非小角度擺的周期研究

徐元熙

摘 要：欲非小角度擺的周期需結(jié)合使用理論分析，實(shí)驗(yàn)探究，現(xiàn)象推理的方法，周期大小在重力加速度一定，忽略空氣阻力的時(shí)候，有擺長(zhǎng)，擺角與擺錘質(zhì)量可能對(duì)其進(jìn)行影響。當(dāng)擺角小于5度，擺長(zhǎng)在1米左右，可當(dāng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)處理，其理論結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相差不遠(yuǎn)。而當(dāng)擺角較大，擺長(zhǎng)較小時(shí)，不能當(dāng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)處理。因此需要進(jìn)一步研究。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)螖[；周期；橢圓積分；能量守恒

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.06.080

1 引言

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為位移與時(shí)間關(guān)系遵從正弦（或余弦）函數(shù)規(guī)律的振動(dòng)，其周期T=2π×mk，其中m為振子質(zhì)量，k為振動(dòng)系統(tǒng)的回復(fù)力系數(shù)，所以知道小角度擺的周期T=2π×Lg，其中L為擺長(zhǎng)，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。我們認(rèn)為：小角度擺之所以能夠當(dāng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)處理，是因?yàn)樗慕强梢院雎圆挥?jì)，而大角度擺則需同時(shí)考慮擺長(zhǎng)與擺角，所以需要新的的公式。

2 小角度擺

首先我們從小角度擺進(jìn)行分析，對(duì)于一個(gè)小角度擺，其擺角大小趨近于0，設(shè)擺角為θ當(dāng)它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，其加速度為θg，將其運(yùn)動(dòng)等效于一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其法相加速度等于gθ，同時(shí)也等于v2r，其中由于θ比較小，其半徑約為L(zhǎng)θ，可以解出v=θgl，該等效圓的周長(zhǎng)=2πr=2πθl，其周期為周長(zhǎng)與速度的比值，解得t=2πl(wèi)g，而大角度擺不成立的原因?yàn)槠溥\(yùn)動(dòng)不能等效于一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

3 理論分析

對(duì)于這類問題，一般有4種解法。包括最基本的牛頓第二定律與速度基本公式，比較巧妙的能量守恒，動(dòng)量守恒。對(duì)于能量守恒，只能算出其速度與位移的關(guān)系，而對(duì)于計(jì)算周期并沒有什么直接作用，對(duì)于動(dòng)量守恒，由于擺線與重力同時(shí)對(duì)其作用，由于在一段長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)在固定方向上動(dòng)量不守恒，故很難算出其規(guī)律，而由于其主體為運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，使用牛頓第二定律不如直接分析其運(yùn)動(dòng)，故只能回歸最初級(jí)的運(yùn)動(dòng)分析。由于很容易使用能量守恒算出每一小段的速度，并且可以根據(jù)速度算出每一小段所用時(shí)間。故很容易想到要使用微積分，從而將每一小段時(shí)間進(jìn)行積分，進(jìn)而算出整個(gè)周期。

4 思路概述

首先，通過能量守恒算出速度，其次，利用角速度是角度關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，從而反解小段時(shí)間，再將所有小段時(shí)間進(jìn)行積分，再用一系列三角函數(shù)恒等變化后，將此積分算出或轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢山馕龇e分，從而得出最終答案。

5 理論推導(dǎo)

如圖所示，設(shè)單擺的長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺錘的質(zhì)量為m，當(dāng)單擺的偏角為θ，設(shè)此時(shí)擺錘速度為v，其動(dòng)能為12mν2，其重力勢(shì)能為mgh，通過分析該系統(tǒng)內(nèi)的幾何關(guān)系，其中h=l（1-cosθ）由于均為保守力做功，可由能量守恒定律知，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能與勢(shì)能總和一定，其勢(shì)能只有重力勢(shì)能。所以可以列出方程12mv2+l（1-cosθ）mg（c為常數(shù)），通過最高點(diǎn)狀態(tài)，求出常數(shù)c，可求出c=l（1-cosα）mg，將c代入得，12mv2+l（1-cosθ）mg=l（1-cosα）mg，化簡(jiǎn)得12mv2=1mg（cosθ-cosα），進(jìn)一步化簡(jiǎn)得v2=21g（cosθ-cosα）（1）

由于角速度為角度的一階導(dǎo)數(shù)，而線速度為角速度乘以半徑，則有：

6 實(shí)驗(yàn)探究

6.1 實(shí)驗(yàn)用具

帶橫梁鐵架臺(tái)、細(xì)線、小球、秒表、游標(biāo)卡尺、直尺、量角器。

6.2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

①組裝實(shí)驗(yàn)器材如圖1所示，校準(zhǔn)水平，調(diào)整角度，使得擺動(dòng)在同一平面內(nèi)。

②調(diào)整擺長(zhǎng)為L(zhǎng)1，擺角為thita1，將其由靜止釋放，并按下秒表。記錄擺動(dòng)15次的時(shí)間為t1。

③仿照②改變擺長(zhǎng)擺角再做35次。

④分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論。

6.3 實(shí)驗(yàn)誤差分析

試驗(yàn)中，本地的重力加速度為一個(gè)不確定的值。故無法直接按照9.8m/s2算。并且現(xiàn)實(shí)中具有空氣阻力，測(cè)量值會(huì)有一定的偏差。橢圓積分只能知道它的近似值，不能知道準(zhǔn)確值也會(huì)造成少量誤差。

7 單擺的應(yīng)用

7.1 單擺機(jī)械鐘

圖2即是惠更斯擺鐘的基本結(jié)構(gòu)。鐘的機(jī)械動(dòng)力仍由重錘提供，但擒縱器的擺動(dòng)頻率由單擺控制。一個(gè)與擒縱器心軸連在一起的L形桿伸向單擺，L形桿的桿頭分叉，剛好卡住剛性的擺棍（如圖2），單擺擺動(dòng)時(shí)帶動(dòng)L形桿轉(zhuǎn)動(dòng)，從而把擺動(dòng)的頻率傳遞給擒縱器。擺鐘的優(yōu)越性在于，單擺的頻率與推動(dòng)它的初始力量無關(guān)，而只與重力和擺長(zhǎng)有關(guān)，這樣守時(shí)機(jī)構(gòu)就真的不再受到動(dòng)力機(jī)構(gòu)的干擾了。之后，惠更斯又發(fā)明了一種游絲—擺輪裝置。游絲是一個(gè)螺旋形的彈簧，連在擺輪上，當(dāng)擺輪向一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使游絲發(fā)生形變，產(chǎn)生一個(gè)力拉動(dòng)擺輪回轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)過平衡位置后，游絲再一次發(fā)生形變，又產(chǎn)生一個(gè)反向的力，重新把擺輪拉回來。這樣就能維持一種能夠周期性的震動(dòng)，像橫擺、單擺一樣，用來控制擒縱器的頻率。游絲—擺輪與單擺一樣獨(dú)立于動(dòng)力機(jī)構(gòu)，其頻率不受其他機(jī)械部分影響，而利用游絲—擺輪制成的鐘表相對(duì)于擺鐘的優(yōu)點(diǎn)主要在于不依靠重力，因此只要設(shè)計(jì)合理，那么其在移動(dòng)中仍可準(zhǔn)確走時(shí)，也就意味著相對(duì)更加便攜。后來英國(guó)人哈里森發(fā)明的第一臺(tái)能夠精確運(yùn)行的航海鐘就采用這種機(jī)構(gòu)的。

7.2 測(cè)量當(dāng)?shù)刂亓铀俣?/p>

單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期由單擺的長(zhǎng)度和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葲Q定，其周期為T=2πl(wèi)g，從中可以看到若能測(cè)得單擺運(yùn)動(dòng)的周期和擺長(zhǎng)，則可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，這節(jié)我們來測(cè)量我們所在處的重力加速度。

問題一：測(cè)量重力加速度。

解讀：?jiǎn)螖[在偏角很小（小于10°）時(shí)，其擺動(dòng)可看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其固有周期T=2πl(wèi)g，由該式可得g=4π2lT2，據(jù)此，我們只要通過實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出擺長(zhǎng)l和周期T，就可以通過計(jì)算得到當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。

問題二：實(shí)驗(yàn)操作過程。

解讀：（1）讓細(xì)線穿過球上的小孔，在細(xì)線一端打一個(gè)稍大些的結(jié)，制成一單擺。

（2）將鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂。

（3）用刻度尺和游標(biāo)卡尺測(cè)擺長(zhǎng)（擺長(zhǎng)l=擺線長(zhǎng)l′+小球半徑r）。

（4）把此單擺從平衡位置拉開一個(gè)角度，并使這個(gè)角度不大于10°，然后放開擺球讓它自由擺動(dòng)，待擺球擺動(dòng)穩(wěn)定后，當(dāng)擺球過最低位置時(shí)，用秒表開始計(jì)時(shí)，測(cè)出單擺完成50次（或30次）全振動(dòng)的時(shí)間，求出完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，即周期T。

（5）改變擺長(zhǎng)，反復(fù)測(cè)量幾次，求出重力加速度，算出重力加速度g的平均值。

問題三：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。

解讀：數(shù)據(jù)的處理一般有兩種方法，即計(jì)算平均值法和圖像法。

（1） 所謂平均值法，就是將測(cè)得的幾組l、T值代入關(guān)系式g=4π2lT2，求出幾個(gè)g值，然后求平均值。

（2）圖像法即以擺長(zhǎng)l作為橫軸，以T2為縱軸，通過描點(diǎn)作出T2-l圖像，求出斜率k，則g=4π2k.則該地重力加速度g=4π2k=4π2tanα。

參考文獻(xiàn)

[1]黃正平.單擺周期公式的理解和應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化：高二版，2008，（9）.

[2]沈晨，許炎橋，袁張瑾.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2010.