時(shí)滯切換不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性*

薛煥斌 張繼業(yè)

(1.韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 潮州 521041) (2.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610031)

引言

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由Chua和Yang在1988年提出的[1,2]. 此后的20多年里,細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到了廣泛的研究, 并成功應(yīng)用于信號(hào)處理、模式識(shí)別、移動(dòng)圖像重構(gòu)和解非線性代數(shù)方程等[2-5]. 這些應(yīng)用依賴于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性[6-8]. 不管是生物還是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò), 神經(jīng)元之間的相互作用一般是不同步的, 特別在網(wǎng)絡(luò)的硬件實(shí)現(xiàn)中, 由于信號(hào)傳輸速度的有限性, 使網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的時(shí)間滯后不可避免. 另一方面, 在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入時(shí)間滯后參量后, 有利于移動(dòng)目標(biāo)的圖像處理, 移動(dòng)物體速度的確定和模式分類[9]. 但時(shí)間滯后量的引入, 可能使網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生振蕩和不穩(wěn)定性. 而且在大多數(shù)情況下, 時(shí)間滯后量是難以精確測(cè)量的, 并且隨著時(shí)間的改變不斷變化, 事實(shí)上是無界的. 也就是說, 過去的所有時(shí)刻影響著現(xiàn)在的狀態(tài)[10]. 再者, 由于外界擾動(dòng), 測(cè)量和建模誤差等的存在, 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型一定含有影響其動(dòng)力學(xué)行為的不確定性因素. 為了分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的魯棒性, 一種合理的方法是假定參數(shù)屬于已知的區(qū)間[11]. 因此, 對(duì)時(shí)滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的魯棒穩(wěn)定性研究具有理論和現(xiàn)實(shí)的重要性.

切換系統(tǒng)是一種混雜系統(tǒng), 它由一系列的子系統(tǒng)和一個(gè)控制子系統(tǒng)之間切換規(guī)律的控制率組成. 最近, 切換系統(tǒng)受到越來越多的關(guān)注. 因?yàn)閷?shí)際中很多系統(tǒng)(如生物系統(tǒng),計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng), 工程系統(tǒng)等)都可以表述成切換系統(tǒng). 另外, 從控制方面看, 多控制器的切換控制往往可以對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的控制起到滿意的控制效果. 切換時(shí)滯系統(tǒng)作為一種新的復(fù)雜系統(tǒng), 具有重要的理論研究意義. 由于連續(xù)和離散的動(dòng)力學(xué)特征, 以及時(shí)間滯后之間的相互作用, 使得切換時(shí)滯系統(tǒng)的行為比一般的切換或時(shí)滯系統(tǒng)行為都要復(fù)雜得多. 切換時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)作為一種特殊的切換時(shí)滯系統(tǒng)也受到了越來越多的重視. 文獻(xiàn)[12,13]運(yùn)用線性矩陣不等式研究了時(shí)滯切換Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性. Wu等利用平均駐留時(shí)間方法和自由權(quán)矩陣方法分析了時(shí)滯切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性[14]. Arunkumar等利用平均駐留時(shí)間方法和多Lyapunov函數(shù)法研究了一類離散切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性[15].

正如前面提到的, 切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每個(gè)子系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性, 唯一性和穩(wěn)定性是非常重要的. 然而, 在現(xiàn)有的結(jié)論中, 很少結(jié)論跟子系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性, 唯一性和穩(wěn)定性直接相關(guān). 而且大部分結(jié)論都是運(yùn)用線性矩陣不等式方法, 但這種方法在實(shí)際工程應(yīng)用上存在著諸多困難. 因?yàn)閼?yīng)用線性矩陣不等式方法必須人為的決定很多不確定參數(shù)和矩陣.

基于以上分析, 本文的主要目的是建立時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)魯棒指數(shù)穩(wěn)定性的新條件. 運(yùn)用Lyapunov泛函方法, 得到了時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng) 魯棒指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件. 和前面的結(jié)論相比較, 本文的主要優(yōu)點(diǎn)有: (a)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和切換信號(hào)擾動(dòng)都具有魯棒性; (b)得到的結(jié)論是顯式結(jié)構(gòu), 有利于實(shí)際工程應(yīng)用.

符號(hào)說明:x=(x1,x2,…,xn)T表示n維列向量(符號(hào)(·)T表示轉(zhuǎn)置),Rn表示n維實(shí)數(shù)空間, |x|表示|x|=(|x1|,|x2|,…,|xn|)T, ‖·‖表示Euclidean范數(shù); 對(duì)于矩陣A=(aij)n×n, |A|表示|A|=(|aij|)n×n;C((-∞,0];Rn)表示從(-∞,0]映射到Rn上的連續(xù)函數(shù)集.

1 預(yù)備知識(shí)

具有無窮時(shí)滯的UCNNs系統(tǒng)可以由以下時(shí)滯微分方程描述:

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件假設(shè)為ui(s)=φi(s),s∈(-∞,0], 其中φi∈C((-∞,0],R),i=1,2,…,n.

我們假設(shè)UCNNs系統(tǒng)(1)的激活函數(shù)滿足如下條件:

假設(shè)1對(duì)于任意給定的ui,vi∈R,i∈{1,2,…,n},存在常數(shù)Li>0, 使得:

|gi(ui)-gi(vi)|≤Li|ui-vi|

即gi:R→R是全局Lipschitz.

在這種情況下, 我們稱g(u)屬于G類函數(shù), 記為g(u)∈G. 并且記L=diag{L1,L2,…,Ln}.

時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)是由一系列的時(shí)滯UCNNs系統(tǒng)和切換率組成的. 每個(gè)時(shí)滯UCNNs 系統(tǒng)視為子系統(tǒng), 切換率決定了各個(gè)子系統(tǒng)之間的切換. 根據(jù)系統(tǒng)(1), 時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)可以表示成如下形式:

(2)

在本文中假定切換率σ(t)事先未知. 對(duì)應(yīng)切換信號(hào)σ(t), 我們可以得到一個(gè)切換序列{(t0,i0),…, (tk,ik),…|ik∈Σ,k=0,1,…}, 這表示當(dāng)時(shí)t∈[tk,tk+1), 第ik個(gè)子系統(tǒng)被激活.

定義指示函數(shù):

γ(t)=(γ1(t),γ2(t),…,γN(t))T

其中:

k=1,2,…,N. 因此,時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)(2)亦可表達(dá)成如下形式:

(3)

定義1如果對(duì)每個(gè)Ek∈EkI,Ak∈AkI,Bk∈BkI和輸入Jk, 存在常數(shù)λ>0和η>0, 使得對(duì)所有的t≥t0都有:

‖u(t)-u*‖≤η‖φσ(t0)-u*‖e-λ(t-t0)

則稱時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)u*是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

其中:

‖φσ(t0)-u*‖

2 時(shí)滯UCNNs系統(tǒng)平衡點(diǎn)的定性分析

本節(jié)我們將研究系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的存在性, 唯一性和穩(wěn)定性.

定義2對(duì)于實(shí)矩陣A=(aij)n×n, 如果aij≤0,i,j=1,2,…,n,i≠j, 且A的所有順序主子式為正, 則稱矩陣A為M-矩陣.

引理1[16,17]對(duì)于實(shí)矩陣A=(aij)n×n,如果aij≤0,i,j=1,2,…,n,i≠j, 則以下陳述等價(jià):

(i)矩陣A為M-矩陣;

(ii)存在向量ξ>0, 使得ξTA>0.

定義3映射H:Rn→Rn為Rn上的同胚映射, 如果H∈C0是Rn上的單射和滿射, 且H-1∈C0.

引理2[16]如果H(u)∈C0滿足以下條件:

(i)H(u)是Rn上的單射;

則H(u)是Rn上的同胚映射.

證明: 定義如下與系統(tǒng)(1)相關(guān)的非線性映射:

H(u)=-Eu+(A+B)g(u)+I

如果H(u)為Rn上的同胚映射, 那么系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡點(diǎn)u*[18]. 類似文獻(xiàn)[8]定理1的證明, 容易得知H(u)滿足引理2的兩個(gè)條件. 因此, 對(duì)任意輸入I, 映射H(u)為Rn上的同胚映射. 所以系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡點(diǎn)u*. 記λ=E-(|A|+|B|)L, 因?yàn)棣惺荕-矩陣, 由引理1知道, 存在ξi>0(i=1,2,…,n), 使得:

所以:

由引理?xiàng)l件(ii)可得, 矩陣λ是M-矩陣.類似文獻(xiàn)[6]定理4的證明, 容易證明u*是指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

3 時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性

本節(jié)將利用Lyapunov泛函方法, 研究時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng)(3)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.

定理2如果對(duì)任意的k∈Σ,gk∈G, 并存在一個(gè)n維正向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)使得:

(4)

其中:

那么對(duì)所有的Ek∈EkI,Ak∈AkI,Bk∈BkI和每個(gè)輸入Jk, 系統(tǒng)(3)在任意切換信號(hào)下是魯棒指數(shù)穩(wěn)定.

(5)

其中:

考慮Lyapunov泛函:

(6)

其中ε>0待定. 計(jì)算V沿系統(tǒng)(5)的右上導(dǎo)數(shù)V+可得:

D+V(x,t)

(7)

定義函數(shù):

由不等式(4)知道:

所以:

V(x,t)≤V(x,t0)

(8)

又因?yàn)楫?dāng)t=t0時(shí),第i0個(gè)子系統(tǒng)被激活,所以:

V(x,t0)

由積分中值定理知道, 存在ρ>0使得:

V(x,t0)

(9)

其中:

結(jié)合(6)～(9)式可得:

令ξ=min1≤i≤nξi可得:

由定義1知道,系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)u*是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的. 證畢.

注2我們知道, 在任意切換的條件下得到的穩(wěn)定條件可能具有較強(qiáng)的保守性. 但是這樣的條件能確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)切換信號(hào)具有魯棒性. 由于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相互依賴的動(dòng)力學(xué)特征, 使得切換信號(hào)往往是無法確定的. 因此, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)切換信號(hào)的魯棒性顯得十分必要.

4 算例

下面給出一個(gè)數(shù)值仿真算例. 考慮如下二階時(shí)滯切換UCNNs系統(tǒng):

(10)

其中:

σ(t):[0,+∞)→Σ={1,2}

g1(u) =g2(u)

=(0.5u1+0.5sinu1,0.5u2+0.5sinu2)T

顯然,g1,g2滿足假設(shè)1, 且L1=L2=I2(其中I2為2階單位矩陣),

取ξ=(1,1), 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可知:

(i,j,k=1,2)

滿足定理2的所有條件, 因此系統(tǒng)(10)在任意切換信號(hào)下是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

圖1 切換系統(tǒng)(10)中子系統(tǒng)1的狀態(tài)曲線Fig.1 State responses of the subsystem 1 in the switched system (10)

圖2 切換系統(tǒng)(10)中子系統(tǒng)2的狀態(tài)曲線Fig.2 State responses of the subsystem 2 in the switched system (10)

圖3 切換系統(tǒng)(10)的狀態(tài)曲線Fig.3 State responses of the switched system (10)

5 結(jié)論

本文研究了具有無窮時(shí)滯切換不確定細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在任意切換下的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性. 利用同胚映射和M-矩陣?yán)碚撗芯苛俗酉到y(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性, 唯一性和穩(wěn)定性; 利用Lyapunov泛函方法研究時(shí)滯切換不確定細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性. 有別于現(xiàn)有的線性矩陣不等式相關(guān)結(jié)論, 本文得到的穩(wěn)定性條件是代數(shù)顯式結(jié)構(gòu), 有利于實(shí)際工程應(yīng)用. 最后通過數(shù)值算例說明如何應(yīng)用定理的條件, 同時(shí)也驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

1Chua L O, Yang L. Cellular neural networks:theory.IEEETransactionsonCircuitsandSystems, 1988,35(10):1257～1272

2Chua L O, Yang L. Cellular neural networks:applications.IEEETransactionsonCircuitsandSystems, 1988,35(10):1273～1290

3Chua L O. CNN: A paradigm for complexity. Singapore: World Scientific, 1998

4Gupta M, Jin L, Homma N. Static and dynamic neural networks: from fundamentals to advanced theory. New York: Wiley, 2003

5Park J H, Kwon O M, Lee S M. LMI optimization approach on stability for delayed neural networks of neutral-type.AppliedMathematicsandComputation, 2008,196(1):236～244

6Zhang J. Absolutely exponential stability in delayed cellular neural networks.InternationalJournalofCircuitTheoryandApplications, 2002,30(4):395～409

7Zhang J, Suda Y, Iwasa T. Absolutely exponential stability of a class of neural networks with unbounded delay.NeuralNetworks, 2004,17(3):391～397

8Zhang J. Global exponential stability of interval neural networks with variable delays.AppliedMathematicsLetters, 2006,19(11):1222～1227

9Roska T, Chai W W, Balsi M, et al. Stability and dynamics of delay-type general and cellular neural networks.IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI:FundamentalTheoryandApplications, 1992,39(6):487～490

10 劉銘,徐曉峰,張春蕊. 中立型時(shí)滯反饋扭轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2015,13(6):449～453 (Liu M, Xu X F, Zhang C R. Stability analysis of delayed torsional vibration system of neutral type.JournalofDynamicsandControl, 2015,13(6):449～453 (in Chinese))

11 Li N, Cao J. Switched exponential state estimation and robust stability for interval neural networks with the average dwell time.IMAJournalofMathematicalControlandInformation, 2015,32(2):257～276

12 Ahn C K. An H∞approach to stability analysis of switched Hopfield neural networks with time-delay.NonlinearDynamics, 2010,60(4):703～711

13 Lian J, Zhang K, Feng Z. Stability analysis for switched Hopfield neural networks with time delay.OptimalControlApplicationsandMethods, 2012,33(4):433～444

14 Wu L, Feng Z, Zheng W X. Exponential stability analysis for delayed neural networks with switching parameters: average dwell time approach.IEEETransactionsonNeuralNetworks, 2010,21(9):1396～1407

15 Arunkumar A, Sakthivel R, Mathiyalagan K, et al. Robust stability criteria for discrete-time switched neural networks with various activation functions.AppliedMathematicsandComputation, 2012,218(22):10803～10816

16 舒仲周,張繼業(yè),曹登慶. 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性. 北京:中國(guó)鐵道出版社, 2001 (Shu Z Z, Zhang J Y, Chao D Q. Stability of Motion. Beijing: China Railway Publishing House, 2001 (in Chinese))

17 Siljak, D D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. New York: North Holland, 1978

18 Forti M, Tesi A. New conditions for global stability of neural networks with application to linear and quadratic programming problems.IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI:FundamentalTheoryandApplications, 1995,42(7):354～366