將心注入 從心開始
——以三次函數圖象對稱中心的應用為例

安徽省蕪湖市無為縣第二中學 安 英

眾所周知，三次函數的導數是不可或缺、耳熟能詳的二次函數，因此，以三次函數為載體,用二次函數知識對三次函數的性質做研究的創(chuàng)新試題，背景新穎，綜合性強，所以近年來，三次函數圖象的對稱問題是高考的熱點問題，弄清三次函數圖象對稱中心及相關性質尤為重要。

一、提出問題，從心開始

以三次函數的對稱性為背景的創(chuàng)新試題常常出現在各地高考或模擬考試中，考查利用導數研究函數的性質,考查函數與方程思想,考查考生創(chuàng)新能力，考查考生熟練應用所學知識解決問題的能力。

二、探究問題，將心注入

為了解決相關問題，弄清三次函數圖象對稱中心及相關性質迫在眉睫。讓我們探究問題，將心注入。

三、解決問題，用心即好

（1）試用含a的代數式表示b；

（2）求f(x)的單調區(qū)間；

（3）令a=-1，設函數f(x)在處理取得極值，記點證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點。

（1）（2）兩問比較簡單，（3）問線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點，即f(x)對稱中心。理解出題者的用意，理解題目的背景，用對稱中心的性質解決問題是個好方法，于是從三次函數圖象對稱中心開始探究。

分析：（1）（2）兩問比較簡單，（3）問要用對稱中心的性質解決。

評注：解答（3）問，用心即好。用對稱中心的性質解題就非常自然簡潔。掌握了三次函數的對稱中心的性質，很多困難的問題就迎刃而解，更有助于我們提高對知識系統(tǒng)性的理解。

四、深入問題，不忘初心

進一步深入問題，不難發(fā)現還有很重要、很實用的引理。在解決有關問題時若不忘初心，定能另辟蹊徑。

引理：若函數y=f（x）在定義域D上可導，且，則函數y=f（x）的圖象關于點的圖象關于直線x=a對稱。

證明：由函數y=f（x）的圖象關于點在 時恒成立，此時兩邊對x求導，得

分析：f（x）的導函數是二次函數，可用二次函數對稱軸來解。亦可利用引理快速解決。

以三次函數的對稱性為背景的創(chuàng)新試題常常出現在各地高考或模擬考試中，考查利用導數研究函數的性質,考查函數與方程思想,考查考生創(chuàng)新能力，考查考生熟練應用所學知識解決問題的能力。

數學家華羅庚曾經說過：復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。所以不忘初心，從心開始！