基于目標(biāo)規(guī)劃的CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定

沈詩(shī)羽 顧融智 何文

摘要：隨著醫(yī)療與工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，CT系統(tǒng)透射成像的應(yīng)用也愈加廣泛。該文通過(guò)引入Beer-Lambert衰減定律與投影公式，結(jié)合最小二乘法、目標(biāo)規(guī)劃與理想點(diǎn)法，建立了二維CT系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定模型。并代入投影值數(shù)據(jù)，對(duì)一二維CT系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

關(guān)鍵詞： CT系統(tǒng)；最小二乘法；理想點(diǎn)法；目標(biāo)規(guī)劃；靈敏度分析

中圖分類(lèi)號(hào)：N34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）03-0202-02

Abstract：With the development of medical and industrial technology， the application of CT system transmission imaging has been more and more extensive. Based on the introduction of Beer-Lambert attenuation law and projection formula， the parametric calibration model of two-dimensional CT system is established by combining the least square method， the target planning and the ideal point method. And generation of data into the projection values， the parameters of a two-dimensional CT system calibration.

Key words：CT system； least squares method； ideal point method； goal programming； sensitivity analysis

1 概述

CT系統(tǒng)可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對(duì)射線(xiàn)能量的吸收特性進(jìn)行斷層成像，獲取樣品結(jié)構(gòu)信息，其標(biāo)定參數(shù)可以在一定程度上減少系統(tǒng)安裝誤差帶來(lái)的探測(cè)影響。本文運(yùn)用一CT系統(tǒng)對(duì)標(biāo)定模板的測(cè)量結(jié)果，建立模型對(duì)CT系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定方式提出了具體解決方法。

2 CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定模型的建立

一種典型的二維CT系統(tǒng)與標(biāo)定模板如圖1所示，一組平行的X射線(xiàn)光束穿過(guò)模板，并垂直于探測(cè)器平面入射。512 個(gè)等距單元的探測(cè)器接收經(jīng)過(guò)增益等處理后的射線(xiàn)能量，并通過(guò)180 次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到180 組接收信息。CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的實(shí)質(zhì)，即是根據(jù)接收信息確定其旋轉(zhuǎn)中心的位置、探測(cè)器的單元距離與180 次旋轉(zhuǎn)采樣的方向。

2.1 探測(cè)器單元距離模型的建立

當(dāng)射線(xiàn)恰好通過(guò)圓心時(shí)，由于探測(cè)器單元間距離相等，其大小等于圓心到射線(xiàn)與的距離，從而，根據(jù)勾股定理可知兩射線(xiàn)穿透厚度。

根據(jù)Beer-Lambert定律[1]，有：

將其對(duì)數(shù)變換，得到投影值與射線(xiàn)穿透厚度的比值等于樣品的衰減系數(shù)，即：

由于為常量，當(dāng)與圓心的距離趨于0時(shí)，其穿透厚度大致等于該圓形樣品模板的直徑，從而，得到穿透厚度關(guān)于樣品模板直徑的比值等式，為：

其中，為射線(xiàn)的投影值，為射線(xiàn)的穿透厚度。

根據(jù)數(shù)據(jù)分布規(guī)律，僅穿透圓形樣品模板的射線(xiàn)數(shù)據(jù)中，投影值最大的射線(xiàn)即對(duì)應(yīng)的情形。當(dāng)存在一組數(shù)據(jù)，使得與差值最小時(shí)，該組數(shù)據(jù)的射線(xiàn)與圓心的距離最短，此時(shí)與的差值也最小。

由此，以投影值最大射線(xiàn)的左右相鄰射線(xiàn)投影值差值最小為目標(biāo)，得到目標(biāo)函數(shù)為：

其中，為穿過(guò)且僅穿過(guò)圓形樣品模板的數(shù)據(jù)組數(shù)，與分別為第組數(shù)據(jù)中，投影值最大射線(xiàn)的左右相鄰射線(xiàn)的投影值。

根據(jù)勾股定理，有：

結(jié)合投影公式與大小，可以得到差值最小的與。由于恰好通過(guò)圓心的射線(xiàn)不一定存在，所以，通過(guò)求取與的平均值，即可消除此誤差的影響。由此，得到探測(cè)器的單元距離，為：

其中，與、與分別為射線(xiàn)與的穿透厚度及距圓心的距離。

2.2 射線(xiàn)方向角模型的建立

以正方形托盤(pán)中心為原點(diǎn)，沿邊長(zhǎng)方向建立直角坐標(biāo)系。當(dāng)X射線(xiàn)為切線(xiàn)時(shí)，通過(guò)聯(lián)立切線(xiàn)與模板方程，即可根據(jù)解的個(gè)數(shù)確定射線(xiàn)方程。

聯(lián)立橢圓模板方程與切線(xiàn)方程，得到：

相切時(shí)該方程僅有一個(gè)解，根據(jù)韋達(dá)定理：

可建立與關(guān)于斜率的表達(dá)式。

同理，聯(lián)立圓形木板方程與切線(xiàn)方程：

并由韋達(dá)定理可建立關(guān)于斜率的表達(dá)式。

控制條件或者，根據(jù)平行線(xiàn)原理，此時(shí)四條射線(xiàn)穿透區(qū)域都僅為一塊模板，不發(fā)生重疊現(xiàn)象，易直接計(jì)算穿透厚度的大小。

180次旋轉(zhuǎn)存在旋轉(zhuǎn)角相等與不等兩種情況，對(duì)應(yīng)不同射線(xiàn)投影長(zhǎng)度，即旋轉(zhuǎn)角等間距時(shí)，不等間距時(shí)，為各X射線(xiàn)入射方向的斜率。

理論投影長(zhǎng)度在數(shù)值上近似等于探測(cè)器實(shí)際所測(cè)長(zhǎng)度，即探測(cè)器單元距離的整數(shù)倍，但存在一定的誤差。所以我們令實(shí)際長(zhǎng)度為：

運(yùn)用最小二乘法，通過(guò)令投影長(zhǎng)度的理論值與實(shí)際值差值最小，最小化計(jì)算誤差，得到目標(biāo)表達(dá)式

其中，為滿(mǎn)足步驟二控制條件的數(shù)據(jù)組數(shù)。目標(biāo)表達(dá)式滿(mǎn)足時(shí)，射線(xiàn)與橢圓模板的切線(xiàn)吻合度最高，由此即可確定旋轉(zhuǎn)角的大小。

2.3 旋轉(zhuǎn)中心模型的建立

當(dāng)射線(xiàn)近似穿過(guò)圓心時(shí)，穿透厚度與直徑大致相等。所以，存在理想點(diǎn)滿(mǎn)足：

由于介質(zhì)分布均勻，所以該情況下為模板的理想衰減系數(shù)。

建立目標(biāo)規(guī)劃表達(dá)式，即：

確定最接近圓形的一射線(xiàn)所在的數(shù)據(jù)組。當(dāng)最小時(shí)為第次探測(cè)時(shí)的第個(gè)探測(cè)器的接收值，則可根據(jù)探測(cè)器單元距離，確定其方向上的偏移量：

同理，根據(jù)理想點(diǎn)法，在射線(xiàn)水平入射時(shí)，建立目標(biāo)表達(dá)式：

確定探測(cè)次數(shù)與接收探測(cè)器個(gè)數(shù)后，坐標(biāo)的表達(dá)式為：

由此，結(jié)合旋轉(zhuǎn)原理即可確定橫縱坐標(biāo)的大小。

3 模型求解

標(biāo)定模板中，橢圓模板長(zhǎng)軸80 mm，短軸15 mm，位于正方形托盤(pán)中心；圓形模板半徑4 mm，距離橢圓圓心45 mm。代入CT系統(tǒng)的180 組探測(cè)器接收信息，運(yùn)用MATLAB R2017a編寫(xiě)程序，通過(guò)循環(huán)搜索算法，得到該系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)，如表1所示。

由此，完成了CT系統(tǒng)各項(xiàng)參數(shù)的標(biāo)定。

4 靈敏度分析

采用控制變量法，選取部分?jǐn)?shù)據(jù)改變參數(shù)值，通過(guò)圖像重構(gòu)算法[2]重構(gòu)圖像。并與原始圖像對(duì)比，驗(yàn)證模型穩(wěn)定性。

根據(jù)結(jié)果可知，該系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定結(jié)果對(duì)于探測(cè)器單元距離敏感度高，其穩(wěn)定性受單元距離的影響較大，受入射方向角影響較小。而圖像質(zhì)量對(duì)入射旋轉(zhuǎn)角敏感度較高?？梢?jiàn)單元距離長(zhǎng)度決定了探測(cè)結(jié)果的精確性，而入射探測(cè)次數(shù)決定了圖像的質(zhì)量好壞。

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