應(yīng)力水平對橋機金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化及可靠性的影響

陶元芳，葉青林，范小寧，師 瑋

（太原科技大學 機械工程學院，山西 太原 030024）

1 引言

橋機金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計往往只追求結(jié)構(gòu)輕量化，其最優(yōu)解常常把強度、剛度和穩(wěn)定性的許用值用到極限，這樣做不能確保結(jié)構(gòu)是否安全，而工程設(shè)計人員一般都留有一定的設(shè)計裕度[1]。而實際工程設(shè)計中，一般留有一定的安全裕度，而不采用優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解。引入了應(yīng)力水平來定量的衡量設(shè)計裕度，如式（1）所示，用可靠度來衡量結(jié)構(gòu)是否安全。通過采用不同的設(shè)計裕度，分別對橋機金屬結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，并對優(yōu)化結(jié)果進行可靠性分析，研究了應(yīng)力水平對橋機金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計及可靠性的影響。

式中：σ—廣義設(shè)計應(yīng)力，表示危險截面驗算點強度、剛度、穩(wěn)定性的實際值；［σ］—廣義許用應(yīng)力，表示強度許用值、剛度許用值、穩(wěn)定性許用值；η—廣義應(yīng)力水平，表示設(shè)計時廣義許用應(yīng)力的最大使用比例。

2 橋機金屬結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計模型

2.1 設(shè)計變量

圖1 主梁、端梁截面簡圖Fig.1 The Section Diagram of Main Girder and End Girder

以主梁和端梁截面參數(shù)作為設(shè)計變量，如圖1所示，共有12個設(shè)計變量：主梁翼緣板寬度B、主梁上翼緣板厚度d1、主梁下翼緣板厚度d2、主梁主腹板厚度d3、主梁副腹板厚度d4、主梁腹板高度H，端梁上翼緣板厚度d5、端梁下翼緣板厚度d6、端梁左腹板厚度 d7、端梁右腹板厚度d8、端梁腹板高度H1。定義向量X為所有設(shè)計變量組成的向量，則：X=（d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）

2.2 約束條件

2.2.1 主梁約束條件

設(shè)垂直載荷與水平載荷在主梁第i（i=1，2，…，6）個驗算點的應(yīng)力分別為 σix、σiy。

（1）靜強度約束。主梁跨中①點最大自由彎曲正應(yīng)力約束：

主梁跨中②點最大約束彎曲正應(yīng)力約束：主梁跨端③點最大切應(yīng)力約束：

式中：Fc1—腹板上的垂直剪切力；Tn—水平慣性力引起的扭矩；hd—主梁跨端處腹板高度；A0—主梁跨端截面面積。

④點同時有約束彎曲和約束扭轉(zhuǎn)：

（2）疲勞強度約束，起重機整機工作級別A5以上對應(yīng)結(jié)構(gòu)工作基本E4以上要進行疲勞強度校核[2]。

主腹板受拉翼緣焊縫⑤點疲勞強度約束：

式中：［σr］—疲勞許用應(yīng)力與工作級別有關(guān)。

大隔板下端與腹板連接的焊縫⑥點疲勞強度約束：

式中：σ6max、τ6max—載荷組合A計算的大隔板下端與腹板相連接

的焊縫存在較大的拉應(yīng)力和切應(yīng)力。

（3）主梁剛度約束，主梁跨中靜撓度約束：

式中：ΣP—移動集中載荷之和；S—橋架跨度；b—小車輪距；［YS］—許用靜撓度。

主梁垂直動剛度約束，以滿載小車位于跨中時產(chǎn)生的垂直自振頻率來表征橋架主梁的動剛度。

式中：y0—額定起升載荷點產(chǎn)生的靜位移；λ0—額定起升載荷對鋼絲繩產(chǎn)生的靜位移；β—結(jié)構(gòu)質(zhì)量影響系數(shù)；［fV］—自振頻率控制值，一般可取2MHz。

（4）主梁穩(wěn)定性約束，主梁整體為穩(wěn)定性要求高寬比不超過3。

2.2.2 端梁約束條件

（1）靜強度約束，1-1截面應(yīng)力約束。

式中：σ（1-1）x、σ（1-1）y—垂直載荷與水平載荷在 1-1 截面角點的應(yīng)力。

2-2截面主、端梁搭接處應(yīng)力約束：

式中：σ2-2x、σ2-2y—垂直載荷與水平載荷在2-2截面角點的應(yīng)力。

3-3截面由垂直載荷作用的剪力在腹板上產(chǎn)生的剪應(yīng)力：

式中：Fdc—3-3截面垂直剪切力；

Sdx—驗算點以上截面對x軸的靜距。

（2）穩(wěn)定性約束，端梁整體為穩(wěn)定性要求高寬比不超過3。

（3）工藝尺寸約束。

圖2 端梁截面示意圖Fig.2 The Section Diagram of End Grider

2.3 目標函數(shù)

以橋機金屬結(jié)構(gòu)的質(zhì)量作為目標函數(shù)，對于雙梁橋機金屬結(jié)構(gòu)，可按下式計算：f（X）=2（G主梁+G端梁） （16）式中：G主梁—一根主梁的質(zhì)量；G端梁—一根端梁的質(zhì)量。

2.4 優(yōu)化算法

粒子群算法本身是一種基于群智能的隨機無約束優(yōu)化算法，但是通過結(jié)合懲罰函數(shù)法對粒子群算法進行改進可以有效解決約束優(yōu)化問題，并且這種算法實現(xiàn)容易，精度高，收斂快[3]。

3 橋機金屬結(jié)構(gòu)的可靠性分析

3.1 不確定因素及其分布統(tǒng)計

影響橋機金屬結(jié)構(gòu)可靠度的不確定因素主要包括：起升載荷的不確定性，材料參數(shù)的不確定性，加工制造過程引起的幾何尺寸的不確定性等。在隨機可靠性分析中，可用概率模型來描述不確定性因素[4]。定義表征影響橋機結(jié)構(gòu)可靠性的不確定性的基本隨機變量為 X′，則：X′=（P，σs，E，B，d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）

3.1.1 起升載荷的不確定性模型

橋式起重機的起升載荷可認為近似服從截尾正態(tài)分布，一些服從威布爾分布規(guī)律的載荷在一定條件下也可以用正態(tài)分布來近似[3]。起升載荷 P～N（μp，σ2p）且 P?［0，PQ］。其中，μp為起升載荷均值，μp=aPQ；σp為起升載荷標準差，σp=bμp；PQ為額定起升載荷；a、b為起升載荷均值系數(shù)、起升載荷變異系數(shù)，與起重機金屬結(jié)構(gòu)工作級別有關(guān)，可以根據(jù)實測數(shù)據(jù)或者經(jīng)驗值推算得到。

3.1.2 材料參數(shù)的不確定性

（1）材料的屈服極限。起重機金屬結(jié)構(gòu)常使用塑性材料Q235和Q345，用達到屈服極限強度來表征材料發(fā)生破壞。在做可靠性分析或設(shè)計時，需要對所用的鋼材做實驗來估計材料屈服極限的分布，如沒有實驗數(shù)據(jù)，可近似認為材料的強度基本可用正態(tài)分布來描述，可以取屈服極限均值=1.1σs，變異系數(shù)[5]Vs=0.07。對于Q235，屈服極限均值=258.5MPa，標準差Sσ=18.095MPa。（2）材料的彈性模量。鋼材的彈性模量可以認為服從正態(tài)分布。鋼材的彈性模量均值=2.06×105MPa，變異系數(shù) VE=0.03，標準差 SE=VE6.18×103MPa。（3）材料板厚的不確定性。GB/T 709—2006 對熱軋鋼板的板厚的允許偏差進行了詳細規(guī)定，然而實際工程上應(yīng)用的鋼板卻與標準不符。我國絕大部分起重機所用的鋼板使用負偏差，有些負偏差甚至達到公稱厚度的7%[6]。為了研究方便，以正態(tài)分布來描述鋼板板厚的分布，設(shè)鋼板厚度的公稱尺寸為δ，上偏差為0，下偏差為 Δδ，根據(jù)“3σ”原則，板厚的均值δˉ=（δ-Δδ）/2，標準差 Sσ=Δδ/6。由此可以得到主梁和端梁截面參數(shù)（d1～d8）的分布規(guī)律。

3.1.3 加工過程引起的幾何尺寸的不確定性

一般認為由加工制造過程引起的幾何尺寸的不確定性服從正態(tài)分布，仍舊按照“3σ”原則，根據(jù)公稱尺寸和上下偏差求出各幾何尺寸的最大值 xmax和最小值 xmin，則均值xˉ=（xmax+xmin）/2，標準差Sx=（xmax-xmin）/6。由此可以得到主梁和端梁截面參數(shù)B，H，B1，H1的分布。

3.2 橋機結(jié)構(gòu)主要失效模式

根據(jù)橋機金屬結(jié)構(gòu)的載荷特點和優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型，提出橋機金屬結(jié)構(gòu)系統(tǒng)3S（（強度、剛度、穩(wěn)定性）失效準則，根據(jù)失效準則可以確定相應(yīng)的失效模式[7]。（1）主梁靜強度失效：主梁危險點①～④處超過許用值，則認為失效，共有四種失效模式。（2）主梁疲勞強度失效：主梁危險點⑤、⑥處應(yīng)力超過疲勞應(yīng)力許用值，則認為失效，共有兩種失效模式。（3）主梁剛度失效:主梁跨中靜撓度達到許用靜撓度，或主梁滿載自振頻率未達到自振頻率控制值，共有兩種失效模式。（4）主梁穩(wěn)定性失效：金屬結(jié)構(gòu)高寬比超過3，則認為失效，共有一種失效模式。（5）端梁強度失效：端梁危險截面1-1、2-2、3-3處應(yīng)力超過許用值，則認為失效，共有三種失效模式。（6）端梁穩(wěn)定性失效準則：端梁高寬比超過3，則認為失效，共有一種失效模式。

橋機金屬結(jié)構(gòu)的各失效模式均以是否滿足3S（強度、剛度、穩(wěn)定性）要求來判定，與優(yōu)化設(shè)計中的約束條件一致。優(yōu)化設(shè)計中的第 k（k=1，2，…，13）個約束條件 gk（X）取應(yīng)力水平 η=1，同時把確定性變量變成服從一定概率分布的不確定變量[8]，可轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的失效模式的功能函數(shù)。橋機金屬結(jié)構(gòu)失效樹，如圖3所示。橋機金屬結(jié)構(gòu)各失效模式間是“或門”關(guān)系，即任一失效模式的發(fā)生均會引起橋機金屬結(jié)構(gòu)的失效，且各基本事件Gk（X）＞0（k=1，2，…，13）之間存在相關(guān)性。

圖3 橋機金屬結(jié)構(gòu)失效樹Fig．3 Fault Tree of Overhead Traveling Crane Metal Structure

3.3 橋機金屬結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一般存在多種失效模式，而且各失效模式之間之間存在相關(guān)性。此外，結(jié)構(gòu)各失效模式極限狀態(tài)方程一般為隱式的非線性方程，不利于直接求解。Monte Carlo法是一種被公認的相對精確且簡單通用的可靠性分析方法[9-10]。借助計算機可以產(chǎn)生服從任意概率分布的隨機數(shù)，且模擬次數(shù)N越大，失效概率Pf的模擬值與真實值的誤差越小，一般建議95%的置信度保證Monte Carlo法的誤差足夠小，N必須滿足N≥100/Pf[10]。

4 實例分析

為了研究應(yīng)力水平這一設(shè)計裕度對橋機金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計及可靠性的影響，利用面向?qū)ο蟮能浖_發(fā)方法，以VC++6．0為開發(fā)工具，編制了橋機金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析軟件。利用編制的軟件，通過改變應(yīng)力水平，對橋機金屬結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，然后對優(yōu)化結(jié)果采用Monte Carlo法進行可靠性分析，記錄數(shù)據(jù)，繪制曲線變化曲線。實例分析一：80t/28m中軌雙梁橋機金屬結(jié)構(gòu)，工作級別 E7，影響結(jié)構(gòu)可靠度的基本隨機變量 X′=（P，σs，E，B，d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）T各參數(shù)均服從正態(tài)分布，分布參數(shù)分別為：起升載荷均值系數(shù)0．80，變異系數(shù)0．30，起升載荷均值 E（Q）=0．8×80t=64t，起升載荷標準差 σ（Q）=0．3×E（Q）=19．2t；材料為 Q235，屈服極限均值 σs=258．5MPa，標準差 Sσ=18．095MPa；抗彎彈性模量均值 E=2．06×105MPa，標準差 SE=6．18×103MPa；鋼板厚度 d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，d8正偏差取 0，負偏差取0．5mm；截面參數(shù) B，H，B1，H1正偏差取 5mm，負偏差取 5mm。應(yīng)力水平從70%到120%間隔5%進行一次優(yōu)化設(shè)計，將得到的最優(yōu)解采用蒙特卡羅法計算可靠度。保證蒙特卡羅法求解可靠度的精度達到10-4，模擬次數(shù)應(yīng)為N=106，將采集的樣本數(shù)據(jù)記錄，如表1所示。根據(jù)表1中樣本數(shù)據(jù)繪制變化曲線，如圖4所示。

表1 80t/28m（E7）橋機金屬結(jié)構(gòu)樣本數(shù)據(jù)Tab.1 80t/28m（E7）Overhead Traveling Crane Metal Structure Sample Data

圖4 80t/28m（E7）橋機金屬結(jié)構(gòu)樣本數(shù)據(jù)變化曲線Fig．4 80t/28m（E7）Overhead Traveling Crane MetalStructure Sample Data Changing Curve

表2 80t/28m（E7）橋機金屬結(jié)構(gòu)樣本數(shù)據(jù)Tab.2 80t/28m（E7）Overhead Traveling Crane Metal Structure Sample Data

實例分析二：80t/28m中軌雙梁橋式起重機，工作級別E5，影響結(jié)構(gòu)可靠度的基本隨機變量 X′=（P，σs，E，B，d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）T各參數(shù)均服從正態(tài)分布，分布參數(shù)分別為：起升載荷均值系0.50，變異系數(shù)0.50，起升載荷均值E（Q）=0.5×80t=40t，起升載荷標準差 σ（Q）=0.5×E（Q）=20t；其他參數(shù)與實例分析一相同。樣本采集方法與實例分析一相同，將采集的樣本數(shù)據(jù)記錄，如表2所示。根據(jù)表2中數(shù)據(jù)繪制變化曲線，如圖5所示。

圖5 80t/28m（E5）橋機金屬結(jié)構(gòu)樣本數(shù)據(jù)變化曲線Fig.5 80t/28m（E5）Overhead Traveling Crane Metal Structure Sample Data Changing Curve

5 結(jié)論

（1）應(yīng)力水平與橋機結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù)（金屬結(jié)構(gòu)重量）近似成線性關(guān)系。隨著應(yīng)力水平的提高，金屬結(jié)構(gòu)重量均可近似線性遞減。（2）隨著應(yīng)力水平降低，結(jié)構(gòu)的可靠度不斷提高，但提高的幅度越來越小，可分為三個階段：變化較快階段、緩慢變化階段和近似不變階段。在變化較快階段，隨著應(yīng)力水平的降低，結(jié)構(gòu)的可靠度近似成線性不斷提高；在緩慢變化階段，隨著應(yīng)力水平的降低，結(jié)構(gòu)的可靠度也在提高，但變化的幅度遠不如變化較快階段；在近似不變階段，隨著應(yīng)力水平的降低，結(jié)構(gòu)的可靠度的提高量微乎其微幾乎不變，在變化曲線上近似一條無限趨向于1的水平直線，即提高換取較高可靠度的回報率越來越低。（3）不能盲目的追求結(jié)構(gòu)的可靠度而過度的降低應(yīng)力水平，也不能盲目的追求結(jié)構(gòu)輕量化而過度的提高應(yīng)力水平。適當?shù)奶岣邞?yīng)力水平，即留有一定的設(shè)計裕度，使結(jié)構(gòu)的可靠度在緩慢變化階段，既可以減輕金屬結(jié)構(gòu)的重量，也可獲得較高的可靠性水平。做起重機的金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計時，應(yīng)力水平一般不能超過100%，推薦選90%左右。（4）同等應(yīng)力水平、相同起重量的橋機金屬結(jié)構(gòu)，工作級別高的可靠度要偏低。做金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計時，工作級別高的起重機應(yīng)選擇相對較低的應(yīng)力水平，即需要留有更大的設(shè)計裕度；在其他條件一致的前提下，結(jié)構(gòu)的可靠性主要受工作級別也就是起升載荷分布參數(shù)的影響。

［1］Hee Youb Kang，Byung Man Kwak.Application of maximum entropy principle for reliability-based design optimization［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2009（4）.

［2］張質(zhì)文，虞和謙，王金諾.起重機設(shè)計手冊［M］.北京：中國鐵道出版社，2013：75-77.（Zhang Zhi-wen，Yu He-qian，Wang Jin-nuo.Crane Design Handbook［M］.Beijing：China Railway Press，2013：75-77.）

［3］葉青林，陶元芳.粒子群算法結(jié)合懲罰函數(shù)法用于橋式起重機金屬結(jié)構(gòu)優(yōu)化［J］.起重運輸機械，2015（4）：46-49.（Ye Qing-lin，Tao Yuan-fang.Particle Swarm Optimization combined with SUMT for main girder design of overhead traveling crane［J］.Hoisting and Conveying Machinery，2015（4）：46-49.）

［4］張義民，孫志禮.機械產(chǎn)品的可靠性大綱［J］.機械工程學報，2014（14）：14-20.（Zhang Yi-min，Sun Zhi-li.The reliability syllabus of mechanical products［J］.Journal of Mechanical Engineering，2014（14）：14-20.）

［5］聞邦椿.機械設(shè)計手冊［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2010：4150-4170.（Wen Bang-chun.Mechanical Design Manual［M］.Beijing：Mechanical Industry Press，2010：4150-4170.）

［6］喻穎.起重機械制造用鋼板負偏差問題的探討［J］.起重運輸機械，2012（3）：98-100.（Yu Ying.Discussion on the negative deviation of steel plate for hoisting machinery manufacture［J］.Hoisting and Conveying Machinery，2012（3）：98-100.）

［7］楊瑞剛，徐格寧，范小寧.橋式起重機結(jié)構(gòu)可靠性失效準則與剩余壽命評估準則［J］.中國安全科學學報，2009（10）：95-100.（Yang Rui-gang，Xu Ge-ning，F(xiàn)an Xiao-ning.Reliability failure criterion and residual life assessment criteria for overhead traveling crane structure［J］.China Safety Science Journal，2009（10）：95-100）

［8］唐家銀，何平，趙永翔.應(yīng)力-強度相關(guān)性干涉下的隨機安全系數(shù)與零件可靠性設(shè)計［J］.機械設(shè)計與制造，2011（12）：16-18.（Tang Jia-yin，He Ping，Zhao Yong-xiang.Random safety factor and component reliability design with interference of correlation of stress-strength［J］.Machinery Design&Manufacture，2011（12）：16-18.）

［9］安偉光，趙維濤，安海.隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)綜合考慮靜強度、剛度和疲勞的多失效模式的可靠性分析［J］.中國科學，2009，37（4）：516-526.（An Wei-guang，Zhao Wei-tao，An Hai.The reliability analysis of the multiple failure modes of the stochastic structural system considering the static strength，stiffness and fatigue［J］.Science in China，2009，37（4）：516-526.

［10］Kalbfleisch J D，Lawless J F.Estimation of reliability in field performance studies［J］.Technometrics，1988（30）：365-378.