二次曲線的對稱性及曲率

郭芳承，王艷琰

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

對特定幾何對象進(jìn)行分類是幾何學(xué)研究的重要問題之一[1-4]，二次曲線是初等幾何和高等幾何的重要研究對象，二次曲線一般理論的一個重要方面是對其進(jìn)行分類[5-7]。然而，分類的一個關(guān)鍵步驟是對其進(jìn)行化簡，找到各類二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式[8-11]。采用代數(shù)學(xué)的技巧，用不變量對二次曲線進(jìn)行化簡是所有化簡方法中最簡潔的一種，但嚴(yán)重缺乏幾何直觀。

容易發(fā)現(xiàn)，二次曲線的圖形都具有高度的對稱性，從幾何上看，以對稱軸為坐標(biāo)軸時，二次曲線的表達(dá)式最為簡單，為二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，討論二次曲線的對稱中心和對稱軸對化簡二次曲線具有重要作用。

平面上，二元二次方程

F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

(1)

表示的曲線稱為二次曲線。定義三階對稱矩陣

二次曲線(1)又可表達(dá)為

1 二次曲線的對稱中心

定義1 對于一條二次曲線，若平面上有一固定點，它是該二次曲線的所有經(jīng)過它的弦的中點，則該點是二次曲線的一個對稱中心，簡稱二次曲線的中心。

若二次曲線的中心存在，它既可能在二次曲線上，如兩條相交直線的情形；也可能在二次曲線之外，如橢圓和雙曲線等，存在中心的二次曲線的圖像具有高度的對稱性。下面討論二次曲線中心存在的條件，二次曲線中心的個數(shù)，以及中心的坐標(biāo)等。

設(shè)點C(x0，y0)是二次曲線(1)的中心，過點C且以(X:Y)為方向的直線為

(2)

或

(3)

將(2)或(3)代入(1)得

Φ(X，Y)t2+2[F1(x0，y0)X+

F2(x0，y0)Y]t+F(x0，y0)=0

(4)

其中Φ(X，Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2，且

方程(4)是參數(shù)t的一元二次方程，其兩根t1與t2分別對應(yīng)于直線l0與二次曲線的兩個交點，而點C為兩個交點的中點，故t1+t2=0，進(jìn)而有

F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y=0

由直線l0的方向的任意性知道，中心C(x0，y0)滿足方程組

記

由線性代數(shù)理論，易知有如下結(jié)論。

定理1 對于二次曲線(1)，(I)當(dāng)I2≠0時，二次曲線有唯一中心，其坐標(biāo)為

2 二次曲線的對稱軸

定義2 在平面上，若存在一條直線，與之垂直的二次曲線的弦的中點都在該直線上，稱該直線為二次曲線的一條對稱軸。

同時，設(shè)直線

將直線l′的方程帶入二次曲線的方程(1)，有

(5)

(6)

根據(jù)對稱軸的定義，有

(7)

即

(8)

整理得

(9)

下面的結(jié)論給出了中心二次曲線的對稱軸的存在性。

證明 對于中心二次曲線，由(8)知，二次曲線的中心必在所有的對稱軸上，而中心二次曲線有唯一中心，故對稱軸的個數(shù)等價于對稱軸方向的個數(shù)。

Δ=(a11-a22)2+4a12>0

從而，二次曲線有兩個對稱軸方向

易見這兩個方向相互正交。

這時，二次曲線或為圓，或為虛圓，或為圓點。

對于非中心二次曲線，有如下結(jié)論。

定理3 對于非中心二次曲線(1)(I2=0)，(I)若a12≠0，則二次曲線有唯一一條對稱軸

(a11a13+a12a23)=0

3 利用對稱性化簡二次曲線

若二次曲線(1)為中心二次曲線，由方程(9)得兩條對稱軸的方向

進(jìn)而由方程(8)得到兩條對稱軸的方程為

顯見這兩條直線相互正交，交點為二次曲線的中心。以這兩條對稱軸作為新的坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)變換，代入原二次曲線的方程(1)即可化簡該二次曲線。

例1 化簡二次曲線8x2+4xy+5y2+8x-16y-16=0。

解a11=8，a12=2，a13=4

a12=2，a22=5，a23=-8

易見，該二次曲線為中心二次曲線，對稱軸方向

進(jìn)而兩條對稱軸為

l1:x-2y+5=0

l2:2x+y=0

以l1做新坐標(biāo)系的y′-軸，l2做新坐標(biāo)系的x′-軸，得到坐標(biāo)變換公式

(10)

進(jìn)而

將其代入二次曲線的方程，整理得

圖1 注：1.在選擇新的坐標(biāo)軸的時候，為確保定向不變，要求(10)中 等號右側(cè)的系數(shù)行列式的值大于零；2.要根據(jù)直線與原坐標(biāo)軸 的交點坐標(biāo)判斷坐標(biāo)軸的正向；3.為保證新坐標(biāo)軸與原坐標(biāo)軸 長度單位不變，須在變換公式(10)左邊乘以方向向量的模長.

若二次曲線(1)為無心二次曲線，即滿足

將以上對稱軸方程的參數(shù)方程代入二次曲線的方程(1)，容易發(fā)現(xiàn)二次曲線與該對稱軸只有一個交點，稱為二次曲線的頂點，其坐標(biāo)為

(x0，y0)=

(11)

其中

(12)

對于無心二次曲線，以對稱軸(11)和直線(12)為坐標(biāo)軸建立新坐標(biāo)系，可以對二次曲線進(jìn)行有效化簡。

例2 化簡二次曲線x2+2xy+y2+2x+y=0。

易見該二次曲線為無心二次曲線，直接計算得到對稱軸的方程為

以l1為x′-軸，l2為y′-軸，得到坐標(biāo)變換公式

解出x與y得

將其代入二次曲線方程整理得到

圖2

若二次曲線(1)為線心二次曲線，即滿足

由定理3，線心二次曲線有唯一一條對稱軸

a12x+a22y+a23=0

即中心直線。

在中心直線上任取一點作為新的坐標(biāo)原點，以過該點與中心直線垂直的直線和中心直線為新的坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)變換，可以快速化簡二次曲線。

例3 化簡二次曲線x2-2xy+y2+2x-2y-3=0。

易見，該二次曲線是線心二次曲線，其唯一的對稱軸

l1:x-y+1=0

為建立新坐標(biāo)軸，再另外任取一條與l1垂直的直線

l2:x+y=0

以l1為y′-軸，l2為x′-軸，得到坐標(biāo)變換公式

解出x與y得

圖3

4 二次曲線的曲率

對二次曲線(1)，記

Fx(x，y)=2(a11x+a12y+a13)

Fy(x，y)=2(a12x+a22y+a23)

并記矩陣A的行列式為I?；喓蟮亩吻€方程表達(dá)式為

F(x，y)=a11x2+a22y2+a33=0

(13)

定理4 二次曲線(1)上正則點P(x，y)處曲率

對化簡后的二次曲線方程(13)，曲率

其中，F(xiàn)(x，y)=0.

證明 設(shè)F(x，y)=0在正則點P(x，y)處有顯式表達(dá)y=f(x)，求導(dǎo)得

設(shè)曲線在點P(x，y)處有向量式參數(shù)方程

則曲線的曲率可以表達(dá)為

直接計算得

從而

直接計算得

進(jìn)而

對于線心二次曲線，行列式I=0，從而有如下結(jié)論。

推論1 線心二次曲線的曲率為零，即線心二次曲線只能由直線構(gòu)成。