用雙曲線的定義解題

湖南省岳陽縣第一中學(xué) 彭志龍

雙曲線的定義是雙曲線的重要概念，對它的準(zhǔn)確理解與正確運(yùn)用對學(xué)好雙曲線甚至整個(gè)圓錐曲線都很有意義，因此，本文揭示它的應(yīng)用，談用雙曲線的定義解題。

一、抓定點(diǎn)，用定義

點(diǎn)評：雙曲線上的點(diǎn)必滿足雙曲線的定義，本題抓住“交點(diǎn)”滿足第一定義，通過使用第一定義我們可以求出雙曲線方程中的基本量，對比其他方法無疑要簡單許多。

二、借圖形，用定義

那么△ABF2的周長為

點(diǎn)評：圖形具有直觀性。本題借助圖形，利用第一定義，首先求出，爾后再求周長，顯然是求解問題的一種策略。假若本題未給圖形，條件“過F1作直線交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)”中，再去掉“左支”兩字，情況就大不相同，有興趣可試一下。

三、抓定值，用定義

例3 一個(gè)中心有三個(gè)觀測點(diǎn)，分別處于正東、正西以及正北三個(gè)方向。一天，位于正西以及正北的兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，但是位于正東的觀測點(diǎn)聽到巨響的時(shí)間要晚4s，三個(gè)觀測點(diǎn)距離中心都為1020m，試確定該巨響發(fā)生的位置。（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）

簡解：如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向分別為x、y軸的正向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B、C分別為西、東、北觀測點(diǎn)，則A（-1020,0），B（1020,0）C（0,1020）。設(shè)P（x,y），則|PB|-|PA|=340×4為巨響發(fā)生點(diǎn)，則由第一定義知a=680，c=1020，得b2=10202-6802=5×3402，∴方程為。由A,C同時(shí)聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，因此P在直線y=-x上。

點(diǎn)評：本題抓住“正東觀測點(diǎn)聽到該巨響的時(shí)間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s”想到差為定值，進(jìn)一步想到雙曲線，使其轉(zhuǎn)化為雙曲線問題進(jìn)行求解。

四、抓合作，用定義

簡解：由于F(1,0)，且A(-2,4),B(4,4)在雙曲線上，得。

即點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，它到y(tǒng)軸的距離為1；

綜合（1）（2）知P到y(tǒng)軸的距離的最大值為6。

評注：以雙曲線的定義為出發(fā)點(diǎn)可以得出兩種情形，其中的第二種情形根據(jù)橢圓定義可以得出橢圓方程，然后根據(jù)橢圓方程就可以求出結(jié)果。因此，想要解出這道題，就需要將題中的兩種定義結(jié)合起來。

五、抓特征，用定義

令y2=3，則方程變?yōu)?/p>

顯然，點(diǎn)(x,y)在以(-2,0)，(2,0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線上，易得其方程為。

點(diǎn)評：本題的一個(gè)重要特征是差為定值2，由此出發(fā)，引入y2=3，使問題很巧妙地轉(zhuǎn)化為幾何問題，再結(jié)合雙曲線的第一定義使問題獲解，可以看出這種解法具有創(chuàng)造性。

至此可以看出：雙曲線的定義是一個(gè)內(nèi)涵十分豐富，應(yīng)用非常廣泛的重要概念。其實(shí)，橢圓、拋物線又何嘗不是呢？建議讀者建立在拙文的基礎(chǔ)上，結(jié)合類比聯(lián)想來看一下涉及橢圓、拋物線的定義會有哪些問題，也許你進(jìn)入了一個(gè)妙趣橫生的新天地。