過濾白噪聲地震動模型的CQC振型相關(guān)系數(shù)計(jì)算

王 剛，周曉青

深圳大學(xué)土木工程學(xué)院，廣東深圳 518060

目前，振型分解反應(yīng)譜法廣泛用于抗震設(shè)計(jì)，利用抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中給出的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，可方便地計(jì)算各振型地震反應(yīng)的最大值，并利用平方和開方(square root of the sum of the squares，SRSS)或完全二次型組合(complete quadratic combination，CQC)進(jìn)行振型組合．由于CQC法精度高，且簡單實(shí)用，因此得到廣泛應(yīng)用．現(xiàn)在常用的CQC振型組合系數(shù)公式是由KIUREGHIAN等[1-7]提出的，該公式基于地震動為零均值平穩(wěn)白噪聲的假設(shè)，利用隨機(jī)振動理論推導(dǎo)而來．周錫元等[8-9]將其推廣到復(fù)模態(tài)分解反應(yīng)譜法，給出了復(fù)振型的完全二次型組合(complex complete quadratic combination, CCQC)組合系數(shù)計(jì)算公式．也是基于地震動為零均值平穩(wěn)白噪聲的假設(shè)推導(dǎo)出來的，即假設(shè)地震動輸入帶寬足夠大，可覆蓋對整體貢獻(xiàn)顯著的那些振型，當(dāng)這個假設(shè)不能滿足時，現(xiàn)行的CQC組合方法將無法達(dá)到足夠的精度．因此，更精確地考慮地震動模型有助于改善CQC組合[1-2,4]．

地震動模型常見的有過濾白噪聲模型，如Kanai/Tajimi模型[10-11]，以及在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的各種功率譜模型[12-15]．有關(guān)地震動模型，文獻(xiàn)[16]做了詳盡綜述．在文獻(xiàn)[4]中，KIUREGHIAN等將CQC組合方法進(jìn)一步擴(kuò)展到輸入為窄帶白噪聲的情況，此外，還考慮了被截?cái)喔唠A模態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)貢獻(xiàn)，以及輸入截止頻率的影響等因素．CQC振型相關(guān)系數(shù)計(jì)算基于以下假設(shè)：地震動為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)正比于相應(yīng)的根方差，且不同振型之間，振型最大反應(yīng)與根方差的比例常數(shù)相同．考慮過濾白噪聲地震動模型時，CQC組合的振型相關(guān)系數(shù)推導(dǎo)常常需要在頻域內(nèi)進(jìn)行積分，其結(jié)果變得復(fù)雜冗長[1]，嚴(yán)重影響了實(shí)用性能．

本研究給出了地震動為過濾白噪聲的情況下，CQC組合振型相關(guān)系數(shù)的一種新算法，這種方法避開了復(fù)雜冗長的頻域積分，計(jì)算簡潔實(shí)用，結(jié)果為精確解．

1 CQC組合系數(shù)計(jì)算方法

考慮地震作用下的結(jié)構(gòu)振動方程

(1)

(2)

其中，γi=(φTiL)/(φTiMφi)， 為振型參與系數(shù)．

其中，振型相關(guān)系數(shù)ρij的推導(dǎo)基于以下假設(shè)：地震動為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)正比于相應(yīng)的根方差，且不同振型之間，振型最大反應(yīng)與根方差的比例常數(shù)相同．從而，

(3)

其中，

記

(4)

則式(3)還可以寫成

(5)

(6)

這里，r=ωi/ωj為頻率比．

考慮1輸入2輸出的線性系統(tǒng)

(7)

其狀態(tài)空間方程可以寫成

(8)

其中， (A,B,C,D)為相應(yīng)的系數(shù)矩陣，由于Hi(ω)和Hj(ω)是嚴(yán)格真有理函數(shù)，所以D=0， 其余系數(shù)矩陣詳見后面討論；q是輸出向量，q=[qiqj]T；w是輸入，當(dāng)w是零均值白噪聲，且E(w2)=1時，輸出q的協(xié)方差矩陣[17]可寫成

E[qqT]=CPCT

(9)

其中，P是如下Lyapunov方程的解

AP+PAT+BBT=0

(10)

求解Lyapunov方程(10)已有成熟的算法[18-19]，且在本文情況中方程(10)階數(shù)很低，計(jì)算量很小，容易求得P， 進(jìn)而由式(9)和式(3)求出振型相關(guān)系數(shù)．理論上，該方法與計(jì)算積分(4)及式(5)方法等價(jià)，是精確解[17]．

令(Ai，Bi，Ci，0)、 (Aj，Bj,Cj,0)和(Ag,Bg,Cg,Dg)分別為Hi(ω),Hj(ω)和G(ω)的狀態(tài)空間系數(shù)矩陣，則狀態(tài)方程(8)的系數(shù)矩陣分別為

(11)

以常見的Kanai/Tajimi模型為例，

(12)

其中，j表示虛部，相應(yīng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣為

(13)

Hi(ω),Hj(ω)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣為

Cm=[1 0],m分別取i和j．

(14)

當(dāng)?shù)卣饎幽Ｐ蜑榘自肼晻r，G(ω)=1， 式(11)退化為只保留前兩行兩列分塊矩陣，按本算法計(jì)算結(jié)果與式(6)完全相同．

當(dāng)?shù)卣饎幽Ｐ蜑槠渌^濾白噪聲類型時，只是濾波器G(ω)的具體形式，以及對應(yīng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣(Ag,Bg,Cg,Dg)有所不同，振型相關(guān)系數(shù)均可按本算法進(jìn)行計(jì)算．

綜上，利用式(11)構(gòu)造矩陣A、B、C進(jìn)而求解Lyapunov方程(10)，并利用式(9)和式(3)求出振型相關(guān)系數(shù)．

2 算 例

Kanai/Tajimi模型取ωg=10 rad/s，ξg=0.65． 其功率譜密度函數(shù)如圖1，給出的El Centro地震波的功率譜密度作為參考．

圖1 Kanai/Tajimi模型的功率譜密度函數(shù)Fig.1 Power spectrum density function of Kanai/Tajimi model

由于矩陣A只有6×6階，Lyapunov方程(10)的求解耗時非常少，在實(shí)際結(jié)構(gòu)分析中其計(jì)算量完全可忽略不計(jì)．

圖2是在振型阻尼比ξi=ξj=0.05，ωj=5、 10、 20、 50、 100 rad/s，假設(shè)地震動為Kanai/Tajimi模型時，得到的振型相關(guān)系數(shù)ρij與r的關(guān)系曲線，作為對比，圖2中也給出了白噪聲模型下即式(6)的結(jié)果．

從圖2可知，與白噪聲模型相比，假設(shè)地震動為Kanai/Tajimi模型時，在頻率比遠(yuǎn)離1的情形，振型相關(guān)系數(shù)不一定趨近于0；高階振型對整體的貢獻(xiàn)較白噪聲假設(shè)的結(jié)果顯著．這個結(jié)果與文獻(xiàn)[2]一致．

圖2 振型相關(guān)系數(shù)與頻率比的關(guān)系曲線Fig.2 Modal correlation coefficient versus frequency ratio

結(jié) 語

本研究提出通過求解Lyapunov方程，得到CQC振型組合系數(shù)的方法，這種方法避開了在頻域里對有理分式的冗長積分結(jié)果，計(jì)算量小，算法成熟可靠，可用于解決常見的過濾白噪聲地震動模型問題．

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