初中數(shù)學(xué)“組合變式”的探究與實(shí)踐

◎ 李 貞

“組合變式”是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中變式的發(fā)展研究。本文闡述了“組合變式”產(chǎn)生的背景，同時(shí)列舉了“組合變式”的兩個(gè)具體課例。實(shí)踐證明，“組合變式”對(duì)于解決復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生自主建構(gòu)完整的學(xué)科體系、提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)力有著積極的作用。

一、“組合變式”的設(shè)計(jì)背景

變式教學(xué)是在不斷發(fā)展變化的，“組合變式”的雛形已經(jīng)顯現(xiàn)出它的生命力。2012年筆者受新加坡國(guó)家教育部的邀請(qǐng)，對(duì)新加坡的全體數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了為期兩周的培訓(xùn)，其中包括變式教學(xué)的培訓(xùn)。

（一）變式教學(xué)發(fā)展的訴求

以往，一般教師在對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式時(shí)，比較多的是單一地改變條件或結(jié)論，或者將問(wèn)題中的條件和結(jié)論互換，形成新的問(wèn)題，這樣單一的變換能在一定程度上喚起學(xué)生的求知欲，但是對(duì)于問(wèn)題的本質(zhì)以及各條件、結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，學(xué)生并沒(méi)有整體的認(rèn)識(shí)。而在概念課教學(xué)中，一般教師往往按照書(shū)本流程進(jìn)行教學(xué)，對(duì)各定理逐一進(jìn)行講解，只注重單一定理的教學(xué)，不考慮定理和定理之間的聯(lián)系，對(duì)于定理的整體性認(rèn)識(shí)較弱。經(jīng)過(guò)一堂課或一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)不到知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解不深刻，影響了學(xué)習(xí)質(zhì)量。

（二）“組合變式”的內(nèi)涵闡釋

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有相當(dāng)一部分的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)由若干個(gè)獨(dú)立的條件和結(jié)論組成，而將問(wèn)題中的條件和結(jié)論拆開(kāi)，看作是確定這一問(wèn)題的若干個(gè)并列的元素，再將其中的幾個(gè)元素作為已知條件，其余元素作為結(jié)論，可以衍變出許多互相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題。我們稱這種變式方法為“組合變式”。

（三）“組合變式”的研究?jī)r(jià)值

筆者認(rèn)為，“組合變式”的研究具有一定的實(shí)踐和理論價(jià)值。具體體現(xiàn)在：通過(guò)“組合變式”可以構(gòu)建復(fù)雜多變的問(wèn)題系列；在學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)中可以起到積極的作用；可以與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)整合起來(lái)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

筆者長(zhǎng)期以來(lái)運(yùn)用“組合變式”進(jìn)行課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)這一方法在整個(gè)初中數(shù)學(xué)中有較大的普適性。例如，“平行四邊形的判定”“相似三角形的判定”“垂徑定理” “圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”“直角三角形的性質(zhì)”“直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用”等，均可用“組合變式”編寫(xiě)教案，組織教學(xué)。于是筆者從中選取兩個(gè)具有代表性的課例作為研究的載體，以此來(lái)說(shuō)明怎樣通過(guò)教師教學(xué)方法和教學(xué)策略的改變，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方法和思維方式的改變，以達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率的目的。

二、“組合變式”在幾何概念課中的實(shí)施

如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論的個(gè)數(shù)和在3個(gè)或3個(gè)以上，那么相應(yīng)的這類概念、定理的教學(xué)就可嘗試采用“組合變式”進(jìn)行教學(xué)。如果問(wèn)題條件或結(jié)論的獨(dú)立元素總數(shù)是n，能確定結(jié)論成立的元素個(gè)數(shù)是m(n＞m) ，那么可以組合衍變出Cmn個(gè)問(wèn)題。教師可以根據(jù)任教班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，選擇其中若干個(gè)問(wèn)題組織課堂教學(xué)。下文以“平行四邊形的判定”一課為例，具體說(shuō)明“組合變式”在幾何概念課中如何實(shí)施。

“平行四邊形的判定”是一節(jié)幾何概念課，教材上安排了兩課時(shí)。筆者第一次上這堂課就意識(shí)到：平行四邊形的判定與在這之前遇到的特殊圖形的判定不一樣，例如等腰三角形、直角三角形只要把性質(zhì)定理反過(guò)來(lái)就是了，不存在“對(duì)不對(duì)”“還有沒(méi)有”的問(wèn)題；第二次上這堂課，把這幾條判定定理做了一番梳理，讓學(xué)生體會(huì)出這幾條判定定理與平行四邊形性質(zhì)之間的關(guān)系；第三次上這堂課之前深入地思考了這些問(wèn)題，把“對(duì)邊平行”“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”“對(duì)角線平分”作為單獨(dú)的條件，兩兩組合，逐一審視。

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

1. 列出組合清單

平行四邊形的兩組對(duì)邊平行、兩組對(duì)邊相等、兩組對(duì)角相等，共六個(gè)條件。反過(guò)來(lái)，對(duì)于一般四邊形，從其中的兩個(gè)條件出發(fā)，是不是都能推出這個(gè)四邊形是平行四邊形呢？

圖1 組合圖示

這15種情況可以分為以下3種類型。

（1）（圖1中雙實(shí)線所示） 平行四邊形的定義（兩組對(duì)邊分別平行），或容易轉(zhuǎn)化為平行四邊形的定義（一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等）；

（2）（圖1中單實(shí)線所示） 真命題（圖1 中 1、2、3）；

（3）（圖1中單虛線所示）不能確定是否為真命題（一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等，一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等）。

2. 確定解決方案

對(duì)真命題，經(jīng)過(guò)證明確定其正確性，得到判定定理1、2、3，這是本課的重點(diǎn)所在。不能確定是否正確的命題，如果能夠舉出反例（即符合條件但不能推出是平行四邊形），那么該命題為假命題，這是本課的難點(diǎn)所在。對(duì)于“一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等”舉反例比較困難，下面提供兩個(gè)反例做參考。

圖2 反例圖示

3. 開(kāi)拓延伸空間

考慮將“對(duì)角線平分”也納入并列的條件，又有哪些情況？如圖3所示。

圖3 “對(duì)角線平分”納入并列的條件情況示例

根據(jù)上文，做類似的分析如下。

（1）從“OA=OC且OB=OD”出發(fā)，能推出圖形是平行四邊形，得到判定定理4；

（2）從“OA=OC且AB//DC”出發(fā)，能推出圖形是平行四邊形，但不納入判定定理；

（3）從“OA=OC且AB=DC”出發(fā)，屬于“邊邊角”，不能推出圖形是平行四邊形；

（4）從“OA=OC且∠A=∠C”出發(fā)，能否推出圖形是平行四邊形？

（5）從“OA=OC且∠B=∠D”出發(fā)，能否推出圖形是平行四邊形？

進(jìn)一步思考可知（4）是假命題，反例如圖4所示。

圖4 反例圖示

（5）是真命題，證明思路見(jiàn)圖5（反證法）。

圖5 反證法圖示

（二）課堂教學(xué)行為的變化

在課堂教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，筆者特別關(guān)注以下幾個(gè)環(huán)節(jié)。

1. 基于已有平行四邊形的性質(zhì)的認(rèn)知準(zhǔn)備，學(xué)生積極猜測(cè)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件

在學(xué)生回顧了平行四邊形的定義和性質(zhì)后，教師鼓勵(lì)學(xué)生利用已有的知識(shí)大膽猜測(cè)來(lái)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的可能條件。相應(yīng)的教學(xué)片段如下。

師：剛才我們一起回憶了平行四邊形的性質(zhì)，并結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)符號(hào)一一羅列。我們把這些條件看作是確定圖形的條件，請(qǐng)你思考一下，在這些條件里，選擇盡可能少的條件判定這個(gè)四邊形是平行四邊形。

生：AB=CD，AD=BC；∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD；AO=CO，BO=DO。

師：還有嗎？

生：AD=BC，AD//BC；AD=BC，AB//CD。

生：還有AD//BC，∠ABC=∠ADC ；AB//CD，∠BAD= ∠BCD 。

生：我覺(jué)得剛才他說(shuō)的兩種情況是重復(fù)的。

師：的確，這兩種情況都是一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等。還有別的組合嗎？

生：我不知道這個(gè)組合能不能判定這個(gè)四邊形是不是平行四邊形。

師：沒(méi)事，說(shuō)說(shuō)看。

生：我覺(jué)得還有AD=BC，∠ABC=∠ADC；AD=BC，AO=CO；AD//BC，AO=CO；∠ABC=∠ADC ，AO=CO……

在上述片段中，教師讓學(xué)生在確定平行四邊形的條件中，選擇盡可能少的條件來(lái)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，而不是給出書(shū)本上的四個(gè)判定定理，逐一證明。這樣，學(xué)生會(huì)從條件的組合出發(fā)，得出更多的猜想，這里有真命題，也有假命題。由于這是學(xué)生自己猜想得出的，因此誘發(fā)了他們迫切的證明其真假的愿望。

2. 學(xué)生自主探究，驗(yàn)證命題

學(xué)生在八年級(jí)第一學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)要證明一個(gè)命題是真命題需要嚴(yán)格論證，而要說(shuō)明一個(gè)命題是個(gè)假命題只要舉出一個(gè)反例。以下教學(xué)片段是學(xué)生小組討論后的全班交流。

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你們的想法。

生：我們小組舉了個(gè)例子說(shuō)明“AD=BC，AB//CD”這兩個(gè)條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形。

師：噢？請(qǐng)拿好工作單上臺(tái)展示給大家看。

生：我畫(huà)了一個(gè)等腰梯形，這個(gè)等腰梯形AB//CD，AD=BC，但是這不是平行四邊形。

師：非常好！我們要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例就可以了。

生：老師，我們小組覺(jué)得“AD=BC，∠ABC=∠ADC ”也不能判定四邊形ABCD是平行四邊形。

師：嗯，說(shuō)說(shuō)你們的想法。

生：聯(lián)結(jié)AC，必須要證明“三角形ADC和三角形CBA全等”，但是這里證明全等的條件是SSA。

師：有道理噢，但是我們不能因?yàn)樽C不出來(lái)就說(shuō)這是個(gè)假命題，還是需要像前一個(gè)小組一樣舉出一個(gè)反例來(lái)……

上述片段是學(xué)生對(duì)自己得出的錯(cuò)誤命題的反駁。一組學(xué)生對(duì)于“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”這一猜想找到了“等腰梯形”這一反例，成功地將其反駁。另一組學(xué)生在證明“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”時(shí)出現(xiàn)“邊邊角”而無(wú)法證明其正確性，認(rèn)為這是一個(gè)假命題。此時(shí)教師出場(chǎng)，引導(dǎo)學(xué)生一起尋找反例。

在以往的教學(xué)中，我們往往關(guān)注知識(shí)的傳授與獲得。例如，在本節(jié)課的教學(xué)中，會(huì)把學(xué)生是否掌握平行四邊形的判定定理作為教學(xué)成功與否的唯一標(biāo)準(zhǔn)。而“組合變式”把所有的條件和結(jié)論都看成是“平等的”因素，對(duì)這些因素做各種不同的組合，一部分作為條件，另一部分作為結(jié)論，大大擴(kuò)大了逆命題的范圍，豐富了幾何定理的內(nèi)涵。本課中涉及的幾何命題有二三十個(gè)之多，必須迅速地判定其真?zhèn)?，并迅速地確定處理方法，是對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和轉(zhuǎn)換判斷能力的全面考察。這種能力具體表現(xiàn)為三個(gè)方面：一是關(guān)聯(lián)組合能力，二是逆向思維能力，三是推理論證能力。因此在這節(jié)課中筆者更關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和學(xué)習(xí)能力的提高?！敖M合變式”拉近了學(xué)生與學(xué)生之間的距離，增強(qiáng)了學(xué)生間相互交流的機(jī)會(huì)，形成了合作學(xué)習(xí)的課堂氛圍。

三、“組合變式”在習(xí)題課中的運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)中絕大部分的習(xí)題都是由若干個(gè)條件和結(jié)論組成的（條件和結(jié)論的個(gè)數(shù)總和是三個(gè)和三個(gè)以上），這類習(xí)題也可以用“組合變式”嘗試教學(xué)。具體操作方法是：將題目中的條件和結(jié)論看作是確定這一問(wèn)題的若干個(gè)并列的元素，選取其中若干個(gè)元素作為已知條件，其余元素作為結(jié)論，組合變化出一系列問(wèn)題。當(dāng)然，如果題目中條件與結(jié)論的總個(gè)數(shù)太多，可選擇其中個(gè)別元素作為大前提，固定不變，讓其余元素參與組合變換。在組織教學(xué)時(shí)，若學(xué)生的學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，可跟學(xué)生講清“組合變式”的規(guī)則，讓學(xué)生參與改題編題。下面筆者以“直角三角形的性質(zhì)（第三課時(shí)）”一課為例，具體說(shuō)明“組合變式”在習(xí)題課中如何實(shí)施。

“直角三角形的性質(zhì)第三課時(shí)”是一節(jié)習(xí)題課。這節(jié)課是運(yùn)用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，課本安排了兩個(gè)例題。一般在課堂教學(xué)時(shí)教師會(huì)先教這兩個(gè)例題再完成書(shū)后練習(xí)，有時(shí)候也會(huì)根據(jù)班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力增加1—2個(gè)習(xí)題。那么究竟增加什么練習(xí)？究竟怎樣把書(shū)本上的例題用足、用透？為此，筆者對(duì)這兩道例題以及和它們相關(guān)的練習(xí)題放在一起進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們的條件和結(jié)論穿插交替出現(xiàn)，可以看作幾個(gè)并列的元素，將其中的一個(gè)元素作為結(jié)論，其余元素作為條件，都能構(gòu)成真命題。以下兩個(gè)例題是介紹如何靈活運(yùn)用 “組合變式”的。

例題1 如圖6所示，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F是 AB的中點(diǎn)。求證：EF//AC。

圖6 例題1圖示

這道題可以看作由① AD平分∠BAC ，②BE⊥AD，③ 點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)這三個(gè)條件和④ EF//AC這個(gè)結(jié)論組成，把這三個(gè)條件和一個(gè)結(jié)論看作并列的四個(gè)元素，取其中三個(gè)作為條件，第四個(gè)作為結(jié)論，可以組合出四個(gè)不同的問(wèn)題。例題1的原題是①②③推得④，其余三個(gè)問(wèn)題（①②④推③、①③④推②、②③④推①），可以證明這三個(gè)都是真命題。這樣一來(lái)，例題1運(yùn)用“組合變式”方法就可變出四道題，在解決這四個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，不僅僅運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)，而且使學(xué)生更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了圖形的本質(zhì)，條件與條件之間的關(guān)聯(lián)。

例題2 如圖7所示，在三角形ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、 D分別是AB、MB的中點(diǎn)。求證：CD⊥AB。

圖7 例題2圖示

可以用研究例題1的方法研究例題2。這道題可以看作“在三角形ABC中∠ACB=90°”這個(gè)大前提下，由①∠A=30°，② M是AB的中點(diǎn)，③ D是MB的中點(diǎn)這三個(gè)條件和④CD⊥AB這個(gè)結(jié)論組成，同樣地把三個(gè)條件和一個(gè)結(jié)論看作并列的四個(gè)元素，取其中三個(gè)作為條件，第四個(gè)作為結(jié)論，可以組合出四個(gè)不同的命題。例題2的原題是①②③推得④。其余三個(gè)命題也都可以證明是真命題，由于已有例題1運(yùn)用這一研究方法的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此例題2完全可以放手讓學(xué)生自己對(duì)四個(gè)元素進(jìn)行組合得出變式題，然后嘗試解決。

在完成例題2的四個(gè)變式題之后，還可以將例題2中的部分條件和圖形中的部分線段隱去，成為以下這道開(kāi)放題3，在解決這一問(wèn)題時(shí)再次提升對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

開(kāi)放題3 如圖8所示，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，________________ 。求證：∠A=30°。請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)一個(gè)條件（必須是關(guān)于圖8中兩條線段之間數(shù)量關(guān)系的條件）。

圖8 開(kāi)放題3圖示

四、結(jié)論與反思

經(jīng)過(guò)筆者十多年對(duì)變式教學(xué)的探索，從習(xí)題變式、單一條件與結(jié)論互換的變式，逐步形成問(wèn)題系列的“組合變式”。相對(duì)于一般的變式方法，“組合變式”可以做到更具規(guī)范性、更有條理性，變式的容量是有計(jì)劃的、可預(yù)測(cè)的。這一教學(xué)方法大大提高了教學(xué)效能，從中得出以下三個(gè)方面的結(jié)論。

（一）“組合變式”的適用范圍廣泛

變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)課中已經(jīng)得到普遍的推廣和運(yùn)用。經(jīng)過(guò)多年的課堂教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為，“組合變式”比以往單一的傳統(tǒng)的變式具有更強(qiáng)的普適性和目的性。這一教學(xué)方法可廣泛運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)概念課、習(xí)題課，且適用于不同基礎(chǔ)的學(xué)生及不同類型的學(xué)校。除本文前面提到的兩堂課之外，筆者對(duì)九年級(jí)第二學(xué)期的“垂徑定理”、八年級(jí)第一學(xué)期的“直角三角形性質(zhì)2的兩個(gè)推論”都采用這一方法進(jìn)行了教學(xué)，而且在不同的范圍內(nèi)做過(guò)公開(kāi)展示。實(shí)踐證明，在這樣的思維訓(xùn)練下，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)水平、分析和解決問(wèn)題的能力都有大幅度提高。

（二）“組合變式”推動(dòng)教學(xué)方式的改變

“組合變式”給學(xué)生提供了一個(gè)較為完整的知識(shí)整體結(jié)構(gòu)和完整的問(wèn)題系列，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)做全面深入的理解，并形成合理的、本質(zhì)相關(guān)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一旦將“組合變式”運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，問(wèn)題的思維深度、問(wèn)題的變式容量大大增加，這就迫使教師改變一講到底的教學(xué)方式，而采用合作學(xué)習(xí)的方式。也迫使學(xué)生改變?cè)械谋粍?dòng)接受的學(xué)習(xí)方式，主動(dòng)構(gòu)建過(guò)程體驗(yàn)，改變了被動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。因此，教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖M合變式”創(chuàng)造了有利條件，“組合變式”進(jìn)一步推動(dòng)了課堂教學(xué)的轉(zhuǎn)型。

（三）“組合變式”提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量

學(xué)習(xí)方式改變的真正目的在于改進(jìn)學(xué)習(xí)質(zhì)量。近幾年筆者將“組合變式“教學(xué)運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期科學(xué)的變式訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解程度、學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、探究和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力都有顯著提升。與此同時(shí)，師生關(guān)系更加融洽，學(xué)生對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)這門(mén)課的自信心有所提高。

然而，代數(shù)課中能不能運(yùn)用“組合變式”來(lái)組織教學(xué)？這也是筆者正在思考的問(wèn)題。變式思想的“變”是趣味無(wú)窮的，運(yùn)用“組合變式”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的領(lǐng)域?qū)拸V，課題豐富，值得教師繼續(xù)開(kāi)發(fā)研究，繼續(xù)探究實(shí)踐。

［1］張人利. 后“ 茶館式”教學(xué)［M］. 上海：上海教育出版社，2014.

［2］張人利. 后“ 茶館式”教學(xué)的實(shí)踐指導(dǎo)［M］. 上海：上海教育出版社，2016.