偏導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)求切線(xiàn)方程中的應(yīng)用

鐘彩容+劉海鴻

【摘要】在高中數(shù)學(xué)中，求二次曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程是一類(lèi)重要題型.本文將結(jié)合高等數(shù)學(xué)中隱函數(shù)求導(dǎo)的相關(guān)知識(shí)證明一個(gè)公式，并運(yùn)用該公式求解兩個(gè)高考題，以體現(xiàn)該方法過(guò)程簡(jiǎn)便、快捷，與常規(guī)解題方法相比，更具優(yōu)越性.

【關(guān)鍵詞】二次曲線(xiàn)；切線(xiàn)方程；偏導(dǎo)數(shù)

圓錐曲線(xiàn)以切線(xiàn)為背景的問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中，這類(lèi)問(wèn)題往往運(yùn)算量大而且計(jì)算十分復(fù)雜，最終因?yàn)闀r(shí)間不夠而被考生放棄.為此，本文結(jié)合高考實(shí)例探索圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)方程的求法，以供參考.

經(jīng)過(guò)二次曲線(xiàn)Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線(xiàn)方程是Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.

證明過(guò)程如下：

證 對(duì)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得到

2Ax+B（y+xy′）+2Cyy′+D+Ey′=0，

即（Bx+2Cy+E）y′=-（2Ax+By+D）.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)P（x0，y0）處切線(xiàn)的斜率k應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式：

（Bx0+2Cy0+E）y′=-（2Ax0+By0+D），

即（Bx0+2Cy0+E）（y-y0）=-（2Ax0+By0+D）（x-x0），

整理得2Ax0x+B（x0y+xy0）+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）=2Ax20+2Bx0y0+2Cy20+2Dx0+2Ey0.

又因?yàn)锳x20+Bx0y0+Cy20+Dx0+Ey0+F=0，

所以2Ax0x+B（x0y+xy0）+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）=-2F，

即Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.這就是二次曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，稱(chēng)為“四線(xiàn)”一方程，下面通過(guò)兩個(gè)高考題說(shuō)明該公式的運(yùn)用.

例1 （2015高考四川，理10）設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于點(diǎn)M，且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn).若這樣的直線(xiàn)l恰有4條，則r的取值范圍是（ ）.

A.（1，3）

B.（1，4）

C.（2，3）

D.（2，4）

解析 顯然當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，必有兩條直線(xiàn)滿(mǎn)足題設(shè).當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，M（x0，y0），則y21=4x1，y22=4x2， 相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.由于x1≠x2，所以y1+y22·y1-y2x1-x2=2，即ky0=2，即k=2y0.又圓與直線(xiàn)相切，由“四線(xiàn)”一方程得切線(xiàn)方程為：（x-5）（x0-5）+y0y=r2，此時(shí)k=5-x0y0，所以2=5-x0，x0=3，即點(diǎn)M必在直線(xiàn)x=3上.將x=3代入y2=4x得y2=12，∴-230）上，所以（x0-5）2+y20=r2，r2=y20+4<12+4=16.又y20+4>4（由于斜率不存在，故y0≠0，所以不取等號(hào)），所以4

例2 （2015高考湖北，理21）一種作圖工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1，MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫(huà)出的曲線(xiàn)記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l與兩定直線(xiàn)l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn).若直線(xiàn)l總與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OQP的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

解析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依題意，MD=2DN，且|DN|=|ON|=1，所以（t-x，-y）=2（x0-t，y0），且（x0-t）2+y20=1，x20+y20=1.

即t-x=2x0-2t，y=-2y0， 且t（t-2x0）=0，由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，所以t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=x4，y0=-y2，代入x20+y20=1，可得x216+y24=1，

即所求的曲線(xiàn)C的方程為x216+y24=1.

（Ⅱ）由題意知，直線(xiàn)l總與曲線(xiàn)C相切，設(shè)E（x0，y0），由“四線(xiàn)”一方程得切線(xiàn)方程為：x0x16+y0y4=1，切線(xiàn)與l1：x-2y=0的交點(diǎn)P162y0-x0，82y0-x0；切線(xiàn)與l2：x+2y=0的交點(diǎn)Q-162y0+x0，82y0+x0，又O（0，0），已知三點(diǎn)坐標(biāo)，則

S△OQP=12162y0-x082y0-x01-162y0+x082y0+x01001=1284y20-x20，

而x2016+y204=1，所以S△OQP=12816-2x20，當(dāng)x0=0時(shí)，S△OQP有最小值為8.

小結(jié) 應(yīng)用該方法可以很快寫(xiě)出圓錐曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，省去設(shè)直線(xiàn)方程、聯(lián)立方程組并消元、利用判別式Δ=0確定切線(xiàn)斜率的過(guò)程，節(jié)省時(shí)間，減少失誤，快速解題.

在解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，相比常規(guī)解法，“四線(xiàn)”一方程思路直接，計(jì)算簡(jiǎn)便，而且與切線(xiàn)的斜率是否存在沒(méi)有關(guān)系，無(wú)須分類(lèi)討論.平時(shí)師生應(yīng)該探索一些巧妙的解題規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

【參考文獻(xiàn)】

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