Euler和的遞推關(guān)系*

賀 莘 東

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

0 引 言

Euler和是由Harmonic數(shù)產(chǎn)生的，所以Euler和在解析數(shù)論中有著十分重要的作用.從1742年Euler正式開始研究到現(xiàn)在，已經(jīng)有了許多相關(guān)的結(jié)果.1994年Bailey等人利用數(shù)值技術(shù)在文獻(xiàn)[1]中給出了一些特殊Euler和的結(jié)果.同年，文獻(xiàn)[2]的作者也計算出一些Euler和的結(jié)果.1995年Borwein等人在限定了p+q為奇數(shù)的條件下推導(dǎo)出了線性Euler和Sp，q的表達(dá)式[3]，這個表達(dá)式也是對一些特殊Euler和結(jié)果的推廣.留數(shù)的定義是一個周線積分[4]，所以Flajolet于1998年利用Cauchy積分定理與Cauchy-Lindelof引理提出了一種新方法.在文獻(xiàn)[5]中，他不但利用自己的新方法重新證明了Borwein所推導(dǎo)出的Sp，q的表達(dá)式，而且還推導(dǎo)出了許多高次Euler和以及交錯Euler和的結(jié)果.周線積分不但可以用來表示Euler和，而且還可應(yīng)用于函數(shù)有限差分的q-化[6].2008年Basu在文獻(xiàn)[7]中提出了一種形式上更為廣泛的Harmonic數(shù)，即

在此基礎(chǔ)上，他對前人所研究的Euler和做了許多推廣.

最后發(fā)現(xiàn)，這些遞推式是由Riemann zeta函數(shù)[8]來刻畫的.在文章的最后一部分，選取不同的Kernel函數(shù)，用同樣的方法推導(dǎo)出一般和的表達(dá)式.只要取特殊的r(s)，一般和就會轉(zhuǎn)變?yōu)镋uler和.所得出的結(jié)果也是對文獻(xiàn)[5]中相關(guān)結(jié)果的推廣.

1 預(yù)備知識

首先給出一些必要的定義和引理.

定義4[5]如果ξ(s)滿足以下兩個條件：ξ(s)在整個復(fù)平面上是亞純函數(shù)；ξ(s)=ο(s)，s∈(z‖z|=ρk，ρk→∞}則稱ξ(s)為Kernel函數(shù).

為了方便，常常將s在無窮遠(yuǎn)點處記作s=∞.

定義5[5]設(shè)r(s)是一個有理函數(shù)，如果r(s)滿足:當(dāng)s=∞時，r(s)=Ο(s-2)；r(s)在s∈Z0}處沒有極點，則稱r(s)滿足R-條件.

引理1(Cauchy-Lindelof)[5]設(shè)ξ(s)是一個Kernel函數(shù)，r(s)是一個有理函數(shù)，當(dāng)s=∞時，有r(s)=Ο(s-2)，則

這里O表示ξ(s)所有極點構(gòu)成的集合，S表示r(s)所有極點構(gòu)成的集合.

注1 記

由引理1和注1知

(1)

2 主要結(jié)果

2.1 線性Euler和的情形

定理1 設(shè)p>1，p∈Z+，q∈Z+，則

(Si，q+2p-1-i+(-1)iζ(i)ζ(q+2p-1-i))+

ζ(p+k)ζ(p+q-k-1)+

(2)

在文獻(xiàn)[5]中，F(xiàn)lajolet計算出許多Euler和的結(jié)果，并且也給出了r=5時的轉(zhuǎn)換關(guān)系.定理1就是將結(jié)果推廣到r=2p-1，p>1，p∈Z+的情形.下面給出定理1的證明過程.

證明考慮Kernel函數(shù)

取r(s)=s-q.當(dāng)n≥0，p>1，p∈Z+，有如下展式

(3)

所需要的只是含有(s-n)k，k<0的項，所以將它展開得到

(4)

Δ表示含有(s-n)k的項，其中k≥0.

當(dāng)n≠0，q∈Z+時，有如下展式

(5)

由留數(shù)的定義，可以得出

(6)

由于此時的r(s)只在s=0處有一個極點，所以可在式(3)中取n=0，根據(jù)留數(shù)的定義可知

k-1)

(7)

由式(1)知

(8)

結(jié)合式(6)，并利用交換求和，可以得到

ζ

((-1)iSi，q+2p-1-i+ζ(i)ζ(q+2p-1-i))

(9)

結(jié)合式(7)、式(8)和式(9)，將其移項便可得出結(jié)論.

至此，便推導(dǎo)出了線性Euler和的遞推關(guān)系式.可以看出，它與zeta函數(shù)密切相關(guān).

推論1Sp，q表示線性Euler和，則

4S3，1+2S2，2+ζ2(2)-5ζ(4)=0

證明在式(2)中令p=2，q=1則有

再移項即可.

推論2Sp，q表示線性Euler和，則

6S5，2+6S4，3+3S3，4-6ζ(5)ζ(2)=

18ζ(7)-6ζ(3)ζ(4)

證明在式(2)中令p=3，q=2即可.

從定理1可知，當(dāng)p>1，p∈Z+，q∈Z+，時，線性Euler和S2p-1，q，S2p-2，q+1，…，Sp，q+p-1之間存在著線性遞推關(guān)系.通過這種關(guān)系，可以很快地對一個線性Euler和進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

2.2 交錯Euler和的情形

在預(yù)備知識中，已經(jīng)給出了Riemann zeta函數(shù)的定義以及線性Euler和的定義.現(xiàn)在，將這兩個定義進(jìn)行拓展，分別如下：

文獻(xiàn)[5]已經(jīng)研究過一些交錯Euler和.這里，主要討論交錯Euler和之間的遞推關(guān)系.

定理2 若q∈Z+，且q是奇數(shù)，則

證明考慮Kernel函數(shù)

并取r(s)=s-q，q∈Z+.在式(3)中取p=2，當(dāng)n≥0時，則在s=n處，有如下展開式：

(10)

而在s=-n處，有如下展開式

(11)

21-2k)ζ(2k)(s-n)2k-1

(12)

由式(10)、式(12)可得，在s=n處，有

(13)

由式(11)、式(12)可以得到在s=-n處，有

(14)

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，線性Euler和遞推關(guān)系與Zeta函數(shù)有關(guān)；交錯Euler和的遞推關(guān)系與交錯Zeta函數(shù)有關(guān)，而且這兩個遞推關(guān)系都是線性的.

2.3 一般和的情形

定理3 設(shè)r(s)滿足R-條件，則

根據(jù)式(1)便可得出結(jié)論.

定理4 設(shè)r(s)滿足R-條件，則

-

由式(3)可得，當(dāng)n≥0，p>1時

(-1)pζ(p))+…，

故有

根據(jù)式(1)便可得出結(jié)論.

定理3和定理4是對一般和情形的討論，只要r(s)滿足R-條件即可.它們不但是對Kernel函數(shù)的應(yīng)用，而且在特定的情況下，只須選擇合適的r(s)，也能出現(xiàn)一些關(guān)于Euler和的結(jié)果.

[1] BAILEY D H，BORWEIN J M，GIRGENSOHN R.Exper-imental Evaluation of Euler Sums[J].Experimental Mathematics，1994，3(1):17-30

[2] CRANDALL R E，BUHLER J P.On the Evaluation of Eu-ler Sums[J].Experimental Mathematics，1994，3(4):275-285

[3] BORWEIN D，BORWEIN J M，GIRGENSOHN R.Expli-cit Evaluation of Euler Sums[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，1995，38(2):277-294

[4] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2013

ZHONG Y Q.Complex Function Theory[M].Beijing:H-igher Education Press，2013

[5] FLAJOLET P，SALVY B.Euler Sums and Contour Integr-al Representations[J].Experimental Mathematics，1998，7(1):15-35

[6] 王小麗，韓聰聰.二項式等式的一種新方法證明與q化[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2015，32(7):36-39

WANG X L，HAN C C.A New Proof and Q-identities of Binomial Identities[J].Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition)，2015，32(7):36-39

[7] BASU A.A New Method in the Study of Euler Sums[J].R-amanujan Journal，2008，16(1):7-24

[8] WHITTAKER E T，WATSON G N.A Course of Modern A-nalysis[M].Cambridge:Cambridge University P-ress，1927