素法；質(zhì)心

一、 引言

大學(xué)的生活是豐富美好的，而數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)卻往往令大部分學(xué)生感到望而生畏。高等數(shù)學(xué)這門課程是學(xué)生在大學(xué)一年級就會接觸到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。其對其他數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)有著重要的影響。因此，高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)在大學(xué)學(xué)習(xí)中是非常受到關(guān)注的。

如何在高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)刈龅嚼碚撀?lián)系實際，進(jìn)而提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主動性呢？接下來，通過對重積分的應(yīng)用這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計來簡單地探討這個問題。在同濟大學(xué)第7版的《高等數(shù)學(xué)》中，我們在第十章第四節(jié)中討論了重積分的應(yīng)用。具體地，利用重積分計算了曲面的面積、物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量與引力。本文針對物體的質(zhì)心求解問題來探討這一節(jié)的教與學(xué)。

二、 重積分求解物體的質(zhì)心

利用重積分求解物體的質(zhì)心是建立在重積分元素法的基礎(chǔ)上的，而重積分的元素法是定積分元素法的推廣。因此，在本堂課程的教學(xué)中我們首先回顧定積分的元素法。在高等數(shù)學(xué)上學(xué)期的第六章第七節(jié)中我們學(xué)習(xí)了定積分的元素法。其主要分為三個步驟：首先合理地選擇積分變量，然后求出部分量的近似值的表達(dá)式，最后對所得的近似值求解定積分。我們知道定積分針對的是一元函數(shù)，而二重積分的積分對象是二元函數(shù)。因此，增加定積分元素法中的變量個數(shù)，并在積分區(qū)域上對得到的近似值求解二重積分可以建立重積分元素法。

接下來，通過重積分的元素法求解物體的質(zhì)心。假設(shè)平面薄片為xOy面上的閉區(qū)域D，面密度μ（x，y）連續(xù)，求解物體質(zhì)心的坐標(biāo)（圖1）。

根據(jù)重積分的元素法，可以求解出質(zhì)量元素dM=μ（x，y）dσ，對x軸的靜矩元素dMx=yμ=（x，y）dσ，對y軸的靜矩元素dMy=xμ（x，y）dσ，其中dσ是面積微元。在區(qū)域D上，對各項元素求解二重積分可以得到物體的質(zhì)心坐標(biāo)：X=MyM=∫∫yμ（x，y）dσ∫∫μ（x，y）dσ。

三、 質(zhì)心問題的應(yīng)用

最后，通過舉例說明物體質(zhì)心問題在實際生活中的應(yīng)用。在體育賽事中，我們能欣賞到運動員在跳高項目的精彩表現(xiàn)。為什么背越式的跳高特別受到運動員的青睞呢？在圖2中描述了兩種不同的跳高方式，分別為背越式與俯臥式。當(dāng)運動員在起跳時，其將生物能轉(zhuǎn)化為動能。因此，運動員采用兩種不同方式跳高時，身體在最高點處的質(zhì)心在同一水平線上（黑色實心點）。當(dāng)背越式跳高時，質(zhì)心在身體外，處于腰部以下。而俯臥式的跳高方式中，質(zhì)心位于身體上，處于腹部位置。因此，在俯臥式跳高中，為了使運動員成功越過橫桿，需要將橫桿設(shè)置在質(zhì)心的下方。對比橫桿的位置，可以發(fā)現(xiàn)采用背越式跳高可以幫助運動員取得更好的成績。

四、 結(jié)論

通過對背越式跳高秘密的分析，我們可以更好地理解物體質(zhì)心在實際生活中的應(yīng)用。學(xué)以致用，這也是對所學(xué)內(nèi)容的最好的理解。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 孫泊，閆之樸，趙美魯，等.背越式跳高起跳技術(shù)分析[J].聊城大學(xué)學(xué)報，2006（19）：78-80.

作者簡介：左玲，湖北省武漢市，湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院。