李旭娟,繆炳榮,李國芳,史艷民
(1. 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 四川 成都 610031; 2. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)
工程中的許多實(shí)際結(jié)構(gòu)部件都可以簡化為懸臂梁結(jié)構(gòu)模型,對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析能夠了解在各種載荷條件下的結(jié)構(gòu)特性,并得到變形、轉(zhuǎn)矩以及動(dòng)態(tài)力等設(shè)計(jì)的必要信息[1]。載荷響應(yīng)分析屬于振動(dòng)力學(xué)的第一類問題,即已知結(jié)構(gòu)上的載荷和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù),來求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在沒有充足數(shù)據(jù)的情況下來開發(fā)一個(gè)完整的模型,其屬于振動(dòng)力學(xué)的第二類逆問題,它是在已知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)的情況下,根據(jù)結(jié)構(gòu)承受載荷時(shí)測得的內(nèi)部有限點(diǎn)的響應(yīng),反過來求出作用在結(jié)構(gòu)上的載荷,這類問題被稱為動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別或者載荷重構(gòu)[2-3]。
X. Q. Zhu和S. S. Law[4]研究了從測量的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)來識(shí)別作用在連續(xù)梁上的移動(dòng)載荷的時(shí)域方法 。C.-K. MA等[5]研究了基于Kalman濾波器和回歸最小二乘算法的逆方法來估計(jì)了懸臂梁結(jié)構(gòu)的輸入力,仿真結(jié)果表明該方法識(shí)別效果較好。S.S.Law和Z.R. Lu[6]等研究了將橋面模擬為簡支梁的預(yù)應(yīng)力識(shí)別問題,是基于通過模態(tài)疊加法求解預(yù)應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng),以及系統(tǒng)識(shí)別方法和Tikhonov正則化技術(shù)解決逆問題病態(tài)的研究。R. Hashemi和M. H. Kargarnovin[7]研究了作用在簡支梁的脈沖力識(shí)別,利用遺傳算法來求解被考慮為優(yōu)化問題的力識(shí)別問題,其中,目標(biāo)函數(shù)是分析和測量的響應(yīng)之差。Z.R. Lu和S.S. Law[8]研究了基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)敏感性來識(shí)別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)和輸入激勵(lì)力的方法,包括正弦的輸入力和脈沖輸入力,并且假設(shè)輸入力位置已知。Roza Sieniawska等[9]提出了一種線性結(jié)構(gòu)的彈性剛度識(shí)別方法,通過整合輸入和輸出信號(hào)將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)換成靜態(tài)問題。Tsung-Chien Chen[10]研究了從測量橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)來估計(jì)輸入力的逆方法,利用了Kalman濾波器(KF)和回歸最小二乘估計(jì)器(RLSE)的算法。
以懸臂梁模型為研究對(duì)象,基于伯努利-歐拉梁理論,對(duì)結(jié)構(gòu)加載隨時(shí)間和空間變化的外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)f(x,t)。
圖1 懸臂梁結(jié)構(gòu)受力示意圖
在只考慮彎曲變形的情況下,分析其受力情況,如圖1所示,建立懸臂梁結(jié)構(gòu)在受到外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)時(shí)的彎曲振動(dòng)方程[12]。
(1)
其中,懸臂梁結(jié)構(gòu)的長度為L,矩形截面面積為A,橫截面尺寸為h×b(b表示梁截面的寬度,h表示梁截面的高度),截面慣性矩為I,彈性模量為E,梁的密度為ρ,且認(rèn)為采用的結(jié)構(gòu)材料為均勻線彈性材料。w(x,t)表示在y軸方向x位置、t時(shí)刻的梁的撓度響應(yīng)。具體的材料參數(shù)如表1所示。
表1 懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)
模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性以及結(jié)構(gòu)固有頻率和陣型,是所有動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ),為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的分析提供了有效的手段。針對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析,其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:
(2)
通過求解,得到懸臂梁在彎曲變形下模態(tài)主振型的一般表達(dá)為:
(3)
其中:i=1,2,3,...,10,表示模態(tài)的階數(shù)。
根據(jù)模態(tài)主振型表達(dá)式,得到系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)為:
w(x,t)=
(4)
針對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)分析,通過ANSYS求解出系統(tǒng)的固有頻率和主振型。MATLAB計(jì)算得到的準(zhǔn)確固有頻率值和ANSYS分析得到的固有頻率值的比較如圖2所示。其中,誤差計(jì)算公式為:
(5)
圖2 準(zhǔn)確值和ANSYS得到的固有頻率值比較
首先進(jìn)行正問題研究,即已知系統(tǒng)的外部激勵(lì)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù),求解系統(tǒng)響應(yīng)。載荷識(shí)別的一個(gè)關(guān)鍵是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性(這里指懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程),及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所測量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[15]。動(dòng)態(tài)響應(yīng)關(guān)系到輸入的激勵(lì)力的識(shí)別,因此動(dòng)態(tài)響應(yīng)的準(zhǔn)確求解也是非常關(guān)鍵的。
圖3 兩個(gè)輸入力作用的懸臂梁
對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)在x=0.2,x=0.4處同時(shí)施加外部垂直動(dòng)態(tài)激勵(lì)力分別為:f1(t)=10sin(10t),f2(t)=20sin(10t+π/2),如圖3所示。由于是線性系統(tǒng),施加的外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)可以表示為簡諧載荷:
f(x,t)=f1(t)δ(x-0.2)+f2(t)δ(x-0.4)。
其中,δ(x)表示狄拉克函數(shù)。且δ(x-C)具有以下性質(zhì):
(6)
其中:C為常數(shù)。
同樣的,根據(jù)式(1),應(yīng)用分離變量法并進(jìn)行整理,采用振型疊加法求解,且引入模態(tài)坐標(biāo),取前10階,得到:
(7)
寫出懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的物理參數(shù)模型:
(8)
由單自由度無阻尼系統(tǒng)受迫振動(dòng)問題相關(guān)理論,在零初始條件下,得到[14]:
(9)
(10)
其中:式(10)表示在懸臂梁的長度范圍內(nèi)的積分。將外部激勵(lì)力式(10)代入到式(9)中,求解系統(tǒng)在外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)的響應(yīng):
(11)
根據(jù)懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程以及求解的動(dòng)態(tài)響應(yīng),建立系統(tǒng)的動(dòng)載荷識(shí)別模型。力識(shí)別問題屬于載荷識(shí)別問題研究范疇,而單自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)載荷識(shí)別則是載荷識(shí)別問題中最簡單典型的一種,通常載荷識(shí)別問題最終都?xì)w結(jié)為單自由度系統(tǒng)的載荷識(shí)別模型[15]。
對(duì)于懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng),分別施加2個(gè)輸入力載荷,如圖3所示。根據(jù)式(11),進(jìn)行傅里葉變換,得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻域表示形式:
(12)
其中:系統(tǒng)輸出、輸入的傅里葉變換式分別為:
(13)
(14)
(15)
且F1(w)、F2(w)表示系統(tǒng)輸入力載荷,W1(w)、W2(w)表示系統(tǒng)的輸出。
令:
(16)
其中:a表示輸入力作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的位置,取a=0.2、0.4;k表示懸臂梁結(jié)構(gòu)上的響應(yīng)所研究的位置,取k=0.6、0.8。
系統(tǒng)的輸入(多輸入)輸出(多輸出)關(guān)系為:
[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8][F1;F2]=[W1;W2]
(17)
對(duì)式(17)直接求逆可得到輸入力的頻域表示式:
[F1;F2]=[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8]-1[W1;W2]
(18)
再對(duì)梁結(jié)構(gòu)的頻域外部激勵(lì)F1、F2分別進(jìn)行傅里葉逆變換,得到輸入力載荷的時(shí)域表達(dá)式分別為:
f1=10sin10t-0.002 818cos10t
(19)
f2=20sin(10t+π/2)+8.72×10-5cos(10t+π/2)
(20)
圖3和圖4所示為識(shí)別的力載荷時(shí)間歷程,可以看出,這種方法對(duì)于正弦波輸入力具有良好的識(shí)別效果,誤差約為0.09%,這是因?yàn)樗⒌妮d荷識(shí)別模型比較好,使得力載荷識(shí)別的精度較高。
圖4 識(shí)別的外部激勵(lì)F1
圖5 識(shí)別的外部激勵(lì)F2
主要研究了基于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)來識(shí)別結(jié)構(gòu)輸入力的求解方法。對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)施加動(dòng)態(tài)簡諧載荷,根據(jù)其數(shù)學(xué)物理方程求解動(dòng)態(tài)響應(yīng),然后對(duì)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換和傅里葉逆變換,獲得輸入力的時(shí)間歷程。識(shí)別結(jié)果表明,這種方法對(duì)于正弦波輸入力具有良好的識(shí)別效果,識(shí)別誤差約為0.09%;建立的載荷識(shí)別模型比較好,使得動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別的精度較高。對(duì)于單自由度系統(tǒng)的載荷識(shí)別問題,該方法具有一定的可行性。
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