非線性隨機振動的等效線性化法分析

在工程實踐的各個領域廣泛地存在著非線性系統(tǒng)，而外在的激勵又廣泛地存在著隨機性，因此計算在隨機激勵下結(jié)構(gòu)的響應及統(tǒng)計特征具有十分重要的意義。近年來對于線性系統(tǒng)的隨機振動響應的研究已經(jīng)很成熟，非線性隨機振動問題的研究也取得了很大程度的進展出現(xiàn)了諸如攝動法，擴散過程理論法，等效線性化法等。在非線性隨機振動的近似方法方面，等效線性化方法［3］［4］［5］由于簡單、實用，并能滿足工程分析精度，因而在處理工程動力學問題中獲得廣泛應用。

1 一般等效線性化法

對于單自由度非線性隨機振動的微分方程可以概括為：

（1）式的等效線性微分方程可以描述如下：

如果f（t）為均值為0的平穩(wěn)高斯過程，系統(tǒng)具有弱非線性，響應X，近似為平穩(wěn)高斯過程，并假定上式中的各隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則可推出：

2 加權(quán)等效線性化理論

設單自由度非線性系統(tǒng)的隨機振動微分方程為：

引入如下的等效線性微分方程：

把響應函數(shù)X（t）的穿越概率P（X）作為一個權(quán)函數(shù)作用在殘差函數(shù)上，使得E［pe2］的值為極小值，通過滿足這樣的條件來求取等效ce，ke的值。

上述的討論思路清晰，但計算等效系數(shù)ce，ke仍然比較繁瑣。為此，可以作進一步的簡化，假設F（t）為一均值為零的平穩(wěn)高斯過程，從而可得等效線性方程的響應也為高斯過程。

單位時間內(nèi)正穿越X的概率為

根據(jù)式（7），（10），（11）經(jīng)過迭代可以求出等效系數(shù) ce，ke的值。

3 等效線性化法的研究意義

等效線性化法的思路簡單，計算精度的誤差一般在0-20%之間，對于弱非線性系統(tǒng)可以達到滿足工程所需精度的要求。

等效線性化法還可以結(jié)合其他概率方法解決更復雜的系統(tǒng)隨機振動問題，諸如：使用點估計法通過將結(jié)構(gòu)隨機參數(shù)分解為若干確定性的積分點，隨之可以將平穩(wěn)隨機激勵下非線性隨機結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一些列確定性非線性結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)隨機激勵下振動問題，進而再使用等效線性化法［6］。

［1］陳立群，梅波.關(guān)于單自由度非線性諧迫振動等效線性化方法的注記［J］.長沙大學學報，2003，17（4）：6-7.

［2］陳立群.等效線性化方法的最優(yōu)性［J］.力學與實踐，1996，18（1）：56-57.

［3］方建杰.隨機振動的一種加權(quán)等價線性化方法［J］.應用力學學報，1991，8（3）：114-120.

［4］張明.非線性隨機振動等效線性化的一種推廣［J］.西南交通大學學報，1998，33（1）：77-81.

［5］彭解化等.一類非線性系統(tǒng)隨機振動的等效線性化［J］.振動與沖擊，1995（1）：30-35.

［6］劉楊.平穩(wěn)隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)非線性動力響應分析［J］.地震工程與工程振動，2011，31（1）：1-4.