微元法的應(yīng)用

沙嬋娟

【摘要】微元法是分析和解決數(shù)學(xué)、物理問題的常用方法，它是采用“化零為整”的思想，通過極小部分分析整體.本文采用微元法計(jì)算了不同形狀物體所受水壓力.只要物體的質(zhì)心坐標(biāo)確定，便可通過微元法快速準(zhǔn)確地計(jì)算出其所受的水壓力.

【關(guān)鍵詞】微元法；質(zhì)心；水壓力

一、引 言

微元法是解決很多數(shù)學(xué)和物理問題的常用方法，這是一種深刻的思維方法，是對(duì)某事件做整體的觀察后，先分割逼近，找到規(guī)律，再累計(jì)求和，最終了解整體.

微元法解題的一般步驟：

第一步，取元.分割選擇恰當(dāng)微元（空間元、時(shí)間元）作為突破整體研究的對(duì)象.

第二步，模型化.將微元模型化（如，視作點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)等），求解這個(gè)微元.

第三步，做積分.以找到的微元（近似值）為被積表達(dá)式，在分割區(qū)域上做相應(yīng)的積分.

二、分析物體所受水壓力

（一）細(xì)棒所受水壓力

長度為a的均勻細(xì)棒水平放置于深為h的水中，細(xì)棒所受壓力F=p·a=gh·a.

問題 若細(xì)棒鉛直放置在水中，水深不同的各點(diǎn)處壓強(qiáng)p不同，細(xì)棒所受壓力無法用上述方法計(jì)算.

分析 當(dāng)木棒鉛直放入水中時(shí)，木棒各點(diǎn)所處深度不同，所以不能按一點(diǎn)處的深度去計(jì)算水壓力，整體無法處理，所以選擇微元法化整為零.

解 分三步走：

1.選取木棒所在鉛直位置作為x軸，x為積分變量，它的變化范圍[h，h+a].

2.在[x，x+dx]處尋找積分微元：dF=ρgxdx.

3.F=∫h+ahgxdx.

對(duì)求得的水壓力進(jìn)行分析：

F=∫h+ahgxdx

=ρg∫h+ahxdxaa（令x′=∫h+ahxdxa=h+a2）

=ρgx′a，

其中x′恰為細(xì)棒的質(zhì)心所在.

試想：將此細(xì)棒水平放在質(zhì)心所在高度的水中所受到的水壓力F′=ρgx′a.

結(jié)論：F=F′.

（二）平板所受的水壓力

將一面積為A的均勻平板鉛直完全放入水中，求平板一側(cè)所受水壓力F.

問題 平板鉛直放入水中，形狀不確定，如何計(jì)算一側(cè)所受的水壓力.

分析 平板鉛直放入水中，并且形狀不均勻，所以無法整體處理，用微元法，將其分割成若干小塊，把每一小塊看成點(diǎn)去得到近似后，再去求解整體的水壓力.

解 分三步：

1.選平板面積為積分變量，變化范圍就是平板所占區(qū)域D.

2.分割平板所占區(qū)域D，在D中任取一小塊dσ，dσ上任取一點(diǎn)（x，y），dF=（H-y）ρg·dσ（壓力元素）.

3.因此，F(xiàn)=DdF=D（H-y）ρgdσ.

平板的質(zhì)心和所求得的水壓力之間的關(guān)系分析：

平板的質(zhì)心縱坐標(biāo)為y′=1ADydσ；

質(zhì)心到水面的距離為H-y′；

若把平板水平放置在深度為H-y′的水中，則平板所受壓力為

F′=ρg（H-y′）A=ρgAH-1ADydσ

=ρgHDdσ-Dydσ=ρgD（H-y）dσ=F.

結(jié)論：

（1）長度為a的均勻細(xì)棒，鉛直放入水中所受的水壓力等于把它水平放置在質(zhì)心深處所受的水壓力.而面積為A，鉛直放入水中的均勻平板一側(cè)所受的水壓力等于把它水平放置在質(zhì)心深處平板一側(cè)所受的水壓力.

（2）只要細(xì)棒的質(zhì)心或者平板質(zhì)心到水面的距離確定，則平板所受的水壓力就可確定.

（3）以上的方法只考慮了細(xì)棒的長度或者平板的面積以及質(zhì)心的位置，所以該法對(duì)不是鉛直放入水中的物體也成立（例如，斜插）.

（三）相關(guān)例題

例1 求長為2 m，寬為3 m，距離水面2 m的均勻矩形平板一側(cè)所受的水壓力.

解 平板的面積為A=2×3=6；

質(zhì)心到水面的距離為d=3.5；

所受壓力為F=ρg×3.5×6=21ρg.

例2 邊長為a和b的矩形薄片，與液面成α角，斜插入液體內(nèi)，長邊平行于液面，位于水深h處，設(shè)a>b，液體密度為ρ，試求薄板一側(cè)所受的水壓力.

解 平板面積為A=a·b；

質(zhì)心到水面的距離為D=h+12bsinα；

因此，水壓力F=h+12bsinαρg·a·b.

三、結(jié) 語

本文的這種方法可以應(yīng)用到很多物理問題的解決當(dāng)中，比如，求不均勻細(xì)棒的質(zhì)量、物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等都可以通過質(zhì)心求得.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014：274-276.

[2]黃立宏.高等數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2012：195-197.

[3]孫娜，蔡文香.微元法應(yīng)用及其研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009（10）：90-91.

[4]胡承望.微元法的應(yīng)用研究[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)（自科版），2008（3）：142-143.