帶邊角裂紋懸臂Mindlin板的振動(dòng)特性研究*

陳麗華 薛堅(jiān) 張偉

(北京工業(yè)大學(xué), 北京100124)

引言

裂紋廣泛存在于工程結(jié)構(gòu)中,如果出現(xiàn)裂紋,結(jié)構(gòu)的阻尼和剛度將會(huì)發(fā)生改變,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性發(fā)生變化.梁、板元件是工業(yè)中應(yīng)用最廣泛的結(jié)構(gòu),特別是在航天、航空領(lǐng)域,由于板出現(xiàn)裂紋經(jīng)常導(dǎo)致重大安全事故的發(fā)生.因此,研究裂紋對(duì)板振動(dòng)特性的影響有重要的理論意義和廣泛的工程應(yīng)用前景.

對(duì)于含邊角穿透裂紋的振動(dòng)特性研究,Yuan,Dickinson[1]應(yīng)用區(qū)域分解法,并在內(nèi)邊界人為地附加虛擬彈簧,研究了帶邊角裂紋的四邊簡支矩形板的彎曲振動(dòng)問題.Yuan和Young[2]也用了區(qū)域分解法研究了完全自由的帶邊角和內(nèi)部裂紋環(huán)形板的振動(dòng)問題.Liew[3]等人用同樣的方法得到了各種邊界條件下裂紋矩形薄板的固有頻率.他們將裂紋板假設(shè)成可以用適當(dāng)方程表達(dá)的子區(qū)域的組合體,并得到了裂紋薄板振動(dòng)問題的特征值方程.Leissa,Huang[4,5]假設(shè)裂紋板的模態(tài)函數(shù)由兩部分構(gòu)成,一個(gè)是代數(shù)多項(xiàng)式,一個(gè)是附加的轉(zhuǎn)角函數(shù),并結(jié)合Ritz法研究了帶V型裂紋或邊角裂紋矩形的自由振動(dòng).Huang[6,7]用同樣的方法研究了四邊簡支或懸臂的矩形Mindlin板和功能材料Reddy板.本課題組陳麗華、孫悅[8,9]等人研究了帶邊角裂紋懸臂矩形薄板的振動(dòng)特性.在此基礎(chǔ)上本文考慮剪切變形的影響對(duì)帶邊角裂紋懸臂矩形Mindlin板的振動(dòng)特性進(jìn)行研究.

本文用梁函數(shù)組合法得到理想完整板的模態(tài)函數(shù),這樣由完整板的模態(tài)函數(shù)和角函數(shù)組成的特殊模態(tài)函數(shù)能更好的描述板的振動(dòng)特性并且有了更好的物理意義.最后,本文研究了裂紋長度、裂紋高度、裂紋角度對(duì)Mindlin懸臂板振動(dòng)特性的影響,并利用Ansys有限元軟件進(jìn)行驗(yàn)證.

1 控制方程

基于一階剪切變形理論,Mindlin板自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

(1)

(2)

(3)

矩形懸臂板的邊界條件為:

固定端:y=0:w=0,φy=0,φx=0

(4a)

自由端:y=b:Mx=0,Mxy,Qx=0

(4b)

x=0,a:My=0,Mxy,Qy=0

(4c)

式中,w表示板的法向位移；J=h3/12；h為板的厚度；ρ為板的質(zhì)量密度；w表示中性面上的橫向位移；φx和φy是中性面法線轉(zhuǎn)過去的角度.這里:

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

式中,D為板的抗彎剛度,D=Eh3/12(1-v2);G為剪切模量,G=E/(2(1-v));κτ=π2/12為剪切修正系數(shù);E,v分別為材料的彈性模量和Poisson比.

2 位移函數(shù)

裂紋板自由振動(dòng)解的形式可設(shè)為:

w(x,y,t)=W(x,y)φ(t)

(6a)

φx(x,y,t)=Φx(x,y)φ(t)

(6b)

φy(x,y,t)=Φy(x,y)φ(t)

(6c)

W(x,y),φx(x,y)和φy(x,y)為裂紋板的振型函數(shù).

本文采用雙向梁函數(shù)組合的級(jí)數(shù)形式來逼近完整板振動(dòng)的真實(shí)振型.對(duì)于完整矩形Mindlin板的振型可以設(shè)為:

(7a)

(7b)

(7c)

其中Xi(x),Yi(y)分別為板x,y方向與邊界條件相對(duì)應(yīng)的梁位移函數(shù),Φi(x),Φj(y)分別為與板x,y邊界條件相應(yīng)之梁轉(zhuǎn)角函數(shù),Aij,Bij,Cij為待定的振型系數(shù).

下面根據(jù)梁函數(shù)組合法來求完整板的模態(tài)函數(shù).

如圖1,x方向(自由-自由)的各階梁函數(shù)為:

X1=1

(8a)

(8b)

(i=3,4,5,…)

(8c)

在y方向(固定-自由)的各階梁函數(shù)為:

(9)

由文獻(xiàn) [10]可以得出轉(zhuǎn)角函數(shù):

(10a)

(10b)

Xi?表示Xi(x)對(duì)x的三階偏導(dǎo),Yj?表示Yj(y)對(duì)y的三階偏導(dǎo).

圖1 矩形板的尺寸以及(r,θ)坐標(biāo)Fig. 1 Dimension and coordinate of a rectangular plate with a side-crack

將式(8a～8c)和(9)分別代入式(10a)和(10b)中便可得到轉(zhuǎn)角的Φi(x),Φj(y)的振型函數(shù),再代入到(7a～7c)便可以得到完整矩形Mindlin板的振型函數(shù).

考慮到帶邊角裂紋矩形板的振動(dòng),只用式(7a～7c)來描述其振型函數(shù)顯然是不合理的,因?yàn)椴粷M足裂紋處位移和轉(zhuǎn)角不連續(xù)的條件,因此需要在完整板的基礎(chǔ)上附加上一個(gè)角函數(shù)來描述裂紋附近的性質(zhì).針對(duì)裂紋板,其振型函數(shù)由兩部分構(gòu)成,一部分是用梁函數(shù)組合法得到的理想完整板Mindlin板的振型,另一部分是利用裂紋的尖端奇異性理論來構(gòu)造描述裂紋附近位移和轉(zhuǎn)角的角函數(shù),即運(yùn)用半角三角函數(shù)的性質(zhì),在裂紋兩邊構(gòu)造撓度和轉(zhuǎn)角不連續(xù)性質(zhì)的表達(dá)式.所以帶裂紋矩形Mindlin板的振型函數(shù)可設(shè)為:

(11a)

(11b)

(11c)

式中ψkc(r,θ)(k=1,2,3)為描述裂紋的角函數(shù).

附加描述裂紋性質(zhì)的角函數(shù)可設(shè)為:

(l=0,1,2,…,n；n=1,2,3,…)

(12)

(13)

但是θ的表達(dá)式在各個(gè)區(qū)域的形式有所不同,具體表達(dá)式如下:

(14)

式中,x0=a-dcosα,y0=c-dsinα,如圖1所示,α是裂紋順時(shí)針方向與水平線的夾角,a、b分別是矩形板的長和寬,c、d分別是裂紋的高度和長度.

將式(13)中r的表達(dá)式和(14)中不同區(qū)域的θ表達(dá)式代入(12)中就得到了直角坐標(biāo)下的角函數(shù)表達(dá)式.

在(12)式中g(shù)k(x,y)是滿足各種幾何邊界條件的簡單函數(shù).對(duì)于y=0處固支的懸臂板其表達(dá)式可表示為:

gk(x,y)=y(k=1,2,3)

(15)

3 Ritz法

本文研究的是帶裂紋矩形Mindlin板,如圖1所示.基于Mindlin板理論,用Ritz法可以求出裂紋板的固有頻率.在Ritz法中,帶裂紋矩形Mindlin板的最大勢(shì)能(Umax)和最大動(dòng)能(Tmax)分別為:

(16a)

(16b)

式中,ω是帶裂紋矩形Mindlin板的固有頻率；W,Φx和Φy分別是式(11a～11c)中的模態(tài)函數(shù);這些函數(shù)下標(biāo)里逗號(hào)后面的變量表示函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的偏導(dǎo).通過求能量方程:

∏=Vmax-Tmax

(17)

(18)

4 結(jié)果分析

4.1 帶裂紋懸臂Mindlin板的頻率分析

(1)裂紋長度對(duì)懸臂Mindlin板頻率的影響

表1考察相同裂紋角度和裂紋位置下不同裂紋長度對(duì)板固有頻率的影響.裂紋位置c/b=1/2;裂紋的角度α=15°或α=-15°;裂紋長度的變化為d/a=0.1,0.2,0.3,…,0.6.

表1 不同裂紋長度懸臂板的頻率參數(shù)Table 1 Frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plates with different crack lengths

在裂紋角度和位置相同的情況下,改變裂紋的長度對(duì)固有頻率有一定的影響,從表1可以看出,不論對(duì)于第幾階固有頻率,均是裂紋長度越長,板固有頻率就越小,這是由于局部剛度減小的原因造成的.當(dāng)裂紋長度大于或等于板的寬度的一半時(shí),固有頻率減小得更快.

(2)裂紋位置對(duì)懸臂Mindlin板頻率的影響

圖2考查了相同裂紋角度和裂紋長度下不同裂紋位置對(duì)板的前三階固有頻率的影響,裂紋位置的變化為c/b=0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,…,0.75.

在裂紋長度和角度相同的情況下,改變裂紋的位置對(duì)固有頻率也有一定的影響,從圖2可以得出:當(dāng)α±15°時(shí),隨著裂紋位置由固定端向自由端移動(dòng),裂紋板的第一階固有頻率逐漸增大,第二階固有頻率先減小后增大,即當(dāng)裂紋處在板中間位置時(shí)對(duì)固有頻率的減小比在兩端時(shí)有更顯著的影響.在α為15°時(shí),對(duì)于第三階固有頻率,由于第三階振動(dòng)模態(tài)有兩條節(jié)線,所以固有頻率的變化趨勢(shì)是先增大后減小再增大,在越靠近節(jié)線位置附近頻率減小的越顯著.當(dāng)α為-15°時(shí),固有頻率的趨勢(shì)是先減小后增大.

圖2 d/a=0.4時(shí)不同裂紋位置懸臂板的前三階頻率參數(shù)Fig. 2 Firstthree order Frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack locations (d/a=0.4)

(3) 裂紋角度對(duì)懸臂Mindlin板頻率的影響

圖3(a)～3(c)考查了相同裂紋位置和裂紋長度下不同裂紋角度對(duì)板的前三階固有頻率的影響,橫坐標(biāo)的單位為(°).

在裂紋長度和位置相同的情況下,改變裂紋的角度對(duì)固有頻率有一定的影響,當(dāng)裂紋角度與x軸的夾角從正方向增大時(shí),第一階固有頻率逐漸減小,第二階和第三階固有頻率均是一直呈增大的趨勢(shì)；當(dāng)裂紋角度與x軸的夾角從負(fù)方向增大時(shí),前兩階階固有頻率均呈現(xiàn)增大的趨勢(shì),第三階固有頻率先減小后增大.

圖3 d/a=0.4,c/b=0.5時(shí)α不同裂紋角度的前三階頻率參數(shù)Fig. 3 First three order Frequency parameters ωa2 of different crack angles at crack angles at d/a=0.4 and c/b=0.5

4.2 帶裂紋懸臂Mindlin板的模態(tài)分析

得到各階固有頻率之后,本文計(jì)算了前三階的振型,針對(duì)Mindlin板分別給出了撓度W和轉(zhuǎn)角Φx、Φy的模態(tài)圖.

圖4 裂紋板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°時(shí)有關(guān)W的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 4 First three order model of W for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

圖5 裂紋板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°時(shí)有關(guān)Φx的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 5 First three order model of Φx for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

圖6 裂紋板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°時(shí)有關(guān)Φy的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 6 First three order model of Φy for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

從圖4～6中裂紋板的模態(tài)函數(shù)圖可以看出,裂紋的存在使得各階的模態(tài)函數(shù)圖中出現(xiàn)了位移和轉(zhuǎn)角不連續(xù)的現(xiàn)象.

5 有限元仿真

本文應(yīng)用Ansys有限元分析軟件進(jìn)行建模和求解,由于本文研究的是懸臂裂紋Mindlin板,因此選取殼單元進(jìn)行建模.圖7為Ansys中截取的一張有限元模型圖.

圖7 Ansys中裂紋板模型圖以及局部放大圖Fig. 7 The FE model of crack plate and its partial enlarged detail in ANSYS

有限元中材料和尺寸比例與前面的理論計(jì)算保持一致.其中計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比和誤差分析如表2和表3.表2對(duì)不同裂紋長度下仿真與理論計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.表3對(duì)不同裂紋位置下仿真與理論計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

圖8為Ansys有限元仿真得到的裂紋板前三階模態(tài)函數(shù)圖.

將圖8與上一節(jié)理論計(jì)算中的圖4對(duì)比可以看出,同樣的裂紋參數(shù)下,其振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)圖形式是一致的,可以驗(yàn)證理論計(jì)算求解模態(tài)函數(shù)的正確性.

表2 不同裂紋長度懸臂板的前三階頻率參數(shù)Table 2 The first three order frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack lengths (c/b=0.5,α=15°)

表3 不同裂紋位置懸臂板的前三階頻率參數(shù)Table 3 The first three order frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack location (d/a=0.4,α=15°)

圖8 時(shí)有限元仿真的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 8 First three order model of crack plate at in ANSYS

將仿真的數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)當(dāng)裂紋參數(shù)變化時(shí),兩種結(jié)果均呈現(xiàn)了相同的變化規(guī)律,并且有限元仿真與理論結(jié)果的誤差可以控制在一定的范圍內(nèi).通過驗(yàn)證可以說明理論推導(dǎo)的正確性.

6 結(jié)論

本文利用Ritz法求得了帶邊角裂紋懸臂板的固有頻率和模態(tài)函數(shù),進(jìn)而研究了不同裂紋參數(shù)對(duì)板固有頻率的影響.并應(yīng)用Ansys有限元分析軟件進(jìn)行驗(yàn)證.通過本文的研究發(fā)現(xiàn):

(1)本文推導(dǎo)的附加角函數(shù)的模態(tài)函數(shù)可以表示裂紋處位移及轉(zhuǎn)角的不連續(xù)性.

(2)通過對(duì)本文理論分析得到的固有頻率和模態(tài)與有限元軟件Ansys得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)和計(jì)算的正確性.

(3)通過分析裂紋參數(shù)對(duì)固有頻率的影響表明:①裂紋的存在使得局部剛度減小,不論對(duì)于第幾階固有頻率,均是裂紋長度越長,板固有頻率就越小.②裂紋靠近節(jié)線位置時(shí)頻率減小的越顯著.③隨著角度從負(fù)向正增大時(shí),第一階固有頻率逐漸減小,第二階和第三階固有頻率均先減小后增大.

本文對(duì)裂紋板的研究在損傷探測(cè)方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值,可利用本文的研究成果來探測(cè)裂紋的位置和長度,并且為以后裂紋板的非線性振動(dòng)研究奠定了理論基礎(chǔ).

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