基于預測模型的軌跡數據壓縮方法

陳 煜，蔣 偉，周繼恩

(中國銀聯股份有限公司 銀聯科技事業(yè)部，上海 201201)(*通信作者電子郵箱jiangwei1@unionpay.com)

0 引言

隨著定位技術的發(fā)展，人們可以很容易地通過全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System， GPS)設備獲得移動對象的實時位置信息，從而得到移動物體的運行軌跡。由于移動對象的運行狀況具有連續(xù)性，需要不斷地獲取GPS采樣點以便更好地通過離散的采樣點擬合移動對象的運行軌跡。然而較高的采樣頻率會產生大量的GPS記錄，給軌跡數據的存儲、管理和分析帶來巨大的挑戰(zhàn)[1]。為了解決這個問題，大量的軌跡壓縮算法通過對數據的時空特性進行分析，通過保存那些包含重要信息的采樣點[2]，如轉向點、速度劇烈變化點、車輛停止點等，來達到壓縮軌跡的目的。

近幾年來，隨著城市路網結構數據的不斷完善，結合路網結構的軌跡壓縮變得可行。為了降低軌跡數據的誤差，首先對原始軌跡進行路網匹配(Map-Matching)預處理[3-4]。由于路網結構信息往往是靜態(tài)的并且結構相對固定，因此利用路網結構信息對軌跡進行約束，不僅可以有效地降低軌跡數據的數據規(guī)模,同時可以通過路網信息降低因GPS設備精度造成的數據誤差[5]。

Cao等[6]提出的Nonmaterialized算法首次提出了利用路網結構對軌跡數據進行壓縮。該算法首先將軌跡采樣點數據通過路網匹配算法映射在路網上，然后通過Nonmaterialized算法將映射過的軌跡數據轉化為路口序列，以達到壓縮軌跡的目的。Lerin等[7]對Nonmaterialized算法進行改進，通過最短路徑(Shortest Path)算法和鏈接算法來對軌跡數據進行進一步壓縮。主要思想是:若軌跡行駛路徑與最短路徑一致時，只保留頭尾兩個路段;若行駛軌跡每次都沿著最小轉角的路段行駛，那么也只用頭尾兩條路段來代替整段軌跡。兩條路段間的最短路徑可以通過Dijkstra算法[8]或者A*算法[9]計算得到，利用計算來對數據進行壓縮。然而上述這些方法都沒有考慮時間信息，無法知道壓縮后的軌跡在某個時間點處于哪一個位置。

Kellaris等[10-11]提出的路網匹配軌跡壓縮(Map-Matched Trajectory Compression， MMTC)算法把軌跡壓縮問題轉化成了函數最優(yōu)化問題，主要思想是找到一條最適合的軌跡，使得這條軌跡盡可能地用最短路徑表示，并且近似軌跡與原始軌跡相似度較高。MMTC算法用最小描述長度(Minimal Description Length， MDL) 模型來最優(yōu)化壓縮率和相似度組成的目標函數。在MMTC算法中，MDL模型由兩個部分組成，分別是L(H)和L(D/H)，L(H)表示壓縮后的軌跡長度，L(D/H)表示壓縮后的近似軌跡與原始軌跡的誤差。根據MDL原則，需要找到一條路徑使得L(H)+L(D/H)最小，那么這條路徑就滿足目標條件。MMTC算法可以在壓縮率和準確率兩個方面得到很好的權衡，然而它同樣沒有考慮時間約束。

Song等[12]提出基于路網的并行軌跡壓縮(Paralleled Road-network-based trajectory comprESSion， PRESS)算法，在MMTC算法的基礎上對軌跡的時間信息和空間信息分別進行壓縮。在空間信息方面，PRESS首先將GPS軌跡點映射在路網上，通過最短路徑算法省略中間的路段，隨后通過對一部分數據集進行訓練，找到頻繁的子軌跡。利用子軌跡的頻繁度對軌跡進行霍夫曼編碼，以此達到二次壓縮的目的。這使得軌跡數據在空間方面是無損的，即壓縮后的軌跡和原始軌跡是經過同一條路徑的。在時間信息方面，PRESS通過提出時間同步路網距離(Time Synchronized Network Distance， TSND)和路網同步時間距離(Network Synchronized Time Difference， NSTD)兩個誤差度量，將時間壓縮的誤差控制在設定的誤差范圍，由此對軌跡數據的時間信息進行有損壓縮。

然而上述方法，如MMTC算法[10-11]和PRESS算法[12]都是基于一種假設，即假設軌跡總是沿著路網中最短路徑行駛的，因此這兩種算法通過將軌跡的運動軌跡以最短路徑的形式表示，從而達到軌跡壓縮的目的。然而，在現實生活中，由于受到交通狀況的限制，如交通信號燈、道路擁堵狀況、道路施工和交通事故等，大部分移動物體并不能按照行程最短的路徑行駛。

為了解決上述問題，本文基于路網信息結構提出了基于預測模型的軌跡數據壓縮方法(Compression method for Trajectory data based on Prediction Model, CTPM)。由于移動對象的運動受到交通狀況的限制，使得軌跡數據往往具有重復性和周期性。比如，由于受到上班高峰期的影響，從住所到上班地點通常會行駛在用戶偏好的路徑上，這條路徑往往是通過對歷史交通狀況的判斷而選擇的一條最優(yōu)路徑，同時這條路徑往往會在工作日內每天重復，因此，通過對歷史軌跡數據進行學習，得到軌跡運行的預測模型，通過預測模型對軌跡數據進行壓縮，將預測成功的采樣點刪除，保留那些預測失敗的采樣點作為軌跡關鍵點存儲。

1 相關背景及問題定義

CTPM整體上分為學習和壓縮兩個階段。在學習階段，大量歷史的GPS軌跡數據作為輸入，經過噪點過濾等預處理步驟后進行路網匹配，通過路網匹配算法[3-4]，可以將歐氏空間的軌跡數據映射在路網結構上從而得到路網軌跡。然后對路網軌跡的空間信息和時間信息分別進行學習，生成預測模型。利用該預測模型，將軌跡數據時間信息和空間信息分別進行壓縮，使得壓縮后的軌跡數據在空間維度上無損，且時間維度上誤差有界。與PRESS相似，將空間和時間這兩種特征維度完全不同的信息分別考慮，從而取得更好的壓縮效果。下面給出本文相關概念的形式化定義。

定義1 路網。路網結構被定義為一個有向圖G(V,E)，其中：V是節(jié)點集合，E是邊集合。每條邊e上的權重，記作w(e)，可以表示該路段的路徑長度、通行時間或速度限制。

定義2 軌跡。一條軌跡表示一個移動對象在對應時間維度下通過的路徑，同時包含時間和空間兩方面信息。在傳統(tǒng)的軌跡表示方法中，一條軌跡被表示為GPS采樣點pi=(xi,yi,ti)的序列的形式，即τ=〈p1,p2,…,pm〉，其中(xi,yi)表示物體在時間ti時的歐氏空間位置坐標。

定義3 路網軌跡。假設所有的移動對象均受到路網G的約束，那么通過路網匹配算法，軌跡數據可以通過路網結構進行表示，即路網軌跡τ=〈(e1,t1),(e2,t2),…,(er,tr)〉，其中：ei∈E表示軌跡在路網G中的某個路段，ti表示軌跡進入該路段ei時的時間戳。

與PRESS算法類似，將路網軌跡τ分別表示為空間方面的路段序列τs=〈e1,e2,…,en〉和時間序列τt=〈t1,t2,…,tn〉，通過兩種完全不同的模型分別對軌跡數據進行壓縮，以達到更高的壓縮效率。在空間方面，不同于傳統(tǒng)的基于最短路徑的壓縮方法，CTPM的壓縮過程分為訓練和壓縮兩個階段。在訓練階段通過軌跡歷史數據構建部分匹配預測(Prediction by Partial Matching， PPM)模型，通過軌跡已經行駛的部分路段對其下一時刻可能行駛的路段進行預測。在壓縮階段，利用生成的預測模型對軌跡下個可能的路段進行預測，若預測成功則將該路段刪除，若預測失敗則保留該路段信息，以減少軌跡數據的存儲代價。在解壓過程中，通過預測模型，將壓縮后的軌跡完全還原，使其在空間上無損壓縮。在時間方面，通過歷史軌跡數據計算路網中不同時間區(qū)間下道路的通行速度，結合軌跡當前階段的速度信息和道路長度信息，來計算軌跡時間信息，以此得到預測的軌跡時間序列，最后通過對比原始軌跡與預測軌跡之間時間的相似度來保留關鍵的時間變化路段，使得預測軌跡的滿足一定誤差閾值。下面，分別從空間和時間兩個方面來詳細地介紹本文方法。

2 空間軌跡壓縮

將軌跡的空間信息表示為路段的序列，即τs=〈e1,e2,…,en〉。空間軌跡無損壓縮的目的是通過預建的字典T將τs壓縮為一個更短的序列。由于軌跡的長度、起點和終點具有隨機性，傳統(tǒng)的0階區(qū)間編碼算法如霍夫曼編碼(Huffman Coding)、LZ系列算法等需要構建較大的字典樹導致壓縮比較低。然而軌跡數據由于受到交通狀況的約束，其可能的行駛的路段往往依賴于之前行駛的路段。例如若車輛駛入高架路段，其行駛軌跡往往無法改變直到駛出該路段，因此利用具備k階馬爾可夫模型的PPM算法，通過軌跡已經行駛的部分路段來預測軌跡下一時刻可能行駛的位置。整個空間壓縮過程可以分為兩個階段：一個是通過歷史數據生成PPM預測模型；二是通過PPM模型對軌跡進行壓縮。下面對PPM預測模型進行描述。

2.1 部分匹配預測模型(PPM)

Senft等[13]提出了一種基于前綴字典樹的數據壓縮(Suffix Tree based Data Compression, STDC)算法，該算法是PPM模型的一種實現，其主要思想是在輸入序列中利用序列元素的順序和頻度來預測一下元素可能出現的概率。PPM需要指定待構造的變階馬爾可夫模型的階數k，通過訓練數據集構造一棵字典樹T。若模型階數為k，則PPM構造的字典樹的最大深度為k+1。字典樹T的每一個節(jié)點由一個兩元組(c,num)構成，其中：c為訓練序列中出現的元素，num為元素c出現的頻度。字典樹中的每一條從根節(jié)點到葉子節(jié)點的路徑表示序列中的一個子序列，字典樹的根節(jié)點不表示任何信息，表示一個空序列。在構造字典樹的過程中，算法將訓練序列分割成長度為k的子序列集合，依據子序列構造字典樹結構，每一條路徑為一個子序列。每個子序列會使得該路徑下所有元素頻度num+1。在構造完字典樹之后，通過式(1)來計算序列s之后出現元素c的概率：

(1)

其中：序列s的長度為k-1；num(sc)為長度為k的序列sc出現的頻度；Qs是以s為前綴的所有序列集合。

通過一個例子來說明PPM算法。假設輸入序列為ACBAEADACBA，假設馬爾可夫模型階數k=3，則該序列會被劃分為子序列集合ACB、CBA、AEA、EAD、ADA、ACB、CBA，其構建的字典樹如圖1所示。利用該字典樹，可以通過式(1)來計算序列AC后出現B的概率為p(B|AC)=2/(1+2)=0.667。

2.2 基于預測的空間軌跡壓縮算

通過大量的歷史軌跡數據對PPM模型進行訓練，利用訓練好的PPM模型可以通過軌跡之前行駛的路段來預測軌跡下一個位置。PPM模型可以用式(2)表示：

ψ(τ,D)=arg maxP(st/τ′)

(2)

其中：τ為給定的待壓縮的軌跡；D為歷史軌跡數據集；τ′是軌跡τ中長度為k的子序列；st為τ′后的下一個路段。用字典樹T表示PPM模型ψ，樹中的每個節(jié)點node包含路段信息rid、孩子節(jié)點列表children、頻度信息num和預測下一個可能的路段信息pred。

算法1 PPM訓練算法。

輸入：路網G，歷史軌跡數據集D，模型階數k。

輸出：表示PPM模型的字典樹T。

初始化字典樹T

Foreachτ∈DDo

Foreachi← 0 to |τ| Do

/* 將軌跡段sti之前的k個路段作為滑動窗口*/

start←i

end← min(i+k,|τ|-1)

nd←T.root

Foreachj← [start,end] Do

/*滑動窗口路段構成的路徑的頻度+1*/

nd←nd.children[stj];

nd.children[stj+1]++;

/*選出頻度最大的節(jié)點作為預測節(jié)點*/

nd.pred← max(nd.children[].num)

ReturnT

基于PPM模型的壓縮算法實現的偽代碼如算法2所示。算法將訓練好的PPM模型的字典樹T、軌跡τ和階數k作為輸入，輸出一條壓縮軌跡τ′。首先，算法將τ中的前k-1條路段加入壓縮軌跡τ′中。從τ中第k條路段開始，將其前k-1條路段作為滑動窗口，找到該滑動窗口對于序列路徑的最后一個節(jié)點，并判斷該節(jié)點的預測結果nd.pred與第k條軌跡段sti是否一致，若預測錯誤，則將sti加入壓縮軌跡τ′中，直到軌跡中所有的路段被處理完成。通過算法2可以對軌跡在空間上進行無損壓縮，即對于任意一條壓縮后的軌跡都可以通過算法1生成的字典樹T將其還原。同時算法2具有較好的性能，其時間復雜度為Θ(|τ|·k)。

算法2 基于PPM模型的壓縮算法。

輸入：PPM模型T，待壓縮的軌跡τ，模型階數k。

輸出：壓縮后的軌跡τ′。

將軌跡τ中前k-1條路段加入τ′

Foreachi←kTo |τ| Do

/*將路段sti之前的k-1個路段作為滑動窗口*/

start← max(0,i-k),end←i-1;

nd←T.root.children[ststart];

While |end-start|>1 andnd.children[ststart+1] Do

start←start+1

nd←T.root.children[ststart]

/*當預測失敗時，將該路段加入壓縮軌跡*/

Ifnd.pred!=stiThen;

τ′ ←τ′∪sti;

Returnτ′

3 時間軌跡壓縮

軌跡的時間信息表示為路段與時間的二元組序列，即τ=〈(e1,t1),(e2,t2),…,(en,tn)〉。對于一個路網G來說，往往可以很容易獲得路網上任意一條路段e的路徑長度，用d(e)來表示，因此可以通過軌跡的通行速度來計算軌跡的時間信息，即ti+1=ti+d(ei+1)/vi+1，其中：vi+1表示移動物體在路段ei+1時的通行速度，因此，時間軌跡壓縮算法通過對歷史軌跡數據進行統(tǒng)計，預測每條軌跡在各自路段的通行速度，從而得到預測的軌跡時間序列。通過對比預測軌跡與原始軌跡，將預測誤差較大的時間點保留，將誤差較小的時間點刪除，以達到軌跡壓縮的目的。軌跡的時間維度壓縮會造成時間信息的損失，因此需要先對軌跡的時間距離進行度量。由于軌跡的空間信息壓縮是無損的，只需要對比軌跡在各自路段上時間信息距離，其形式化定義如下。

圖2 時間相關的速度路網舉例

算法3描述了算法實現的偽代碼。算法的輸入為原始軌跡τ、時間距離值θ、起始路段s和結束路段e，算法的輸出為壓縮軌跡τ′。算法首先獲得起點為s終點為e的子軌跡段τs,e，通過預測速度得到該預測軌跡τs,e′。通過挨個尋找預測誤差最大的路段，刪除該路段后的原始軌跡τs,e和預測軌跡τs,e′的路網同步時間距離(Network Synchronized Time Difference, NSTD)最小。若刪除后的NSTD仍然大于誤差閾值θ，則將路段min作為分割點，將軌跡切割成兩條子軌跡重新進行計算；否則說明子軌跡τs,e可以用預測軌跡τs,e′誤差有界表示。算法的執(zhí)行過程與Douglas-Peucker算法[14]相似，其時間復雜度為Θ(|D|·|τ|2)，其中：|τ|為軌跡平均路段數目，|D|為軌跡數據集D中的軌跡數。

算法3 時間信息壓縮算法(Time-compression)。

輸入：原始軌跡τ，時間距離閾值θ，起始路段s，結束路段e。

輸出：壓縮軌跡τ′。

τs,e=segmentation(τ,s,e)

根據速度得到預測軌跡τs,e′

min←start

/*選擇刪除預測軌跡中預測誤差最大的路段*/

Foreachi←startToendDo

ti′ ←ti

IfNSTD(τi,τi′)

min←i

dist←NSTD(τmin,τmin′)

Ifdist>θthen

Time-compression(τ,θ,s,min)

Time-compression(τ,θ,min,s)

Else

刪除τ中s+1到e-1的軌跡段

將保留的軌跡段加入τ′

Returnτ′

4 實驗結果與分析

通過一個真實軌跡數據集來驗證壓縮算法的有效性。實驗所用的數據集為2016年4月1日上海市的出租車軌跡數據集，該數據集包含45 902條軌跡數據，其平均長度為5 692 m，平均采樣率為15 s，數據集可視化情況如圖3所示。實驗使用Java編程語言實現所有的算法。所有實驗的硬件平臺均為Intel Core i5@3.2 GHz CPU和8 GB RAM的PC機，操作系統(tǒng)為64位Window 7系統(tǒng)，JDK版本為64位1.8.0 20。將軌跡的壓縮比定義為原始軌跡τ和壓縮軌跡τ′所需存儲空間的比值，即c=|τ|/|τ′|，作為算法壓縮性能的評價指標。

圖3 軌跡數據集可視化

首先分析CTPM的空間軌跡壓縮算法的有效性。CTPM在空間方面需要指定待構造的變階馬爾可夫模型的階數k，圖4展示了該參數對壓縮效果的影響。如圖4(a)所示，隨著k值的增加，CTPM的壓縮比先增加后降低；當k=2時，算法壓縮比最高，其值為12.25。圖4(b)展示了階數k對壓縮時間的影響，隨著k值的增加，算法的匹配次數隨之增加，所需要的壓縮時間呈線性趨勢增加。

圖4 模型階數k對壓縮性能的影響

下面對比PRESS算法與CTPM在空間維度下壓縮性能。PRESS算法與CTPM在空間方面均為無損壓縮，兩者的區(qū)別是PRESS算法通過使用最短路徑算法來預測軌跡下一個位置，而CTPM通過對歷史數據學習得到字典樹來預測軌跡的下一個位置。將軌跡長度定義為一條軌跡包含軌跡段的數量，即|τ|。對于不同的軌跡長度，兩種算法的壓縮性能對比如圖5(a)所示。由圖5(a)可以看出，隨著軌跡長度的增加，CTPM的壓縮比也隨之增加，而PRESS算法在軌跡長度為70時壓縮性能與CTPM相似，二者壓縮比均為6.2；當軌跡長度在70到110之間時，PRESS算法的壓縮比隨著軌跡長度的增加而增加；當軌跡長度超過110時，PRESS算法的壓縮比明顯降低。不同的軌跡數下，兩種算法的壓縮時間對比如圖5(b)所示。由圖5(b)可以看出，兩者算法所需的壓縮時間均隨著軌跡數的增加而增加，但由于PRESS需要計算任意兩個路段的最短路徑，因此其需要的壓縮時間明顯高于CTPM。

圖5 CTPM與PRESS算法空間壓縮性能對比

PRESS算法與CTPM在時間維度下均為有損壓縮，本文使用路網同步時間距離NSTD來度量原始軌跡與壓縮軌跡之間的誤差。不同的誤差閾值下，兩種算法的壓縮性能對比如圖6所示。由圖6(a)可以看出，隨著誤差閾值的增加，兩種算法的壓縮比都隨之增加；當誤差閾值小于20時，PRESS算法的壓縮比略高于CTPM；當誤差閾值大于于20時，CTPM的壓縮性能將優(yōu)于PRESS算法。不同的誤差閾值下，兩種算平均路網同步時間距離NSTD的對比如圖6(b)所示。由圖6(b)可以看出，隨著誤差閾值的增加，兩種算法的NSTD都隨之增加。整體來看CTPM的誤差略小于PRESS算法。

圖6 CTPM與PRESS算法時間壓縮性能對比

上述實驗表明，在空間方面，CTPM通過采用PPM模型代替計算耗時、準確率較低的最短路徑算法，將壓縮的重點由靜態(tài)的路網結構轉換到動態(tài)的歷史軌跡數據，在減少壓縮時間的同時有效地提高了壓縮比。在軌跡平均長度為70到200的數據集中，CTPM與PRESS算法相比壓縮比提高了43%。在時間方面，CTPM通過采用速度預測模型有效地降低了平均壓縮誤差，在誤差閾值5到35的參數設定下，CTPM與PRESS算法相比壓縮比提高了1.5%，平均NSTD誤差減小了9.5%。

5 結語

本文針對目前路網環(huán)境下軌跡數據壓縮的問題，提出了一種基于預測模型的軌跡數據壓縮方法(CTPM)。在空間維度預測軌跡下一個可能的位置,，在時間維度預測軌跡進入下一路段的時間，通過刪除預測正確的信息以達到數據壓縮的目的。本文通過真實的出租車軌跡數據集來驗證算法的有效性，實驗表明在空間方面，CTPM相對于傳統(tǒng)的PRESS算法在降低壓縮時間的同時大幅提高了壓縮比。在時間方面，CTPM可以有效地減少有損壓縮帶來的誤差。然而，周期性的速度模型無法很好地描述某些突發(fā)性的交通狀況，如車禍、道路施工等導致的堵車現象。在后續(xù)的工作中，可以通過結合實時路況信息來提升軌跡到達時間預測的準確性，在時間維度進一步優(yōu)化壓縮性能。

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CHENYu, born in 1972, M. S., senior engineer. His research interests include big data, artificial intelligence.

JIANGWei, born in 1990, M. S. His research interests include data management, data analysis.

ZHOUJi’en, born in 1976, Ph. D., senior engineer. His research interests include big data, artificial intelligence.